Sector (instrumento)

El sector , también conocido como regla de sectores , compás proporcional o compás militar , fue un importante instrumento de cálculo en uso desde finales del siglo XVI hasta el siglo XIX. Es un instrumento que consta de dos reglas de igual longitud unidas por una bisagra. Una serie de escalas están inscritas en el instrumento que facilitan varios cálculos matemáticos. Se utilizó para resolver problemas de proporción , multiplicación y división , geometría y trigonometría , y para calcular varias funciones matemáticas, como raíces cuadradas y raíces cúbicas . Sus varias escalas permitieron soluciones fáciles y directas de problemas de artillería , topografía y navegación . El sector deriva su nombre de la cuarta proposición del sexto libro de Euclides , donde se demuestra que los triángulos similares tienen sus lados iguales proporcionales. Algunos sectores también incorporaron un cuadrante , y a veces una abrazadera en el extremo de una pata que permitía que el dispositivo se usara como cuadrante de artillero .

El sector fue inventado, esencialmente de manera simultánea e independiente, por varias personas diferentes antes del comienzo del siglo XVII.

Fabrizio Mordente (1532 – ca 1608) fue un matemático italiano, conocido por su invención del "compás proporcional de ocho puntas", que tiene dos brazos con cursores que permiten la solución de problemas de medición de la circunferencia, el área y los ángulos de un círculo. En 1567 publicó un tratado de una sola hoja en Venecia que mostraba ilustraciones de su dispositivo. ^[1] En 1585 , Giordano Bruno utilizó el compás de Mordente para refutar la hipótesis de Aristóteles sobre la inconmensurabilidad de los infinitesimales, confirmando así la existencia del "mínimo" que sentó las bases de su propia teoría atómica. ^[2] Guidobaldo del Monte desarrolló un "compás polimétrico" alrededor de 1670, que incluía una escala para construir polígonos regulares. El astrónomo italiano Galileo Galilei añadió más escalas en la década de 1590 y publicó un libro sobre el tema en 1606. ^[3] El sector de Galileo fue diseñado inicialmente para aplicaciones militares, pero evolucionó hasta convertirse en una herramienta de cálculo de propósito general.

Los dos sectores más antiguos conocidos en Inglaterra fueron fabricados por Robert Beckit y Charles Whitwell , respectivamente, ambos datados en 1597. Estos tienen un gran parecido con la descripción del dispositivo dada por el matemático inglés Thomas Hood en su libro de 1598. ^[3] El sector que Hood describió estaba destinado a ser utilizado como instrumento de topografía e incluía miras y un zócalo de montaje para sujetar el instrumento a un poste o jalón, así como una escala de arco y una pata deslizante adicional. En el siglo XVII, el matemático británico Edmund Gunter prescindió de los accesorios pero agregó escalas adicionales, incluida una línea meridiana con divisiones proporcionales al espaciado de las latitudes a lo largo de un meridiano en la proyección de Mercator , ^[4] distribuyendo de forma privada un manuscrito en latín que explicaba su construcción y uso. Gunter lo publicó en inglés como De Sectore et Radio en 1623.

Galileo desarrolló por primera vez su sector a principios de la década de 1590 como una herramienta para los artilleros. En 1597 se había convertido en un instrumento que tenía una utilidad mucho más amplia. Podía usarse, por ejemplo, para calcular el área de cualquier figura plana construida a partir de una combinación de líneas rectas y semicírculos. Galileo estaba decidido a mejorar su sector para que pudiera usarse para calcular el área de cualquier forma discutida en los Elementos de Euclides . Para hacer esto, necesitaba agregar la capacidad de calcular el área de segmentos circulares . Le llevó más de un año resolver este problema. El instrumento que hoy conocemos como sector de Galileo es la versión con esta capacidad adicional que comenzó a producir en 1599 con la ayuda del fabricante de instrumentos Marc'Antonio Mazzoleni . Galileo proporcionó a Mazzoleni y su familia alojamiento y comida, y le pagó dos tercios del precio de venta de 35 liras; Galileo cobraba 120 liras por un curso de enseñanza del uso del instrumento, aproximadamente la mitad del salario anual de un artesano experto. ^[5] La mayoría de sus clientes eran nobles adinerados, incluido el archiduque Fernando , a quien Galileo vendió un sector hecho de plata. Se fabricaron más de cien en total, pero solo se sabe que existen tres en la actualidad: uno en la Galería Putnam de la Universidad de Harvard , uno en el Museo de Arte Decorativo del Castello Sforzesco de Milán y uno en el Museo Galileo de Florencia.

