Métrica de Schwarzschild

Relatividad general
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\kappa }T_{\mu \nu }}$
Introducción Historia Cronología Pruebas Formulación matemática
Conceptos fundamentales Principio de equivalencia Relatividad especial Línea mundial Variedad pseudo-riemanniana
Fenómenos Problema de Kepler Efecto de lente gravitacional Desplazamiento al rojo gravitacional Dilatación del tiempo gravitacional Ondas gravitacionales Arrastre de cuadros Efecto geodésico Horizonte de eventos Singularidad Agujero negro Espacio-tiempo Diagramas del espacio-tiempo El espacio-tiempo de Minkowski Puente Einstein-Rosen
Ecuaciones Formalismos Ecuaciones Gravedad linealizada Ecuaciones de campo de Einstein Friedman- Geodésicas Mathisson–Papapetrou–Dixon Hamilton-Jacobi-Einstein Formalismos ADM BSSN Post-Newtoniano Teoría avanzada Teoría de Kaluza-Klein Gravedad cuántica
Soluciones Niño Negro ( interior ) Reissner–Nordström Ondas de Einstein-Rosen Agujero de gusano Gödel Kerr Kerr–Newman Kerr–Newman–de Sitter Kasner Lemaître–Tolman Taub–NUT Milne Robertson-Walker Oppenheimer-Snyder onda pp polvo de van Stockum Weyl-Lewis-Papapetrou Hartle–Thorne
Científicos Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Niño negro De Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman- Milne Zwicky Lemaître Oppenheimer Gödel Rodador Robertson Bardeen Caminante Kerr Chandrasekhar Síndrome de Ehlers Penrose Halcones Raychaudhuri Taylor Hulse de Stockum Tabaquismo Hombre nuevo Yaú Espina otros
Physics portal  Category
v t e

En la teoría de la relatividad general de Einstein , la métrica de Schwarzschild (también conocida como solución de Schwarzschild ) es una solución exacta a las ecuaciones de campo de Einstein que describe el campo gravitacional fuera de una masa esférica, suponiendo que la carga eléctrica de la masa, el momento angular de la masa y la constante cosmológica universal son todos cero. La solución es una aproximación útil para describir objetos astronómicos que giran lentamente, como muchas estrellas y planetas , incluidos la Tierra y el Sol. Fue encontrada por Karl Schwarzschild en 1916.

Según el teorema de Birkhoff , la métrica de Schwarzschild es la solución de vacío esféricamente simétrica más general de las ecuaciones de campo de Einstein. Un agujero negro de Schwarzschild o agujero negro estático es un agujero negro que no tiene carga eléctrica ni momento angular (no rotatorio). Un agujero negro de Schwarzschild se describe mediante la métrica de Schwarzschild y no se puede distinguir de ningún otro agujero negro de Schwarzschild excepto por su masa.

El agujero negro de Schwarzschild se caracteriza por un límite esférico circundante, llamado horizonte de sucesos , que está situado en el radio de Schwarzschild ( ), a menudo llamado el radio de un agujero negro. El límite no es una superficie física, y una persona que cayera a través del horizonte de sucesos (antes de ser destrozada por las fuerzas de marea) no notaría ninguna superficie física en esa posición; es una superficie matemática que es significativa para determinar las propiedades del agujero negro. Cualquier masa no giratoria y sin carga que sea menor que su radio de Schwarzschild forma un agujero negro. La solución de las ecuaciones de campo de Einstein es válida para cualquier masa M , por lo que en principio (dentro de la teoría de la relatividad general) podría existir un agujero negro de Schwarzschild de cualquier masa si las condiciones se volvieran lo suficientemente favorables para permitir su formación.${\displaystyle r_{\text{s}}}$

En las proximidades de un agujero negro de Schwarzschild, el espacio se curva tanto que incluso los rayos de luz se desvían, y la luz muy cercana puede desviarse tanto que viaja varias veces alrededor del agujero negro. ^{[1] [2] [3]}

