Fenómenos cuánticos macroscópicos

Los fenómenos cuánticos macroscópicos son procesos que muestran un comportamiento cuántico a escala macroscópica , en lugar de a escala atómica , donde prevalecen los efectos cuánticos. Los ejemplos más conocidos de fenómenos cuánticos macroscópicos son la superfluidez y la superconductividad ; otros ejemplos incluyen el efecto Hall cuántico , el efecto Josephson y el orden topológico . Desde el año 2000 se ha realizado un amplio trabajo experimental sobre los gases cuánticos, en particular los condensados ​​de Bose-Einstein .

Entre 1996 y 2016 se entregaron seis premios Nobel por trabajos relacionados con fenómenos cuánticos macroscópicos. ^[1] Los fenómenos cuánticos macroscópicos se pueden observar en helio superfluido y en superconductores , ^[2] pero también en gases cuánticos diluidos, fotones vestidos como polaritones y en luz láser . Aunque estos medios son muy diferentes, todos son similares en el sentido de que muestran un comportamiento cuántico macroscópico y, en este sentido, todos ellos pueden denominarse fluidos cuánticos .

Los fenómenos cuánticos se clasifican generalmente como macroscópicos cuando los estados cuánticos están ocupados por un gran número de partículas (del orden del número de Avogadro ) o los estados cuánticos involucrados son macroscópicos en tamaño (hasta kilómetros en cables superconductores ). ^[3]

El concepto de estados cuánticos ocupados macroscópicamente es introducido por Fritz London . ^{[4] [5]} En esta sección se explicará qué significa que un solo estado esté ocupado por un número muy grande de partículas. Comenzamos con la función de onda del estado escrita como

$${\displaystyle \Psi =\Psi _ {0}\exp(i\varphi)}$$

( 1 )

con Ψ ₀ la amplitud y la fase. La función de onda se normaliza de manera que${\estilo de visualización \varphi}$

$${\displaystyle \int \Psi \Psi ^{*}\mathrm {d} V=N_{s}.}$$

( 2 )

La interpretación física de la cantidad

$${\displaystyle \Psi \Psi ^{*}\Delta V}$$

( 3 )

Depende del número de partículas. La figura 1 representa un recipiente con un número determinado de partículas con un pequeño volumen de control Δ V en su interior. Comprobamos de vez en cuando cuántas partículas hay en el recipiente de control. Distinguimos tres casos:

1. Solo hay una partícula. En este caso, el volumen de control está vacío la mayor parte del tiempo. Sin embargo, existe una cierta probabilidad de encontrar la partícula en él, dada por la ecuación ( 3 ). La probabilidad es proporcional a Δ V. El factor ΨΨ ^∗ se denomina densidad de probabilidad.
2. Si el número de partículas es un poco mayor, suele haber algunas partículas dentro de la caja. Podemos definir un promedio, pero el número real de partículas en la caja tiene fluctuaciones relativamente grandes en torno a este promedio.
3. En el caso de una cantidad muy grande de partículas, siempre habrá muchas partículas en la caja pequeña. La cantidad fluctuará, pero las fluctuaciones en torno al promedio son relativamente pequeñas. La cantidad promedio es proporcional a Δ V y ΨΨ ^∗ se interpreta ahora como la densidad de partículas.

En mecánica cuántica, la densidad de flujo de probabilidad de partículas J _p (unidad: partículas por segundo por m ² ), también llamada corriente de probabilidad , se puede derivar de la ecuación de Schrödinger para ser

$${\displaystyle {\vec {J}}_{p}={\frac {1}{2m}}(\Psi \left(i{\frac {h}{2\pi }}{\vec {\nabla }}-q{\vec {A}}\right)\Psi ^{*}+\mathrm {cc} \right)}$$