Galileo describió cómo realizar 32 cálculos diferentes con el sector en su manual de 1606. ^[6] En la introducción, Galileo escribió que su intención al producir el sector era permitir que las personas que no habían estudiado matemáticas realizaran cálculos complejos sin tener que conocer los detalles matemáticos involucrados. El sector se utilizó en combinación con un divisor, también llamado brújula . Cada brazo del sector estaba marcado con cuatro líneas en el frente y tres en la parte posterior, y el pivote tenía un hoyuelo que aceptaría la punta de un divisor. Las líneas y escalas en cada brazo eran idénticas y estaban dispuestas en el mismo orden en que se movía desde el borde interior al borde exterior, formando así siete pares de líneas. Todos los cálculos se podían realizar con una combinación de cinco pasos muy simples: medir cierta longitud, separación o ancho de objeto con el divisor; abrir los brazos del sector y establecer la distancia transversal entre dos puntos correspondientes en un par de líneas a la separación del divisor; medir la distancia transversal entre dos puntos correspondientes en un par de líneas una vez que el sector se había establecido a cierta separación; leer un valor de una de las escalas en un punto donde las distancias transversales coinciden con una separación divisoria; y leer un valor de una escala donde la distancia desde el pivote coincide con un divisor. Galileo no describió cómo se construyeron las escalas, lo consideró un secreto comercial, pero se pueden inferir los detalles. Las marcas de la escala se colocaron con una precisión de aproximadamente el 1%.

Las escalas más internas del instrumento se denominan líneas aritméticas a partir de su división en progresión aritmética , es decir, una escala lineal. El sector en el Museo Galileo está marcado de 16 a 260. ^[7] Si llamamos a la longitud desde el pivote , entonces se dan dos marcas con valores y las razones de sus longitudes son proporcionales a las razones de los números. En notación moderna:${\estilo de visualización A,}$$estilo de visualización n_{1}$${\estilo de visualización n_{2},}$

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {n_{1}}{n_{2}}},}$

Galileo describe cómo utilizar estas escalas para dividir una línea en un número de partes iguales, cómo medir cualquier fracción de una línea, cómo producir una versión a escala de una figura o mapa, cómo resolver la Regla de Oro de Euclides (también llamada Regla de Tres ), cómo convertir un valor en una moneda al valor en otra moneda y cómo calcular el valor compuesto de una inversión.

A modo de ejemplo, el procedimiento para calcular el valor compuesto de una inversión es el siguiente. Si la inversión inicial es P0, fije el divisor en la distancia desde el pivote hasta el punto marcado en P0 en las líneas aritméticas. Abra el instrumento y fije la distancia transversal en el punto 100-100 en las líneas aritméticas a la distancia recién medida hasta P0. Si la tasa de interés para el período es, por ejemplo, 6%, fije el divisor en la distancia transversal en 106-106. Coloque el divisor en el pivote y vea dónde cae el otro extremo en las líneas aritméticas. Este es el valor de la inversión al final del primer período. Ahora fije la distancia transversal en 100-100 nuevamente en la separación actual del divisor y repita el procedimiento para tantos períodos como sea necesario.

El siguiente conjunto de líneas se denominan líneas geométricas , las cuales tienen una escala numerada del 1 al 50, con longitudes proporcionales a la raíz cuadrada, llamadas geométricas porque se utilizan para hallar la media geométrica y trabajar con áreas de figuras planas. Si llamamos a la longitud desde el pivote entonces:${\estilo de visualización G,}$

${\displaystyle {\frac {G_{1}}{G_{2}}}={\frac {\sqrt {n_{1}}}{\sqrt {n_{2}}}}}$

Galileo describe cómo utilizar estas líneas para escalar una figura de modo que la nueva figura tenga una relación de área dada con la original, cómo medir la relación de área de dos figuras similares, cómo combinar un conjunto de figuras similares en otra figura similar de modo que la figura resultante tenga el área combinada del conjunto, cómo construir una figura similar que tenga un área igual a la diferencia de área de otras dos figuras similares, cómo encontrar la raíz cuadrada de un número, cómo organizar N soldados en una cuadrícula donde la relación de filas a columnas sea un valor específico y cómo encontrar la media geométrica de dos números.