La métrica de Schwarzschild es una métrica lorentziana esféricamente simétrica (aquí, con convención de firma (+, -, -, -) ), definida en (un subconjunto de) donde es un espacio euclidiano tridimensional, y es la esfera bidimensional. El grupo de rotación actúa sobre el factor o como rotaciones alrededor del centro , mientras que deja el primer factor sin cambios. La métrica de Schwarzschild es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein en el espacio vacío, lo que significa que es válida solo fuera del cuerpo gravitacional. Es decir, para un cuerpo esférico de radio la solución es válida para . Para describir el campo gravitacional tanto dentro como fuera del cuerpo gravitacional, la solución de Schwarzschild debe coincidir con alguna solución interior adecuada en ⁠ ⁠ , ^[4] como la métrica interior de Schwarzschild .$${\displaystyle \mathbb {R} \times \left(E^{3}-O\right)\cong \mathbb {R} \times (0,\infty )\times S^{2}}$$${\displaystyle E^{3}}$${\displaystyle S^{2}\subset E^{3}}$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)=\mathrm {SO} (E^{3})}$${\displaystyle E^{3}-O}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle r>R}$${\displaystyle r=R}$

En las coordenadas de Schwarzschild, la métrica de Schwarzschild (o equivalentemente, el elemento de línea para el tiempo propio ) tiene la forma donde es la métrica en las dos esferas, es decir ⁠ ⁠ . Además, ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$$${\displaystyle {ds}^{2}=c^{2}\,{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}{d\Omega }^{2},}$$${\displaystyle {d\Omega }^{2}}$${\displaystyle {d\Omega }^{2}=\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)}$

• ${\displaystyle d\tau ^{2}}$es positivo para curvas temporales, en cuyo caso es el tiempo propio (tiempo medido por un reloj que se mueve a lo largo de la misma línea del mundo con una partícula de prueba ),${\displaystyle \tau }$
• ${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz ,
• ${\displaystyle t}$es, para ⁠ ⁠${\displaystyle r>r_{\text{s}}}$ , la coordenada del tiempo (medida por un reloj situado infinitamente lejos del cuerpo masivo y estacionario con respecto a él),
• ${\displaystyle r}$es, para ⁠ ⁠${\displaystyle r>r_{\text{s}}}$ , la coordenada radial (medida como la circunferencia, dividida por 2 π , de una esfera centrada alrededor del cuerpo masivo),
• ${\displaystyle \Omega }$es un punto en las dos esferas ⁠ ⁠${\displaystyle S^{2}}$ ,
• ${\displaystyle \theta }$ es la colatitud de (ángulo desde el norte, en unidades de radianes ) definida después de elegir arbitrariamente un eje z ,${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle \phi }$es la longitud de (también en radianes) alrededor del eje z elegido , y${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle r_{\text{s}}}$es el radio de Schwarzschild del cuerpo masivo, un factor de escala que está relacionado con su masa por ⁠ ⁠ , donde es la constante gravitacional . ^[5]${\displaystyle M}$${\displaystyle r_{\text{s}}={2GM}/{c^{2}}}$${\displaystyle G}$

La métrica de Schwarzschild tiene una singularidad para r = 0 , que es una singularidad de curvatura intrínseca. También parece tener una singularidad en el horizonte de sucesos r = r _s . Dependiendo del punto de vista, la métrica se define, por tanto, solo en la región exterior , solo en la región interior o en su unión disjunta. Sin embargo, la métrica en realidad no es singular en todo el horizonte de sucesos, como se ve en las coordenadas adecuadas (véase más abajo). Para ⁠ ⁠ , la métrica de Schwarzschild es asintótica a la métrica estándar de Lorentz en el espacio de Minkowski. Para casi todos los objetos astrofísicos, la relación es extremadamente pequeña. Por ejemplo, el radio de Schwarzschild de la Tierra es aproximadamente${\displaystyle r>r_{\text{s}}}$${\displaystyle r<r_{\text{s}}}$${\displaystyle r\gg r_{\text{s}}}$${\displaystyle {\frac {r_{\text{s}}}{R}}}$${\displaystyle r_{\text{s}}^{({\text{Earth}})}}$8,9 mm , mientras que el Sol, que está3,3 × 10 ⁵ veces más masivo ^[6] tiene un radio de Schwarzschild de aproximadamente 3,0 km. La relación se vuelve grande solo en proximidad cercana a agujeros negros y otros objetos ultradensos como las estrellas de neutrones .${\displaystyle r_{\text{s}}^{({\text{Sun}})}}$