( 4 )

con q la carga de la partícula y el potencial vectorial; cc representa el conjugado complejo del otro término dentro de los corchetes. ^[6] Para partículas neutras q = 0 , para superconductores q = −2 e (siendo e la carga elemental) la carga de los pares de Cooper. Con la ecuación ( 1 )${\displaystyle {\vec {A}}}$

$${\displaystyle {\vec {J}}_{p}={\frac {\Psi _{0}^{2}}{m}}\left({\frac {h}{2\pi }}{ \vec {\nabla }}\varphi -q{\vec {A}}\right).}$$

( 5 )

Si la función de onda está ocupada macroscópicamente, la densidad de flujo de probabilidad de partículas se convierte en una densidad de flujo de partículas. Introducimos la velocidad del fluido v _s a través de la densidad de flujo másico

$${\displaystyle m{\vec {J}}_{p}=\rho _{s}{\vec {v}}_{s}.}$$

( 6 )

La densidad (masa por volumen) es

$${\displaystyle m\Psi _{0}^{2}=\rho _{s}}$$

( 7 )

Por lo tanto, la ecuación ( 5 ) da como resultado

$${\displaystyle {\vec {v}}_{s}={\frac {1}{m}}\left({\frac {h}{2\pi }}{\vec {\nabla }}\varphi -q{\vec {A}}\derecha).}$$

( 8 )

Esta importante relación conecta la velocidad, un concepto clásico, del condensado con la fase de la función de onda, un concepto mecánico-cuántico.

A temperaturas inferiores al punto lambda , el helio muestra la propiedad única de la superfluidez. La fracción del líquido que forma el componente superfluido es un fluido cuántico macroscópico . El átomo de helio es una partícula neutra , por lo que q = 0. Además, al considerar el helio-4 , la masa de la partícula relevante es m = m ₄ , por lo que la ecuación ( 8 ) se reduce a

$${\displaystyle {\vec {v}}_{s}={\frac {1}{m_{4}}}{\frac {h}{2\pi }}{\vec {\nabla }}\varphi .}$$

( 9 )

Para un bucle arbitrario en el líquido, esto da

$${\displaystyle \oint {\vec {v}}_{s}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}={\frac {h}{2\pi m_{4}}}\oint { \vec {\nabla }}\varphi \cdot \mathrm {d} {\vec {s}}.}$$

( 10 )

Debido a la naturaleza de valor único de la función de onda

$${\displaystyle \oint {\vec {\nabla }}\varphi \cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=2\pi n}$$

( 11a )

con n entero, tenemos

$${\displaystyle \oint {\vec {v}}_{s}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}={\frac {h}{m_{4}}}n.}$$

( 11b )

La cantidad

$${\displaystyle \kappa ={\frac {h}{m_{4}}}\approx 1.0\times 10^{-7}\,\mathrm {m^{2}/s} }$$

( 12 )

es el cuanto de circulación. Para un movimiento circular con radio r

$${\displaystyle \oint {\vec {v}}_{s}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=2\pi v_{s}r.}$$

( 13 )

En el caso de un solo cuanto ( n = 1 )

$${\displaystyle v_{s}={\frac {1}{2\pi r}}\kappa .}$$

( 14 )

Cuando el helio superfluido se pone en rotación, la ecuación ( 13 ) no se cumplirá para todos los bucles dentro del líquido a menos que la rotación esté organizada alrededor de líneas de vórtice (como se muestra en la figura 2). Estas líneas tienen un núcleo de vacío con un diámetro de aproximadamente 1 Å (que es menor que la distancia promedio de las partículas). El helio superfluido gira alrededor del núcleo a velocidades muy altas. Justo fuera del núcleo ( r = 1 Å), la velocidad es tan grande como 160 m/s. Los núcleos de las líneas de vórtice y el contenedor giran como un cuerpo sólido alrededor de los ejes de rotación con la misma velocidad angular. El número de líneas de vórtice aumenta con la velocidad angular (como se muestra en la mitad superior de la figura). Nótese que las dos figuras de la derecha contienen seis líneas de vórtice, pero las líneas están organizadas en diferentes patrones estables. ^[7]