Como ejemplo, el procedimiento para producir una figura similar que tenga el área combinada de un conjunto de figuras similares es el siguiente: elija un lado en la figura más grande y mida su longitud con un divisor. Abra el sector y establezca la distancia transversal en algún valor intermedio en las líneas geométricas hasta la separación del divisor, cualquier número servirá, digamos 20. Luego mida la longitud del lado correspondiente en cada una de las otras figuras y lea el valor de la escala de la línea geométrica donde la distancia transversal coincida con estas longitudes. Sume todas las lecturas de la escala, incluido el 20 que establecimos originalmente. En el valor combinado de las líneas geométricas, mida la distancia transversal. Esta será la longitud del lado de la figura que tiene el área combinada del conjunto. Luego puede usar la escala aritmética para escalar todas las otras longitudes de los lados en la figura más grande para que coincidan. Este procedimiento funcionará para cualquier figura cerrada hecha de líneas rectas.

El procedimiento para calcular una raíz cuadrada varía según el tamaño del radicando. Para un número "medio" ("en torno a 5.000"), comience midiendo la distancia desde el pivote hasta el punto marcado con 40 en las líneas aritméticas y fije la distancia transversal del sector en 16-16 en las líneas geométricas a esta distancia. A continuación, tome el número y divídalo por 100, redondeándolo al entero más cercano. Entonces, por ejemplo, 8679 se convierte en 87. Si este número es mayor que 50 (el valor más grande en la escala de líneas geométricas), entonces debe reducirse, en este ejemplo quizás dividirse por 3 para obtener 29. Luego, mida la distancia transversal en las líneas geométricas en 29, esta distancia en las líneas aritméticas representa Debido a que nuestro número se redujo para que quepa en el sector, debemos aumentar la longitud en Podemos elegir cualquier valor conveniente, por ejemplo, 10, estableciendo la distancia transversal del sector en 10 hasta la separación del divisor, y luego medir la distancia transversal en 30 en las líneas geométricas, luego coloque el divisor contra las líneas aritméticas para medir cuál está lo suficientemente cerca de${\displaystyle {\sqrt {2900}}.}$${\displaystyle {\sqrt {3}}.}$${\displaystyle {\sqrt {8700}},}$${\displaystyle {\sqrt {8679}}}$

El procedimiento para calcular la raíz cuadrada de un número “pequeño”, un número “alrededor de 100”, es más simple: no nos molestamos en dividir por 100 al principio, sino que realizamos el mismo procedimiento. Al final, dividimos la estimación de la raíz cuadrada resultante por 10. Para números “grandes” (“alrededor de 50.000”), fijamos el sector transversalmente en 10–10 en las líneas geométricas a la distancia desde el pivote hasta el punto en 100 en las líneas aritméticas. Dividimos el número por 1000 y redondeamos al entero más cercano. Luego seguimos un procedimiento similar al anterior.

Galileo no ofrece más orientación ni refinamiento. Saber qué procedimiento utilizar para un número determinado requiere cierta reflexión y una apreciación de la propagación de la incertidumbre .

Las líneas estereométricas se llaman así porque están relacionadas con la estereometría , la geometría de los objetos tridimensionales. La escala está marcada a 148 y la distancia desde el pivote es proporcional a la raíz cúbica. Si llamamos a la longitud entonces${\estilo de visualización S,}$

${\displaystyle {\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {\sqrt[{3}]{n_{1}}}{\sqrt[{3}]{n_{2}}}}}$

Estas líneas funcionan de manera análoga a las líneas geométricas, excepto que tratan con volúmenes en lugar de áreas.