La coordenada radial resulta tener importancia física como la "distancia adecuada entre dos eventos que ocurren simultáneamente en relación con los relojes geodésicos que se mueven radialmente, estando los dos eventos en la misma línea de coordenadas radiales". ^[7]

La solución de Schwarzschild es análoga a una teoría clásica de la gravedad newtoniana que corresponde al campo gravitatorio alrededor de una partícula puntual. Incluso en la superficie de la Tierra, las correcciones a la gravedad newtoniana son sólo una parte en mil millones. ^[8]

La solución de Schwarzschild recibe su nombre en honor a Karl Schwarzschild , quien encontró la solución exacta en 1915 y la publicó en enero de 1916, ^[9] poco más de un mes después de la publicación de la teoría de la relatividad general de Einstein. Fue la primera solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein aparte de la solución trivial del espacio plano . Schwarzschild murió poco después de que se publicara su artículo, como resultado de una enfermedad (que se cree que era pénfigo ) que desarrolló mientras servía en el ejército alemán durante la Primera Guerra Mundial . ^[10]

En 1916, Johannes Droste ^[11] produjo de forma independiente la misma solución que Schwarzschild, utilizando una derivación más simple y directa. ^[12]

En los primeros años de la relatividad general hubo mucha confusión sobre la naturaleza de las singularidades encontradas en las ecuaciones de campo de Einstein y en otras soluciones de las ecuaciones de campo de Schwarzschild . En el artículo original de Schwarzschild, puso lo que ahora llamamos el horizonte de sucesos en el origen de su sistema de coordenadas. En este artículo también introdujo lo que ahora se conoce como la coordenada radial de Schwarzschild ( r en las ecuaciones anteriores), como una variable auxiliar. En sus ecuaciones, Schwarzschild estaba usando una coordenada radial diferente que era cero en el radio de Schwarzschild.

Al año siguiente, David Hilbert ^[13] realizó un análisis más completo de la estructura de singularidades , identificando las singularidades tanto en r = 0 como en r = r _s . Aunque hubo un consenso general de que la singularidad en r = 0 era una singularidad física "genuina", la naturaleza de la singularidad en r = r _s seguía sin estar clara. ^[14]

En 1921, Paul Painlevé y en 1922 Allvar Gullstrand produjeron independientemente una métrica, una solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de Einstein, que ahora sabemos que es la transformación de coordenadas de la métrica de Schwarzschild, las coordenadas de Gullstrand-Painlevé , en la que no había singularidad en r = r _s . Sin embargo, no reconocieron que sus soluciones eran simplemente transformaciones de coordenadas y, de hecho, utilizaron su solución para argumentar que la teoría de Einstein estaba equivocada. En 1924, Arthur Eddington produjo la primera transformación de coordenadas ( coordenadas de Eddington-Finkelstein ) que mostraba que la singularidad en r = r _s era un artefacto de coordenadas, aunque también parece haber sido inconsciente de la importancia de este descubrimiento. Más tarde, en 1932, Georges Lemaître dio una transformación de coordenadas diferente ( coordenadas de Lemaître ) con el mismo efecto y fue el primero en reconocer que esto implicaba que la singularidad en r = r _s no era física. En 1939, Howard Robertson demostró que un observador en caída libre que descendiera en la métrica de Schwarzschild cruzaría la singularidad r = r _s en una cantidad finita de tiempo propio , aunque esto tomaría una cantidad infinita de tiempo en términos del tiempo de coordenadas t . ^[14]