En el artículo original ^[8] Ginzburg y Landau observaron la existencia de dos tipos de superconductores dependiendo de la energía de la interfaz entre los estados normal y superconductor. El estado de Meissner se rompe cuando el campo magnético aplicado es demasiado grande. Los superconductores se pueden dividir en dos clases según cómo se produce esta ruptura. En los superconductores de Tipo I , la superconductividad se destruye abruptamente cuando la fuerza del campo aplicado aumenta por encima de un valor crítico H _c . Dependiendo de la geometría de la muestra, se puede obtener un estado intermedio ^[9] que consiste en un patrón barroco ^[10] de regiones de material normal que llevan un campo magnético mezclado con regiones de material superconductor que no contienen campo. En los superconductores de Tipo II , elevar el campo aplicado más allá de un valor crítico H _{c 1} conduce a un estado mixto (también conocido como estado de vórtice) en el que una cantidad creciente de flujo magnético penetra el material, pero no queda resistencia al flujo de corriente eléctrica siempre que la corriente no sea demasiado grande. En una segunda fuerza de campo crítica H _{c 2} , se destruye la superconductividad. El estado mixto es causado en realidad por vórtices en el superfluido electrónico, a veces llamados fluxones porque el flujo transportado por estos vórtices está cuantizado . La mayoría de los superconductores elementales puros , excepto el niobio y los nanotubos de carbono , son de tipo I, mientras que casi todos los superconductores compuestos e impuros son de tipo II.

El hallazgo más importante de la teoría de Ginzburg-Landau lo realizó Alexei Abrikosov en 1957. Utilizó la teoría de Ginzburg-Landau para explicar experimentos sobre aleaciones superconductoras y películas delgadas. Descubrió que en un superconductor de tipo II en un campo magnético alto, el campo penetra en una red triangular de tubos cuantizados de vórtices de flujo . Por este trabajo y otros relacionados, recibió el Premio Nobel en 2003 junto con Ginzburg y Leggett . ^[11]

En el caso de los superconductores, los bosones implicados son los denominados pares de Cooper , que son cuasipartículas formadas por dos electrones. ^[12] Por tanto, m = 2 m _e y q = −2 e donde m _e y e son la masa de un electrón y la carga elemental. De la ecuación ( 8 ) se deduce que

$${\displaystyle 2m_{e}{\vec {v}}_{s}={\frac {h}{2\pi }}{\vec {\nabla }}\varphi +2e{\vec {A}}.}$$

( 15 )

Integrando la ecuación ( 15 ) sobre un bucle cerrado se obtiene

$${\displaystyle 2m_{e}\oint {\vec {v}}_{s}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=\oint \left({\frac {h}{2\pi }}{\vec {\nabla }}\varphi +2e{\vec {A}}\right)\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}}$$

( 16 )

Al igual que en el caso del helio, definimos la fuerza del vórtice.

$${\displaystyle \oint {\vec {v}}_{s}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=\kappa }$$

( 17 )

y utilizar la relación general

$${\displaystyle \oint {\vec {A}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=\Phi }$$

( 18 )

donde Φ es el flujo magnético encerrado por la espira. El llamado fluxoide se define por

$${\displaystyle \Phi _{v}=\Phi -{\frac {2m_{e}}{2e}}\kappa .}$$

( 19 )

En general, los valores de κ y Φ dependen de la elección del bucle. Debido a la naturaleza univalente de la función de onda y la ecuación ( 16 ), el fluxoide está cuantizado.

$${\displaystyle \Phi _{v}=n{\frac {h}{2e}}.}$$

( 20 )

La unidad de cuantificación se llama cuanto de flujo.

$${\displaystyle \Phi _{0}={\frac {h}{2e}}=2.067833758(46)\times 10^{-15}\,\mathrm {Wb} .}$$

( 21 )

El quantum de flujo desempeña un papel muy importante en la superconductividad. El campo magnético terrestre es muy pequeño (aproximadamente 50 μT), pero genera un quantum de flujo en un área de 6 μm por 6 μm. Por lo tanto, el quantum de flujo es muy pequeño. Sin embargo, se midió con una precisión de 9 dígitos, como se muestra en la ecuación ( 21 ). Hoy en día, el valor dado por la ecuación ( 21 ) es exacto por definición.

