Punto de acumulación

En matemáticas, un punto límite , punto de acumulación o punto de agrupamiento de un conjunto en un espacio topológico es un punto que puede "aproximarse" mediante puntos de en el sentido de que cada entorno de contiene un punto de distinto de sí mismo. Un punto límite de un conjunto no tiene por qué ser en sí mismo un elemento de También existe un concepto estrechamente relacionado para las sucesiones . Un punto de agrupamiento o punto de acumulación de una sucesión en un espacio topológico es un punto tal que, para cada entorno de hay infinitos números naturales tales que Esta definición de un punto de agrupamiento o acumulación de una sucesión se generaliza a redes y filtros . ${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S.}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$ ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización x,}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle x_{n}\en V.}$

La noción de nombre similar de un punto límite de una secuencia ^[1] (respectivamente, un punto límite de un filtro , ^[2] un punto límite de una red ) por definición se refiere a un punto al que converge la secuencia (respectivamente, el filtro converge a , la red converge a ). Es importante destacar que, aunque "punto límite de un conjunto" es sinónimo de "punto de acumulación/agrupación de un conjunto", esto no es cierto para las secuencias (ni para las redes o filtros). Es decir, el término "punto límite de una secuencia" no es sinónimo de "punto de acumulación/agrupación de una secuencia".

Los puntos límite de un conjunto no deben confundirse con los puntos adherentes (también llamados puntos de cierre ) para los cuales cada entorno de contiene algún punto de . A diferencia de los puntos límite, un punto adherente de puede tener un entorno que no contenga otros puntos aparte de él mismo. Un punto límite puede caracterizarse como un punto adherente que no es un punto aislado .${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización x}$

Los puntos límite de un conjunto tampoco deben confundirse con los puntos límite . Por ejemplo, es un punto límite (pero no un punto límite) del conjunto en con topología estándar . Sin embargo, es un punto límite (aunque no un punto límite) del intervalo en con topología estándar (para un ejemplo menos trivial de un punto límite, consulte el primer epígrafe). ^{[3] [4] [5]}${\estilo de visualización 0}$${\estilo de visualización \{0\}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\estilo de visualización 0.5}$${\estilo de visualización [0,1]}$${\displaystyle \mathbb {R}}$

Este concepto generaliza de forma provechosa la noción de límite y es la base de conceptos como el de conjunto cerrado y clausura topológica . En efecto, un conjunto es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos límite, y la operación de clausura topológica puede considerarse como una operación que enriquece un conjunto uniéndolo con sus puntos límite.

Sea un subconjunto de un espacio topológico Un punto en es un punto límite o un punto de cúmulo o${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización X.}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización X}$punto de acumulación del conjunto si cadavecindaddecontiene al menos un punto dediferente desí mismo. ${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización x}$

No hay diferencia si restringimos la condición a los vecindarios abiertos únicamente. A menudo es conveniente utilizar la forma de "vecindario abierto" de la definición para mostrar que un punto es un punto límite y utilizar la forma de "vecindario general" de la definición para derivar hechos a partir de un punto límite conocido.

Si es un espacio (como un espacio métrico ), entonces es un punto límite de si y solo si cada vecindad de contiene infinitos puntos de ^[6] De hecho, los espacios se caracterizan por esta propiedad. ${\estilo de visualización X}$$Estilo de visualización T_{1}$${\displaystyle x\en X}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización S.}$$Estilo de visualización T_{1}$

Si es un espacio de Fréchet-Urysohn (como lo son todos los espacios métricos y los espacios de primer orden contable ), entonces es un punto límite de si y sólo si hay una secuencia de puntos en cuyo límite es De hecho, los espacios de Fréchet-Urysohn se caracterizan por esta propiedad.${\estilo de visualización X}$${\displaystyle x\en X}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle S\setminus \{x\}}$${\estilo de visualización x.}$

El conjunto de puntos límite de se llama conjunto derivado de${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S.}$

Si cada vecindario de contiene infinitos puntos de entonces hay un tipo específico de punto límite llamado${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización S,}$${\estilo de visualización x}$Punto de acumulación ω de${\estilo de visualización S.}$

Si cada vecindario de contiene un número incontable de puntos de entonces existe un tipo específico de punto límite llamado punto de condensación de${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización S,}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización S.}$

Si cada vecindad de es tal que la cardinalidad de es igual a la cardinalidad de entonces es un tipo específico de punto límite llamado${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle U\cap S}$${\estilo de visualización S,}$${\estilo de visualización x}$punto de acumulación completo de${\estilo de visualización S.}$

En un espacio topológico se dice que un punto es un${\estilo de visualización X,}$${\displaystyle x\en X}$punto de agrupamiento opunto de acumulación de una secuencia si, para cadaentornodehay infinitostales que Es equivalente a decir que para cada entornodey cadahay algunotal que Sies unespacio métricoo unespacio de primer conteo(o, más generalmente, unespacio de Fréchet–Urysohn), entonceses un punto de acumulación desi y solo sies un límite de alguna subsecuencia de El conjunto de todos los puntos de acumulación de una secuencia a veces se denominaconjunto límite. ${\displaystyle x_{\bullet}=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}}$ ${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización x,}$${\displaystyle n\in \mathbb {N}}$${\displaystyle x_{n}\en V.}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle n\geq n_{0}}$${\displaystyle x_{n}\en V.}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle x_{\bullet}.}$