En 1950, John Synge publicó un artículo ^[15] que mostraba la extensión analítica máxima de la métrica de Schwarzschild, mostrando nuevamente que la singularidad en r = r _s era un artefacto de coordenadas y que representaba dos horizontes. Un resultado similar fue redescubierto más tarde por George Szekeres ^[16] e independientemente Martin Kruskal ^[17] . Las nuevas coordenadas hoy conocidas como coordenadas de Kruskal-Szekeres eran mucho más simples que las de Synge , pero ambas proporcionaban un único conjunto de coordenadas que cubrían todo el espacio-tiempo. Sin embargo, quizás debido a la oscuridad de las revistas en las que se publicaron los artículos de Lemaître y Synge, sus conclusiones pasaron desapercibidas, y muchos de los principales actores en el campo, incluido Einstein, creían que la singularidad en el radio de Schwarzschild era física. ^[14] La derivación posterior de Synge de la solución métrica de Kruskal-Szekeres, ^[18] que fue motivada por un deseo de evitar "utilizar coordenadas 'malas' [Schwarzschild] para obtener coordenadas 'buenas' [Kruskal-Szekeres]", ha sido generalmente subestimada en la literatura, pero fue adoptada por Chandrasekhar en su monografía del agujero negro. ^[19]

En la década de 1960 se produjo un verdadero progreso cuando la formulación matemáticamente rigurosa en términos de geometría diferencial entró en el campo de la relatividad general, lo que permitió definiciones más exactas de lo que significa que una variedad lorentziana sea singular. Esto condujo a la identificación definitiva de la singularidad r = r _s en la métrica de Schwarzschild como un horizonte de eventos , es decir, una hipersuperficie en el espacio-tiempo que puede cruzarse en una sola dirección. ^[14]

La solución de Schwarzschild parece tener singularidades en r = 0 y r = r _s ; algunos de los componentes métricos "explotan" (implican división por cero o multiplicación por infinito) en estos radios. Dado que se espera que la métrica de Schwarzschild sea válida solo para aquellos radios mayores que el radio R del cuerpo gravitante, no hay problema siempre que R > r _s . Para las estrellas y los planetas ordinarios, este es siempre el caso. Por ejemplo, el radio del Sol es aproximadamente700 000  km , mientras que su radio de Schwarzschild es de sólo3 kilómetros .

La singularidad en r = r _s divide las coordenadas de Schwarzschild en dos parches desconectados . La solución de Schwarzschild exterior con r > r _s es la que está relacionada con los campos gravitatorios de las estrellas y los planetas. La solución de Schwarzschild interior con 0 ≤ r < r _s , que contiene la singularidad en r = 0 , está completamente separada del parche exterior por la singularidad en r = r _s . Por lo tanto, las coordenadas de Schwarzschild no dan ninguna conexión física entre los dos parches, que pueden verse como soluciones separadas. Sin embargo, la singularidad en r = r _s es una ilusión; es un ejemplo de lo que se llama una singularidad de coordenadas . Como su nombre lo indica, la singularidad surge de una mala elección de coordenadas o condiciones de coordenadas . Al cambiar a un sistema de coordenadas diferente (por ejemplo , coordenadas de Lemaître , coordenadas de Eddington–Finkelstein , coordenadas de Kruskal–Szekeres , coordenadas de Novikov o coordenadas de Gullstrand–Painlevé ), la métrica se vuelve regular en r = r _s y puede extender el parche externo a valores de r menores que r _s . Usando una transformación de coordenadas diferente, se puede relacionar el parche externo extendido con el parche interno. ^[20]

Sin embargo, el caso r = 0 es diferente. Si se pide que la solución sea válida para todos los r, se llega a una singularidad física verdadera, o singularidad gravitacional , en el origen. Para ver que se trata de una singularidad verdadera, hay que observar cantidades que sean independientes de la elección de las coordenadas. Una de esas cantidades importantes es el invariante de Kretschmann , que viene dado por

${\displaystyle R^{\alpha \beta \gamma \delta }R_{\alpha \beta \gamma \delta }={\frac {12r_{\mathrm {s} }^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}\,.}$

En r = 0 la curvatura se vuelve infinita, lo que indica la presencia de una singularidad. En este punto la métrica no puede extenderse de manera uniforme (el invariante de Kretschmann implica derivadas segundas de la métrica), por lo que el espacio-tiempo en sí mismo ya no está bien definido. Además, Sbierski ^[21] demostró que la métrica no puede extenderse ni siquiera de manera continua. Durante mucho tiempo se pensó que una solución de este tipo no era física. Sin embargo, una mayor comprensión de la relatividad general llevó a la comprensión de que tales singularidades eran una característica genérica de la teoría y no solo un caso especial exótico.