Galileo describe cómo usar estas líneas para encontrar la longitud del lado correspondiente en un sólido similar donde el sólido tiene una relación de volumen dada con el original, cómo determinar la relación de volumen de dos sólidos similares dadas las longitudes de un par de lados correspondientes, cómo encontrar las longitudes de los lados de un sólido similar que tiene el volumen combinado de un conjunto de otros sólidos similares, cómo encontrar la raíz cúbica de un número, cómo encontrar los dos valores intermedios entre dos números y tales que , y para un factor de escala dado , y cómo encontrar el lado de un cubo que tiene el mismo volumen que un cuboide rectangular (caja de esquinas cuadradas).${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización q}$${\displaystyle n_{1}=rp}$$Estilo de visualización n_{2}=r^{2}p$$estilo de visualización q=r^{3}p$${\estilo de visualización r}$

Para elevar al cubo un cuboide rectángulo de lados , y equivale a calcular el método de Galileo es usar primero las líneas geométricas para encontrar la media geométrica de dos de los lados, luego mide la distancia a lo largo de las líneas aritméticas hasta el punto marcado usando un divisor, y luego fija el sector transversalmente a esta distancia en el punto marcado en las líneas estereométricas, calibrando el sector de manera que la distancia desde el pivote hasta el punto en las líneas estereométricas represente el lado de un cubo con el volumen de un cuboide con lados y Luego mide la distancia desde el pivote hasta el punto marcado en las líneas aritméticas, y ve en qué valor en las líneas estereométricas esta distancia encaja transversalmente, multiplicando así el resultado anterior por resultando en el deseado.${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b,}$${\estilo de visualización c}$${\displaystyle s={\sqrt[{3}]{abc}}.}$${\displaystyle g={\sqrt {ab}}.}$${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización g}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{ab}},}$${\estilo de visualización a,}$ ${\estilo de visualización b,}$${\estilo de visualización 1.}$${\estilo de visualización c}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{c}},}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{abc}}}$

El procedimiento para calcular raíces cúbicas es similar al que se utiliza para raíces cuadradas, excepto que solo funciona para valores de 1000 o más. Para números “medianos”, fijamos el sector transversalmente en 64–64 en las líneas estereométricas a la distancia desde el pivote hasta el punto marcado 40 en las líneas aritméticas. Luego eliminamos los últimos tres dígitos de nuestro número y, si el número que eliminamos fue mayor que 500, agregamos uno al resto. Medimos la distancia transversal en las líneas estereométricas en el valor del resto y lo colocamos contra las líneas aritméticas para encontrar la raíz cúbica. El número más grande que se puede manejar sin reescalar aquí es 148 000. Para números “grandes”, fijamos el sector transversalmente en 100–100 en las líneas estereométricas a la distancia desde el pivote hasta el punto 100 en las líneas aritméticas y, en lugar de eliminar tres dígitos, eliminamos cuatro. Puede manejar números desde 10 000 hasta 1 480 000 sin reescalar. Para un uso práctico, debe utilizar el procedimiento de número medio para todos los valores hasta 148 000 que no se encuentren dentro de un 2 % de un múltiplo de 10 000.

Las líneas metálicas , el par más externo en la cara frontal, están marcadas con los símbolos "ORO" (para oro , oro ), PIO (para piombo , plomo ), "AR" (para argento , plata ), "RA" (para rame , cobre ), "FE" (para ferro , hierro ), "ST" (para stagno , estaño ), "MA" (para marmo , mármol ) y "PIE" (para pietra , piedra ). Estos símbolos están ordenados por pesos específicos o densidades decrecientes, con la distancia proporcional a la raíz cúbica inversa. Dados dos materiales de densidad y si llamamos a la longitud desde el pivote${\displaystyle \rho_{1}}$${\displaystyle \rho_{2},}$${\estilo de visualización M,}$

${\displaystyle {\frac {M_{1}}{M_{2}}}={\frac {\sqrt[{3}]{\rho _{2}}}{\sqrt[{3}]{\rho _{1}}}}}$

La relación de longitudes en esta escala es proporcional a la relación de diámetros de dos bolas del mismo peso pero de diferentes materiales.