Obsérvese que ya existe la noción de límite de una secuencia para indicar un punto al que converge la secuencia (es decir, cada entorno de contiene todos los elementos de la secuencia, excepto un número finito). Por eso no utilizamos el término punto límite de una secuencia como sinónimo de punto de acumulación de la secuencia.${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$

El concepto de red generaliza la idea de una sucesión . Una red es una función donde es un conjunto dirigido y es un espacio topológico. Se dice que un punto es un${\displaystyle f:(P,\leq )\to X,}$${\displaystyle (P,\leq )}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle x\en X}$punto de agrupamiento opunto de acumulación de una red si, para cadavecindaddey cadahay algunotal que,equivalentemente, sitiene unasubredque converge aLos puntos de agrupamiento en redes abarcan la idea tanto de puntos de condensación como de puntos de ω-acumulación.de agrupamientoylímitetambién se definen parafiltros.${\estilo de visualización f}$ ${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle p_{0}\en P,}$$estilo de visualización p\geq p_{0}}$${\displaystyle f(p)\en V,}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización x.}$

Cada secuencia es por definición solo un mapa , de modo que su imagen puede definirse de la forma habitual. ${\displaystyle x_{\bullet}=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle x_{\bullet}:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}}$

• Si existe un elemento que aparece infinitas veces en la secuencia, es un punto de acumulación de la secuencia. Pero no necesariamente es un punto de acumulación del conjunto correspondiente . Por ejemplo, si la secuencia es la secuencia constante con valor tenemos y es un punto aislado de y no un punto de acumulación de${\displaystyle x\en X}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$${\estilo de visualización x,}$${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }=\{x\}}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle \nombre del operador {Im} x_{\bullet }}$${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• Si ningún elemento aparece infinitas veces en la secuencia, por ejemplo si todos los elementos son distintos, cualquier punto de acumulación de la secuencia es un punto de acumulación del conjunto asociado.${\estilo de visualización \omega}$${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

Por el contrario, dado un conjunto infinito contable en podemos enumerar todos los elementos de de muchas maneras, incluso con repeticiones, y así asociarle muchas secuencias que satisfagan${\displaystyle A\subseteq X}$${\estilo de visualización X,}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle A=\nombre del operador {Im} x_{\bullet }.}$

• Cualquier punto de acumulación de es un punto de acumulación de cualquiera de las secuencias correspondientes (porque cualquier vecindad del punto contendrá infinitos elementos de y, por lo tanto, también infinitos términos en cualquier secuencia asociada).${\estilo de visualización \omega}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A}$

• Un punto que no es un punto de acumulación de no puede ser un punto de acumulación de ninguna de las secuencias asociadas sin repeticiones infinitas (porque tiene un vecindario que contiene sólo un número finito (posiblemente ninguno) de puntos de y ese vecindario sólo puede contener un número finito de términos de dichas secuencias).${\displaystyle x\en X}$${\estilo de visualización \omega}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización A}$

Todo límite de una sucesión no constante es un punto de acumulación de la sucesión. Y por definición, todo punto límite es un punto adherente .

La clausura de un conjunto es una unión disjunta de sus puntos límite y puntos aislados ; es decir,${\displaystyle \operatorname {cl} (S)}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle L(S)}$${\displaystyle Yo(S)}$$${\displaystyle \operatorname {cl} (S)=L(S)\cup I(S)\quad {\text{y}}\quad L(S)\cap I(S)=\emptyset .}$$

Un punto es un punto límite si y sólo si está en la clausura de${\displaystyle x\en X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle S\setminus \{x\}.}$

Si usamos para denotar el conjunto de puntos límite de entonces tenemos la siguiente caracterización del cierre de : El cierre de es igual a la unión de y Este hecho a veces se toma como la definición del cierre .${\displaystyle L(S)}$${\estilo de visualización S,}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle L(S).}$

Un corolario de este resultado nos da una caracterización de los conjuntos cerrados: un conjunto es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos límite.${\estilo de visualización S}$

Ningún punto aislado es un punto límite de ningún conjunto.

Un espacio es discreto si y sólo si ningún subconjunto de tiene un punto límite.${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$

Si un espacio tiene la topología trivial y es un subconjunto de con más de un elemento, entonces todos los elementos de son puntos límite de Si es un singleton, entonces cada punto de es un punto límite de${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización S.}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle X\setmenos S}$${\estilo de visualización S.}$

• Punto adherente  : Punto que pertenece a la clausura de algún subconjunto dado de un espacio topológico.
• Punto de condensación  : un análogo más fuerte del punto límitePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Filtro convergente  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Conjunto derivado (matemáticas)  : conjunto de todos los puntos límite de un conjunto
• Filtros en topología  – Uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Punto aislado  – Punto de un subconjunto S alrededor del cual no hay otros puntos de S
• Límite de una función  : punto al que convergen las funciones en el análisis
• Límite de una sucesión  – Valor al que tiende una sucesión infinita
• Límite subsiguiente  : El límite de alguna subsecuencia

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1.OCLC 18588129  .
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7.OCLC 395340485  .
• Munkres, James R. (2000). Topología (segunda edición). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9.OCLC 42683260  .
• "Punto límite de un conjunto", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]