La solución de Schwarzschild, considerada válida para todos los r > 0 , se denomina agujero negro de Schwarzschild . Es una solución perfectamente válida de las ecuaciones de campo de Einstein, aunque (como otros agujeros negros) tiene propiedades bastante extrañas. Para r < r _s, la coordenada radial de Schwarzschild r se vuelve temporal y la coordenada temporal t se vuelve espacial . ^[22] Una curva en r constante ya no es una línea de mundo posible de una partícula o un observador, ni siquiera si se ejerce una fuerza para intentar mantenerla allí; esto ocurre porque el espacio-tiempo se ha curvado tanto que la dirección de causa y efecto (el futuro cono de luz de la partícula ) apunta hacia la singularidad. ^{[ cita requerida ]} La superficie r = r _s demarca lo que se llama el horizonte de sucesos del agujero negro. Representa el punto más allá del cual la luz ya no puede escapar del campo gravitatorio. Cualquier objeto físico cuyo radio R se vuelve menor o igual al radio de Schwarzschild ha sufrido un colapso gravitatorio y se ha convertido en un agujero negro.

La solución de Schwarzschild se puede expresar en una variedad de opciones de coordenadas además de las coordenadas de Schwarzschild utilizadas anteriormente. Las diferentes opciones tienden a resaltar diferentes características de la solución. La siguiente tabla muestra algunas opciones populares.

Coordenadas alternativas ^[23]

Coordenadas	Elemento de línea	Notas	Características
Coordenadas de Eddington-Finkelstein (entrantes)	${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,dv^{2}-2\,dv\,dr-r^{2}\,g_{\Omega }}$		regular en el horizonte futuro el horizonte pasado está en v = −∞
Coordenadas de Eddington-Finkelstein (salientes)	${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,du^{2}+2\,du\,dr-r^{2}g_{\Omega }}$		regular en el horizonte pasado se extiende a través del horizonte pasado horizonte futuro en u = ∞
Coordenadas de Gullstrand-Painlevé	${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,dT^{2}\pm 2{\sqrt {\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}\,dT\,dr-dr^{2}-r^{2}\,g_{\Omega }}$		regular en horizontes pasados ​​y futuros
Coordenadas isotrópicas	${\displaystyle {\frac {\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{2}}{\left(1+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{2}}}\,{dt}^{2}-\left(1+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{4}\,\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)}$	${\displaystyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$[24] Válido sólo fuera del horizonte de eventos:${\displaystyle R>r_{\text{s}}/4}$	Conos de luz isotrópicos en porciones de tiempo constantes
Coordenadas de Kruskal-Székeres	${\displaystyle {\frac {4r_{\mathrm {s} }^{3}}{r}}e^{-{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}}\,\left(dT^{2}-dR^{2}\right)-r^{2}\,g_{\Omega }}$	${\displaystyle T^{2}-R^{2}=\left(1-{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}\right)e^{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}}$	regular en el horizonte; se extiende como máximo hasta el espacio-tiempo completo
Coordenadas de Lemaître	${\displaystyle dT^{2}-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\,dR^{2}-r^{2}\,g_{\Omega }}$	${\displaystyle r=\left({\tfrac {3}{2}}(R\pm T)\right)^{\frac {2}{3}}r_{\mathrm {s} }^{\frac {1}{3}}}$	regular en el horizonte pasado o futuro
Coordenadas armónicas	${\displaystyle {\frac {\rho -r_{\mathrm {s} }/2}{\rho +r_{\mathrm {s} }/2}}dt^{2}-{\frac {\rho +r_{\mathrm {s} }/2}{\rho -r_{\mathrm {s} }/2}}d\rho ^{2}-(\rho +r_{\mathrm {s} }/2)^{2}g_{\Omega }}$	${\displaystyle \rho =r-r_{\mathrm {s} }/2}$

En la tabla anterior, se han introducido algunas abreviaturas para abreviar. La velocidad de la luz c se ha establecido en uno . La notación

${\displaystyle g_{\Omega }=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$

se utiliza para la métrica de una esfera bidimensional de radio unitario. Además, en cada entrada, R y T indican opciones alternativas de coordenadas radiales y temporales para las coordenadas particulares. Tenga en cuenta que R o T pueden variar de una entrada a otra.