Estas líneas eran de interés para los artilleros para resolver el problema de "hacer el calibre", es decir, cómo averiguar la carga de pólvora correcta para usar en una bala de cañón de cierto tamaño y material, cuando se conoce la carga correcta para una bala de cañón de un tamaño y material diferente. Para hacer eso, medirías el diámetro de la bala de cañón con la carga conocida y establecerías el sector transversalmente en la marca de material de esta bala de cañón en las líneas metálicas a ese diámetro. La distancia transversal en el tipo de material de la segunda bala de cañón te da el diámetro de una bala de cañón en este material que tiene el mismo peso que la primera bala. Necesitamos reducir esta longitud estereométricamente al diámetro dado de la segunda bala para obtener la carga correcta, por lo que establecemos la distancia transversal en las líneas estereométricas en 100-100 a la distancia transversal que acabamos de medir a partir de las líneas metálicas, y luego vemos dónde la distancia transversal en las líneas estereométricas coincide con el diámetro real de la segunda bala. La carga requerida se encuentra entonces en la relación entre la lectura de esta escala y 100 en comparación con la bola con carga conocida. Luego, se pueden usar las líneas aritméticas para escalar el peso de la carga en esta relación.

Las líneas poligráficas , la escala más interna en la parte posterior del instrumento, están etiquetadas del 3 al 15, y la distancia desde el pivote es inversamente proporcional a la longitud lateral de un polígono regular de lados inscritos en un círculo dado, o directamente proporcional al radio circunscrito de un polígono regular de lados de una longitud dada. Si es la longitud en la escala poligráfica y representa la longitud de la cuerda trigonométrica de un arco circular medido en grados, entonces${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización P}$${\displaystyle \nombre del operador {crd} }$

${\displaystyle {\frac {P_{1}}{P_{2}}}={\frac {\operatorname {crd} {\dfrac {360^{\circ }}{n_{2}}}}{\operatorname {crd} {\dfrac {360^{\circ }}{n_{1}}}}}.}$

Usando la notación funcional en términos de la función seno moderna,

${\displaystyle P(n)={\frac {R}{2\sin {\dfrac {\pi }{n}}}}}$

¿Dónde está el radio circunscrito de un hexágono? Estas líneas se pueden usar para ayudar en la construcción de cualquier polígono regular , desde el triángulo equilátero de 3 lados hasta el pentadecágono de 15 lados .${\displaystyle R}$${\displaystyle P(6)=R.}$

Galileo describe cómo utilizar estas líneas para hallar el radio de un círculo que encierra un polígono de n lados de una longitud dada o, en la otra dirección, cómo hallar la longitud de una cuerda que divide la circunferencia de un círculo en partes. El procedimiento para hallar el radio del círculo que encierra es el siguiente: abra el sector y fije la distancia transversal en el punto 6–6 de las líneas poligráficas a la longitud del lado deseada. La distancia medida transversalmente en las líneas poligráficas es el radio del círculo que encierra.${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Las líneas tetragónicas están marcadas desde 13 hasta 3 a medida que te alejas del pivote, y se puede inferir que la distancia desde el pivote es , donde es la distancia desde el pivote hasta el punto marcado 3. Hay un círculo en la escala que se encuentra casi a mitad de camino entre 6 y 7. El nombre proviene de tetrágono (cuadrilátero), ya que el propósito principal de estas líneas es la cuadratura de polígonos regulares, es decir, encontrar el lado de un cuadrado cuya área es la misma que el polígono regular dado. También se pueden usar para cuadrar el círculo .${\displaystyle L(n)=L_{t}{\sqrt {\frac {n}{{\sqrt {3}}\tan {\frac {180}{n}}}}}}$${\displaystyle L_{t}}$

El área de un polígono regular con lados es , donde es la longitud del lado del polígono. El radio del círculo con igual área es . El valor de en el que el radio del círculo es el mismo que la longitud del lado del polígono, es . Por supuesto, no existe tal polígono, pero esto nos da un punto de referencia en las Líneas Tetragónicas, el círculo indicado, donde es fácil leer transversalmente el radio del círculo que es igual en área al polígono con lados si fijamos el sector en en las Líneas Tetragónicas transversalmente a la longitud del lado del polígono. Para cuadrar el círculo se utiliza simplemente . Para cuadrar el polígono, todo lo que hacemos es fijar el sector transversalmente en a la longitud del lado y medir transversalmente en . Es igual de fácil encontrar las longitudes de los lados requeridas para dos polígonos cualesquiera de igual área con diferente número de lados.${\displaystyle n}$${\displaystyle A(n)=L^{2}{\frac {n}{4\tan {\frac {180}{n}}}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle r=L{\frac {n}{4\pi \tan {\frac {180}{n}}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=6.5437}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=4}$