En la figura 3 se representan dos situaciones de anillos superconductores en un campo magnético externo. En un caso se trata de un anillo de paredes gruesas y en el otro caso el anillo también es de paredes gruesas, pero está interrumpido por un enlace débil. En este último caso nos encontraremos con las famosas relaciones de Josephson . En ambos casos consideramos un bucle dentro del material. En general, una corriente de circulación superconductora fluirá en el material. El flujo magnético total en el bucle es la suma del flujo aplicado Φ _a y el flujo autoinducido Φ _s inducido por la corriente de circulación.

$${\displaystyle \Phi =\Phi _{a}+\Phi _{s}.}$$

( 22 )

El primer caso es un anillo grueso en un campo magnético externo (Fig. 3a). Las corrientes en un superconductor solo fluyen en una capa delgada en la superficie. El espesor de esta capa está determinado por la llamada profundidad de penetración de London . Es de tamaño μm o menos. Consideramos un bucle alejado de la superficie de modo que v _s  = 0 en todas partes, por lo que κ  = 0. En ese caso, el fluxoide es igual al flujo magnético (Φ _v  = Φ). Si v _s  = 0, la ecuación ( 15 ) se reduce a

$${\displaystyle 0={\frac {h}{2\pi }}{\vec {\nabla }}{\varphi }+2e{\vec {A}}.}$$

( 23 )

Tomando la rotación se obtiene

$${\displaystyle 0={\frac {h}{2\pi }}{\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\varphi +2e{\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}.}$$

( 24 )

Utilizando las relaciones conocidas , se demuestra que el campo magnético en la masa del superconductor también es cero. Por lo tanto, para anillos gruesos, el flujo magnético total en el bucle se cuantifica de acuerdo con${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\varphi =0}$${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\vec {B}}}$

$${\displaystyle \Phi =n\Phi _{0}.}$$

( 25 )

Los enlaces débiles desempeñan un papel muy importante en la superconductividad moderna. En la mayoría de los casos, los enlaces débiles son barreras de óxido entre dos películas delgadas superconductoras, pero también pueden ser un límite de cristal (en el caso de los superconductores de alta temperatura de contacto ). En la figura 4 se muestra una representación esquemática. Ahora, considere el anillo que es grueso en todas partes excepto en una pequeña sección donde el anillo está cerrado a través de un enlace débil (figura 3b). La velocidad es cero excepto cerca del enlace débil. En estas regiones, la contribución de la velocidad al cambio de fase total en el bucle viene dada por (con la ecuación ( 15 )).

$${\displaystyle \Delta \varphi ^{*}=-{\frac {2\pi }{h}}2m_{e}\int _{\delta }{\vec {v}}_{s}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}.}$$

( 26 )

La integral de línea se encuentra sobre el contacto de un lado al otro de tal manera que los puntos finales de la línea están bien dentro del volumen del superconductor donde v _s = 0 . Por lo tanto, el valor de la integral de línea está bien definido (es decir, es independiente de la elección de los puntos finales). Con las ecuaciones ( 19 ), ( 22 ) y ( 26 )

$${\displaystyle \Phi _{a}+\Phi _{s}+\Phi _{0}{\frac {\Delta \varphi ^{*}}{2\pi }}=n\Phi _{0}.}$$

( 27 )

Sin prueba, afirmamos que la supercorriente a través del enlace débil está dada por la llamada relación Josephson DC ^[13]

$${\displaystyle i_{s}=i_{1}\sin(\Delta \varphi ^{*}).}$$

( 28 )