Las coordenadas de Kruskal-Szekeres tienen la forma a la que se puede aplicar la transformada de Belinski-Zakharov . Esto implica que el agujero negro de Schwarzschild es una forma de solitón gravitacional .

La curvatura espacial de la solución de Schwarzschild para r > r _s se puede visualizar como lo muestra el gráfico. Consideremos una porción ecuatorial de tiempo constante H a través de la solución de Schwarzschild fijando θ = ⁠ π/2⁠ , t = constante, y dejando que varíen las coordenadas de Schwarzschild restantes ( r , φ ) . Imaginemos ahora que hay una dimensión euclidiana adicional w , que no tiene realidad física (no es parte del espacio-tiempo). Luego reemplazamos el plano ( r , φ ) con una superficie con hoyuelos en la dirección w según la ecuación ( paraboloide de Flamm )

${\displaystyle w=2{\sqrt {r_{\mathrm {s} }\left(r-r_{\mathrm {s} }\right)}}.}$

Esta superficie tiene la propiedad de que las distancias medidas dentro de ella coinciden con las distancias en la métrica de Schwarzschild, porque con la definición de w anterior,

${\displaystyle dw^{2}+dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}={\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}+r^{2}\,d\varphi ^{2}=-ds^{2}}$

Por lo tanto, el paraboloide de Flamm es útil para visualizar la curvatura espacial de la métrica de Schwarzschild. Sin embargo, no debe confundirse con un pozo gravitatorio . Ninguna partícula ordinaria (masiva o sin masa) puede tener una línea de universo que se encuentre sobre el paraboloide, ya que todas las distancias sobre él son espaciales (se trata de una sección transversal en un momento del tiempo, por lo que cualquier partícula que se mueva sobre él tendría una velocidad infinita ). Un taquión podría tener una línea de universo espacial que se encuentre completamente sobre un solo paraboloide. Sin embargo, incluso en ese caso, su trayectoria geodésica no es la trayectoria que se obtiene a través de una analogía de "lámina de goma" del pozo gravitatorio: en particular, si el hoyuelo se dibuja apuntando hacia arriba en lugar de hacia abajo, la trayectoria geodésica del taquión aún se curva hacia la masa central, no alejándose. Consulte el artículo sobre el pozo gravitatorio para obtener más información.

El paraboloide de Flamm se puede derivar de la siguiente manera. La métrica euclidiana en las coordenadas cilíndricas ( r , φ , w ) se escribe

${\displaystyle -ds^{2}=dw^{2}+dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}\,.}$

Dejando que la superficie se describa mediante la función w = w ( r ) , la métrica euclidiana se puede escribir como

${\displaystyle -ds^{2}=\left(1+\left({\frac {dw}{dr}}\right)^{2}\right)\,dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}\,,}$

Comparando esto con la métrica de Schwarzschild en el plano ecuatorial ( θ = ⁠π/2) en un tiempo fijo ( t = constante, dt = 0 )

${\displaystyle -ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}\,,}$

produce una expresión integral para w ( r ) :

${\displaystyle w(r)=\int {\frac {dr}{\sqrt {{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}-1}}}=2r_{\mathrm {s} }{\sqrt {{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}-1}}+{\mbox{constant}}}$

cuya solución es el paraboloide de Flamm.