El conjunto de líneas más externas en la parte posterior tiene una escala doble, una escala externa y una interna. La escala externa es lineal y va desde 18 hasta 0 a medida que te alejas del pivote, y el punto cero está marcado con un ⌓, el símbolo de un segmento circular . Este punto cero está aproximadamente al 70% del camino a lo largo del brazo. La escala interna también se describe como que va desde 18 hasta 0, pero el sector en el Museo Galileo solo está marcado a partir de 17. El punto cero en la escala interna se encuentra más afuera en el brazo, a una distancia de donde es la distancia desde el pivote hasta el cero en la escala externa, y el cero está marcado con un pequeño cuadrado. El cero de la escala externa se encuentra cerca del punto marcado 6 en la escala interna. La escala interna a primera vista también parece lineal, pero sus espaciamientos de puntos están determinados en realidad por una fórmula bastante compleja que tenemos que inferir ya que Galileo no describe cómo se construyó esta escala. El nombre de estas líneas deriva del hecho de que fueron agregadas por Galileo a una versión anterior de su sector. Estas líneas se utilizan para cuadrar segmentos circulares, es decir, para encontrar la longitud del lado de un cuadrado que es igual en área a un segmento circular con una longitud de cuerda y una altura dadas, donde el segmento es como máximo un semicírculo.${\textstyle {\sqrt {\pi /2}}L_{a}}$${\displaystyle L_{a}}$

El procedimiento para elevar al cuadrado un segmento circular es el siguiente. Mida la mitad de la longitud de la cuerda, . En el punto medio de la cuerda, mida la longitud de la línea perpendicular a la cuerda hasta donde interseca el círculo, la altura . Coloque el sector transversalmente en las líneas agregadas en el cero de la escala exterior hasta la mitad de la longitud de la cuerda, . Encuentre el punto en la escala exterior, , donde la distancia transversal es ; debe ser menor o igual a . Muévase al punto en la escala interior que también está marcado . La distancia transversal entre los puntos nn en la escala interior es la longitud del lado del cuadrado igual en área al segmento circular.${\displaystyle c}$${\displaystyle h}$${\displaystyle c}$${\displaystyle n}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle c}$${\displaystyle n}$

Para ver cómo funciona esto, empezamos por notar (como se puede ver en la figura en segmento circular ), que el área del segmento es la diferencia entre el área de la porción de pastel definida por donde la cuerda corta al círculo, y el triángulo formado por la cuerda y los dos radios que tocan los extremos de la cuerda. La base del triángulo tiene longitud , y la altura del triángulo es , por lo que el área del triángulo es . Usando el teorema de Pitágoras , podemos demostrar que . El área de la porción de pastel es la fracción del área del círculo cubierta por el ángulo . Para en radianes , esta área es , donde es la función seno inversa . Si definimos , y , entonces podemos escribir el área del segmento como .${\displaystyle 2c}$${\displaystyle r-h}$${\displaystyle A_{t}=c(r-h)}$${\displaystyle r=(c^{2}+h^{2})/2h}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle A_{pie}=\theta /2r^{2}=r^{2}\arcsin(c/r)}$${\displaystyle \arcsin }$${\displaystyle x=h/c}$${\displaystyle z=(1+x^{2})/2x}$${\displaystyle A_{seg}=c^{2}(z^{2}\arcsin 1/z-z+x)}$

La distancia desde el pivote hasta el punto marcado en la escala exterior es donde es la distancia desde el pivote hasta el punto cero en la escala exterior. Cuando fijamos el sector transversalmente en en el punto cero y encontramos el punto en la escala exterior donde la distancia transversal es , formamos un par de triángulos similares que comparten el ángulo formado por los brazos del sector en el pivote, de modo que . Si fijamos la distancia del punto desde el pivote en la escala interior en , con , y definidos como antes, entonces la distancia transversal medida en en la escala interior será la longitud del lado del cuadrado con área igual a la del segmento.${\displaystyle n}$${\displaystyle L_{outer}(n)=L_{a}(1-n/20)}$${\displaystyle L_{a}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h/c=1-n/20}$${\displaystyle n}$${\textstyle L_{inner}(n)=L_{a}{\sqrt {z^{2}\arcsin 1/z-z+x}}}$${\displaystyle x=1-n/20}$${\displaystyle z}$${\displaystyle n}$