El voltaje sobre el contacto viene dado por la relación de Josephson de CA

$${\displaystyle V={\frac {1}{2\pi }}{\frac {h}{2e}}{\frac {\mathrm {d} \Delta \varphi ^{*}}{\mathrm {d} t}}.}$$

( 29 )

Los nombres de estas relaciones (relaciones CC y CA) son engañosos, ya que ambas se cumplen en situaciones de CC y CA. En el estado estable (constante ), la ecuación ( 29 ) muestra que V = 0 mientras fluye una corriente distinta de cero a través de la unión. En el caso de un voltaje aplicado constante (polarización de voltaje), la ecuación ( 29 ) se puede integrar fácilmente y da${\displaystyle \Delta \varphi ^{*}}$

$${\displaystyle \Delta \varphi ^{*}=2\pi {\frac {2eV}{h}}t.}$$

( 30 )

La sustitución en la ecuación ( 28 ) da

$${\displaystyle i_{s}=i_{1}\sin \left(2\pi {\frac {2eV}{h}}t\right).}$$

( 31 )

Esta es una corriente alterna. La frecuencia

$${\displaystyle \nu ={\frac {2eV}{h}}={\frac {V}{\Phi _{0}}}}$$

( 32 )

se denomina frecuencia Josephson. Un μV da una frecuencia de aproximadamente 500 MHz. Al utilizar la ecuación ( 32 ), el cuanto de flujo se determina con la alta precisión que se indica en la ecuación ( 21 ).

La diferencia de energía de un par de Cooper, que se mueve de un lado al otro del contacto, es Δ E = 2eV . Con esta expresión, la ecuación ( 32 ) se puede escribir como Δ E = hν que es la relación para la energía de un fotón con frecuencia ν .

La relación AC Josephson (Ec. ( 29 )) se puede entender fácilmente en términos de la ley de Newton (o de una de las ecuaciones de London ^[14] ). Comenzamos con la ley de Newton$${\displaystyle {\vec {F}}=m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{s}}{\mathrm {d} t}}.}$$

Sustituyendo la expresión para la fuerza de Lorentz y usando la expresión general para la derivada temporal co-móvil se obtiene$${\displaystyle {\vec {F}}=q\left({\vec {E}}+{\vec {v}}_{s}\times {\vec {B}}\right)}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{s}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\vec {v}}_{s}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\vec {\nabla }}v_{s}^{2}-{\vec {v}}_{s}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}_{s}\right)}$$$${\displaystyle {\frac {q}{m}}\left({\vec {E}}+{\vec {v}}_{s}\times {\vec {B}}\right)={\frac {\partial {\vec {v}}_{s}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\vec {\nabla }}v_{s}^{2}-{\vec {v}}_{s}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}_{s}\right).}$$

La ecuación ( 8 ) da como resultado lo siguiente:$${\displaystyle 0={\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}_{s}+{\frac {q}{m}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}_{s}+{\frac {q}{m}}{\vec {B}}}$$$${\displaystyle {\frac {q}{m}}{\vec {E}}={\frac {\partial {\vec {v}}_{s}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\vec {\nabla }}v_{s}^{2}.}$$

Tome la integral de línea de esta expresión. En los puntos finales las velocidades son cero, por lo que el término ∇ v ² no aporta ninguna contribución. Utilizando y la ecuación ( 26 ), con q = −2 e y m = 2 m _e , se obtiene la ecuación ( 29 ).$${\displaystyle \int {\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=-V}$$

La figura 5 muestra un denominado DC SQUID . Consiste en dos superconductores conectados por dos enlaces débiles. La cuantificación fluxoide de un bucle a través de los dos superconductores en masa y los dos enlaces débiles requiere

$${\displaystyle \Delta \varphi _{a}^{*}=\Delta \varphi _{b}^{*}+2\pi {\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}+2\pi n.}$$

( 33 )

Si se puede despreciar la autoinducción del bucle, el flujo magnético en el bucle Φ es igual al flujo aplicado.