Una partícula que orbita en la métrica de Schwarzschild puede tener una órbita circular estable con r > 3 r _s . Las órbitas circulares con r entre 1,5 r _s y 3 r _s son inestables, y no existen órbitas circulares para r < 1,5 r _s . La órbita circular de radio mínimo 1,5 r _s corresponde a una velocidad orbital que se aproxima a la velocidad de la luz. Es posible que una partícula tenga un valor constante de r entre r _s y 1,5 r _s , pero solo si alguna fuerza actúa para mantenerla allí.

Las órbitas no circulares, como la de Mercurio , permanecen más tiempo en radios pequeños de lo que cabría esperar en la gravedad newtoniana . Esto puede considerarse como una versión menos extrema del caso más dramático en el que una partícula pasa a través del horizonte de sucesos y permanece en su interior para siempre. Entre el caso de Mercurio y el de un objeto que cae más allá del horizonte de sucesos, existen posibilidades exóticas, como las órbitas de borde de cuchillo, en las que se puede hacer que el satélite ejecute un número arbitrario de órbitas casi circulares, tras lo cual vuelve a volar hacia el exterior.

El grupo de isometría de la métrica de Schwarzchild es ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathrm {O} (3)\times \{\pm 1\}}$ , donde es el grupo ortogonal de rotaciones y reflexiones en tres dimensiones, comprende las traslaciones temporales y es el grupo generado por la inversión temporal.${\displaystyle \mathrm {O} (3)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{\pm 1\}}$

Éste es, pues, el subgrupo del grupo de Poincaré decadimensional que toma el eje temporal (trayectoria de la estrella) hacia sí mismo. Omite las traslaciones espaciales (tres dimensiones) y los impulsos (tres dimensiones). Mantiene las traslaciones temporales (una dimensión) y las rotaciones (tres dimensiones). Por tanto, tiene cuatro dimensiones. Al igual que el grupo de Poincaré, tiene cuatro componentes conectados: el componente de la identidad; el componente invertido en el tiempo; el componente de inversión espacial; y el componente que es a la vez invertido en el tiempo y en el espacio.

El escalar de curvatura de Ricci y el tensor de curvatura de Ricci son ambos cero. Los componentes no cero del tensor de curvatura de Riemann se dan mediante ^[25]

${\displaystyle -R^{t}{}_{rtr}=2R^{\theta }{}_{r\theta r}=2R^{\phi }{}_{r\phi r}={\frac {r_{\text{s}}}{r^{2}(r_{\text{s}}-r)}},}$

${\displaystyle 2R^{t}{}_{\theta t\theta }=2R^{r}{}_{\theta r\theta }=-R^{\phi }{}_{\theta \phi \theta }=-{\frac {r_{\text{s}}}{r}},}$

${\displaystyle 2R^{t}{}_{\phi t\phi }=2R^{r}{}_{\phi r\phi }=-R^{\theta }{}_{\phi \theta \phi }=-{\frac {r_{\text{s}}\sin ^{2}(\theta )}{r}},}$

${\displaystyle R^{r}{}_{trt}=-2R^{\theta }{}_{t\theta t}=-2R^{\phi }{}_{t\phi t}=c^{2}{\frac {r_{\text{s}}(r_{\text{s}}-r)}{r^{4}}},}$

de donde se puede ver que . Los componentes que se obtienen mediante las simetrías del tensor de Riemann no se muestran.${\displaystyle R^{\lambda }{}_{\mu \lambda \nu }=0}$

Para entender el significado físico de estas magnitudes, es útil expresar el tensor de curvatura en una base ortonormal. En una base ortonormal de un observador, los componentes no nulos en unidades geométricas son ^[25]

${\displaystyle R^{\hat {r}}{}_{{\hat {t}}{\hat {r}}{\hat {t}}}=-R^{\hat {\theta }}{}_{{\hat {\phi }}{\hat {\theta }}{\hat {\phi }}}=-{\frac {r_{\text{s}}}{r^{3}}},}$

${\displaystyle R^{\hat {\theta }}{}_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {t}}}=R^{\hat {\phi }}{}_{{\hat {t}}{\hat {\phi }}{\hat {t}}}=-R^{\hat {r}}{}_{{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\theta }}}=-R^{\hat {r}}{}_{{\hat {\phi }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}={\frac {r_{\text{s}}}{2r^{3}}}.}$