El sector venía con una plomada y un cuadrante desmontable que, cuando estaba en su lugar, bloqueaba los brazos a 90° entre sí. El sector podía entonces usarse para mediciones de distancia y puntería mediante triangulación , con aplicaciones en topografía y balística. El sector también podía usarse para determinar fácilmente la elevación de un cañón insertando un brazo en el cañón y leyendo la elevación desde la ubicación de la plomada.

• Bion, Nicolas ; Stone, Edmund (1758). La construcción y principales usos de los instrumentos matemáticos (2.ª ed.). J. Richardson.Primera edición en inglés publicada por John Senex , 1723. Traducción al inglés revisada y ampliada de Bion, Nicolas (1723) [1709]. Traité de la Construction et des principaux uses des instrumens de mathématique (en francés) (edición revisada). P. Husson y otros.
• Drake, Stillman (1976). "Galileo y el primer dispositivo de computación mecánica". Scientific American . 234 (4): 104–113. doi :10.1038/scientificamerican0476-104. JSTOR  24950332.
• Foster, Samuel (1673). "El sector alterado". Las obras de Edmund Gunter . Por Gunter, Edmund . Leybourn, William (ed.). (5.ª ed.). Francis Eglesfield. págs. 157–194.
• Galileo, Galileo (1978) [1606]. Operaciones de la brújula geométrica y militar . Traducido por Drake, Stillman . Washington, DC: Smithsonian Institution.Traducción inglesa de Galilei, Galileo (1649). Le Operazioni del Compasso Geométrico et Militare (en italiano) (3ª ed.). Padua: Paolo Frambotto.
• Gunter, Edmund (1673). Leybourn, William (ed.). Las obras de Edmund Gunter (5.ª ed.). Francis Eglesfield. págs. 1–156.Publicado por primera vez en La descripción y uso del sector, la cruz y otros instrumentos (1624, 1636).
• Kern, Ralf, Wissenschaftliche Instrumente in ihrer Zeit. Desde el 15. – 19. Jahrhundert . Verlag der Buchhandlung Walther König 2010, ISBN 978-3-86560-772-0 
• Meskens, A. (1997). "La contribución de Michel Coignet al desarrollo del sector". Annals of Science . 54 (2): 143–160. doi :10.1080/00033799700200501.
• Rossini, Paolo (2019). "Nuevas teorías para nuevos instrumentos: el compás proporcional de Fabrizio Mordente y la génesis de la geometría atomista de Giordano Bruno". Estudios en Historia y Filosofía de la Ciencia A . 76 : 60–68. doi :10.1016/j.shpsa.2018.10.004.
• Williams, Michael R.; Tomash, Erwin (2003). "El sector: su historia, escalas y usos". IEEE Annals of the History of Computing . 25 (1): 34–47. doi :10.1109/MAHC.2003.1179877.
• Catálogo de instrumentos topográficos y afines , Jim Bennett, Sillabe Srl, Livorno, Italia, 2022. ISBN 978-88-3340-322-9 

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Sector (instrumento) .

• La brújula proporcional o sectorial y su historia, Kochi Arts & Science Space .
• Citas de las escalas del sector galileano extraídas de: “La brújula geométrica y militar” de G. Galileo (archivado en 2008)
• Sector Militar Cole en los Archivos IBM
• Un sector típico y cómo utilizarlo por Christopher J. Sangwin
• "La regla de cálculo y la placa senoide tienen un ancestro común" de IMSAI Guy en YouTube
• "Recorrido y tutorial por el sector del ebanista" de Brendan Bernhardt Gaffney en YouTube
• "Sector de herramientas Acer-Ferrous" en Red Rose Reproductions, incluidos varios videos que demuestran los usos del sector