$${\displaystyle \Phi =\Phi _{a}=BA}$$

( 34 )

donde B es el campo magnético aplicado perpendicularmente a la superficie y A es el área de la superficie del bucle. La supercorriente total está dada por

$${\displaystyle i_{s}=i_{1}\sin(\Delta \varphi _{a}^{*})+i_{1}\sin(\Delta \varphi _{b}^{*}).}$$

( 35 )

La sustitución de la ecuación ( 33 ) en ( 35 ) da

$${\displaystyle i_{s}=i_{1}\sin \left(\Delta \varphi _{b}^{*}+2\pi {\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}\right)+i_{1}\sin(\Delta \varphi _{b}^{*}).}$$

( 36 )

Usando una fórmula geométrica bien conocida obtenemos

$${\displaystyle i_{s}=2i_{1}\sin \left(\Delta \varphi _{b}^{*}+\pi {\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}\right)\cos(\pi {\frac {\Phi _{a}}{\Phi _{0}}}).}$$

( 37 )

Dado que la función seno solo puede variar entre −1 y +1, una solución estable solo es posible si la corriente aplicada está por debajo de una corriente crítica dada por

$${\displaystyle i_{c}=2i_{1}\left|\cos \left(\pi {\frac {\Phi _{a}}{\Phi _{0}}}\right)\right|.}$$

( 38 )

Obsérvese que la corriente crítica es periódica en el flujo aplicado con período Φ ₀ . La dependencia de la corriente crítica con respecto al flujo aplicado se representa en la figura 6. Tiene un fuerte parecido con el patrón de interferencia generado por un rayo láser detrás de una doble rendija. En la práctica, la corriente crítica no es cero en valores enteros medios del quantum de flujo del flujo aplicado. Esto se debe al hecho de que no se puede despreciar la autoinducción del bucle. ^[15]

La superconductividad de tipo II se caracteriza por dos campos críticos llamados B _c1 y B _c2 . En un campo magnético B _c1, el campo magnético aplicado comienza a penetrar la muestra, pero la muestra sigue siendo superconductora. Solo en un campo de B _c2 la muestra es completamente normal. Para los campos entre B _c1 y B _c2, el flujo magnético penetra en el superconductor en patrones bien organizados, la llamada red de vórtices de Abrikosov similar al patrón que se muestra en la figura 2. ^[16] En la figura 7 se muestra una sección transversal de la placa superconductora. Lejos de la placa, el campo es homogéneo, pero en el material fluyen corrientes superconductoras que comprimen el campo en haces de exactamente un cuanto de flujo. El campo típico en el núcleo es tan grande como 1 tesla. Las corrientes alrededor del núcleo del vórtice fluyen en una capa de aproximadamente 50 nm con densidades de corriente del orden de 15 × 10¹² A/m2 ^. Esto corresponde a 15 millones de amperios en un cable de un ^mm2 .

Los tipos clásicos de sistemas cuánticos, los superconductores y el helio superfluido, se descubrieron a principios del siglo XX. Cerca del final del siglo XX, los científicos descubrieron cómo crear gases atómicos o moleculares muy diluidos, enfriados primero mediante enfriamiento láser y luego mediante enfriamiento evaporativo . ^[17] Se atrapan utilizando campos magnéticos o potenciales dipolares ópticos en cámaras de ultra alto vacío. Los isótopos que se han utilizado incluyen rubidio (Rb-87 y Rb-85), estroncio (Sr-87, Sr-86 y Sr-84), potasio (K-39 y K-40), sodio (Na-23), litio (Li-7 y Li-6) e hidrógeno (H-1). Las temperaturas a las que se pueden enfriar son tan bajas como unos pocos nanokelvin. Los avances han sido muy rápidos en los últimos años. Un equipo del NIST y la Universidad de Colorado ha logrado crear y observar la cuantificación de vórtices en estos sistemas. ^[18] La concentración de vórtices aumenta con la velocidad angular de rotación, similar al caso del helio superfluido y la superconductividad.