Nuevamente, no se muestran los componentes que se pueden obtener mediante las simetrías del tensor de Riemann. Estos resultados son invariantes ante cualquier aumento de Lorentz, por lo que los componentes no cambian para observadores no estáticos. La ecuación de desviación geodésica muestra que la aceleración de marea entre dos observadores separados por es , por lo que un cuerpo de longitud se estira en la dirección radial por una aceleración aparente y se comprime en las direcciones perpendiculares por .${\displaystyle \xi ^{\hat {j}}}$${\displaystyle D^{2}\xi ^{\hat {j}}/D\tau ^{2}=-R^{\hat {j}}{}_{{\hat {t}}{\hat {k}}{\hat {t}}}\xi ^{\hat {k}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle (r_{\text{s}}/r^{3})c^{2}L}$${\displaystyle -(r_{\text{s}}/(2r^{3}))c^{2}L}$

• Derivación de la solución de Schwarzschild
• Métrica de Reissner-Nordström (solución cargada y no giratoria)
• Métrica de Kerr (solución rotatoria sin carga)
• Métrica de Kerr-Newman (solución rotatoria cargada)
• Agujero negro , una revisión general
• Coordenadas de Schwarzschild
• Coordenadas de Kruskal-Székeres
• Coordenadas de Eddington-Finkelstein
• Coordenadas de Gullstrand-Painlevé
• Coordenadas de Lemaître (solución de Schwarzschild en coordenadas sincrónicas )
• Campos de referencia en la relatividad general (observadores de Lemaître en el vacío de Schwarzschild)
• Ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (ecuaciones métricas y de presión de un cuerpo estático y esféricamente simétrico de material isótropo)
• Longitud de Planck

• Schwarzschild, K. (1916). "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie". Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften . 7 : 189-196. Código bibliográfico : 1916AbhKP1916..189S.

• Texto del artículo original, en Wikisource
• Traducción: Antoci, S.; Loinger, A. (1999). "Sobre el campo gravitatorio de un punto de masa según la teoría de Einstein". arXiv : physics/9905030 .
• Un comentario al artículo, que ofrece una derivación más sencilla: Bel, L. (2007). "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktesnach der Einsteinschen Theorie". arXiv : 0709.2257 [gr-qc].

• Schwarzschild, K. (1916). "Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit". Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften . 1 : 424.

• Texto del artículo original, en Wikisource
• Traducción: Antoci, S. (1999). "Sobre el campo gravitatorio de una esfera de fluido incompresible según la teoría de Einstein". arXiv : physics/9912033 .

• Flamm, L. (1916). "Beiträge zur Einstein'schen Gravitationstheorie". Physikalische Zeitschrift . 17 : 448.
• Adler, R.; Bazin, M.; Schiffer, M. (1975). Introducción a la relatividad general (2.ª ed.). McGraw-Hill . Capítulo 6. ISBN. 0-07-000423-4.
• Landau, LD; Lifshitz, EM (1951). La teoría clásica de campos . Curso de física teórica . Vol. 2 (4.ª edición revisada en inglés). Pergamon Press . Capítulo 12. ISBN. 0-08-025072-6.
• Misner, CW; Thorne, KS; Wheeler, JA (1970). Gravitación . WH Freeman . Capítulos 31 y 32. ISBN 0-7167-0344-0.
• Weinberg, S. (1972). Gravitación y cosmología: principios y aplicaciones de la teoría general de la relatividad . John Wiley & Sons . Capítulo 8. ISBN 0-471-92567-5.
• Taylor, EF; Wheeler, JA (2000). Explorando los agujeros negros: Introducción a la relatividad general . Addison-Wesley . ISBN 0-201-38423-X.
• Heinzle, JM; Steinbauer, R. (2002). "Observaciones sobre la geometría distributiva de Schwarzschild". Journal of Mathematical Physics . 43 (3): 1493–1508. arXiv : gr-qc/0112047 . Código Bibliográfico :2002JMP....43.1493H. doi :10.1063/1.1448684. S2CID  119677857.