Módulo de Thiele

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El módulo de Thiele fue desarrollado por Ernest Thiele en su artículo 'Relación entre la actividad catalítica y el tamaño de la partícula' en 1939. ^[1] Thiele razonó que una partícula lo suficientemente grande tiene una velocidad de reacción tan rápida que las fuerzas de difusión solo pueden alejar el producto de la superficie de la partícula del catalizador . Por lo tanto, solo la superficie del catalizador experimentaría alguna reacción.

El módulo de Thiele se desarrolló para describir la relación entre la difusión y las velocidades de reacción en gránulos de catalizador porosos sin limitaciones de transferencia de masa . Este valor se utiliza generalmente para medir el factor de efectividad de los gránulos.

El módulo de Thiele se representa mediante símbolos diferentes en distintos textos, pero se define en Hill ^[2] como h _T .

${\displaystyle h_{T}^{2}={\dfrac {\mbox{velocidad de reacción}}{\mbox{velocidad de difusión}}}}$

La derivación del módulo de Thiele (de Hill) comienza con un balance de materiales en el poro del catalizador . Para una reacción irreversible de primer orden en un poro cilíndrico recto en estado estacionario:

${\displaystyle {\pi }r^{2}(-D_{c}{\frac {dC}{dx}}\right)_{x}={\pi }r^{2}(-D_{c}{\frac {dC}{dx}}\right)_{x+{\Delta }x}+\left(2{\pi }r{\Delta }x\right)\left(k_{1}C\right)}$

donde es una constante de difusividad y es la constante de velocidad .$Estilo de visualización D_{c}}$$estilo de visualización k_{1}$

Luego, convirtiendo la ecuación en una diferencial dividiéndola por y tomando el límite cuando se acerca a 0,$Estilo de visualización: Delta x$$Estilo de visualización: Delta x$

${\displaystyle D_{c}({\frac {d^{2}C}{dx^{2}}}\right)={\frac {2k_{1}C}{r}}}$

Esta ecuación diferencial con las siguientes condiciones de contorno :

${\displaystyle C=C_{o}{\text{ en }}x=0}$

y

${\displaystyle {\frac {dC}{dx}}=0{\text{ en }}x=L}$

donde la primera condición límite indica una concentración externa constante en un extremo del poro y la segunda condición límite indica que no hay flujo fuera del otro extremo del poro.

Conectando estas condiciones de contorno, tenemos

${\displaystyle {\frac {d^{2}C}{d(x/L)^{2}}}=\left({\frac {2k_{1}L^{2}}{rD_{c}}}\right)C}$

El término del lado derecho multiplicado por C representa el cuadrado del módulo de Thiele, que ahora vemos que surge naturalmente del balance de materiales. Entonces, el módulo de Thiele para una reacción de primer orden es:

${\displaystyle h_{T}^{2}={\frac {2k_{1}L^{2}}{rD_{c}}}}$

De esta relación se desprende que con valores elevados de , el término de velocidad domina y la reacción es rápida, mientras que la difusión lenta limita la velocidad general. Valores más pequeños del módulo de Thiele representan reacciones lentas con difusión rápida.$estilo de visualización h_{T}}$

Las reacciones de otros órdenes se pueden resolver de manera similar a la anterior. A continuación se enumeran los resultados para reacciones irreversibles en poros cilíndricos rectos.

${\displaystyle h_{2}^{2}={\frac {2L^{2}k_{2}C_{o}}{rD_{c}}}}$

${\displaystyle h_{o}^{2}={\frac {2L^{2}k_{o}}{rD_{c}C_{o}}}}$

El factor de efectividad η relaciona la velocidad de reacción difusiva con la velocidad de reacción en la corriente a granel.

Para una reacción de primer orden en una geometría de losa, ^{[1] [3]} esto es:

${\displaystyle {\eta}={\frac {\tanh h_{T}}{h_{T}}}}$