Polinomio trigonométrico

En los subcampos matemáticos del análisis numérico y el análisis matemático , un polinomio trigonométrico es una combinación lineal finita de funciones sen( nx ) y cos( nx ) con n tomando los valores de uno o más números naturales . Los coeficientes pueden tomarse como números reales, para funciones de valores reales. Para coeficientes complejos , no hay diferencia entre dicha función y una serie de Fourier finita .

Los polinomios trigonométricos se utilizan ampliamente, por ejemplo, en la interpolación trigonométrica aplicada a la interpolación de funciones periódicas . También se utilizan en la transformada de Fourier discreta .

El término polinomio trigonométrico para el caso de valores reales puede verse como el uso de la analogía : las funciones sin( nx ) y cos( nx ) son similares a la base monomial para polinomios . En el caso complejo, los polinomios trigonométricos están abarcados por las potencias positivas y negativas de , es decir, polinomios de Laurent en bajo el cambio de variables .${\displaystyle e^{ix}}$${\estilo de visualización z}$ ${\displaystyle x\mapsto z:=e^{ix}}$

Cualquier función T de la forma

$${\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n }\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} )}$$

con coeficientes y al menos uno de los coeficientes de mayor grado y distinto de cero, se denomina polinomio trigonométrico complejo de grado N. ^[1] Utilizando la fórmula de Euler, el polinomio se puede reescribir como ${\displaystyle a_{n},b_{n}\in \mathbb {C} }$$Estilo de visualización aN$$Estilo de visualización bN$

$${\displaystyle T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\qquad (x\in \mathbb {R} ).}$$con .${\displaystyle c_{n}\in \mathbb {C} }$

De manera análoga, dejando coeficientes , y al menos uno de y distinto de cero o, equivalentemente, y para todo , entonces ${\displaystyle a_{n},b_{n}\in \mathbb {R} }$$Estilo de visualización aN$$Estilo de visualización bN$${\displaystyle c_{n}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle c_{n}={\bar {c}}_{-n}}$${\displaystyle n\en [-N,N]}$

$${\displaystyle t(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n }\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} )}$$

se llama polinomio trigonométrico real de grado N. ^{[2] [3} ]

Un polinomio trigonométrico puede considerarse una función periódica en la línea real , con período algún divisor de ⁠ ⁠${\estilo de visualización 2\pi}$ , o como una función en el círculo unitario .

Los polinomios trigonométricos son densos en el espacio de funciones continuas en el círculo unitario, con la norma uniforme ; ^[4] este es un caso especial del teorema de Stone-Weierstrass . Más concretamente, para cada función continua ⁠ ⁠${\estilo de visualización f}$ y cada ⁠ ⁠${\displaystyle \epsilon >0}$ existe un polinomio trigonométrico ⁠ ⁠${\estilo de visualización T}$ tal que para todo ⁠ ⁠ . El teorema de Fejér establece que las medias aritméticas de las sumas parciales de la serie de Fourier de ⁠ ⁠ convergen uniformemente a ⁠ ⁠ siempre que ⁠ ⁠ sea continua en el círculo; estas sumas parciales se pueden utilizar para aproximar ⁠ ⁠ .${\displaystyle |f(z)-T(z)|<\epsilon }$${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$

Un polinomio trigonométrico de grado ⁠ ⁠${\estilo de visualización N}$ tiene un máximo de ⁠ ⁠${\estilo de visualización 2N}$ raíces en un intervalo real ⁠ ⁠${\displaystyle [a,a+2\pi )}$ a menos que sea la función cero. ^[5]

El teorema de Fejér-Riesz establece que todo polinomio trigonométrico real positivo que satisface para todos , puede representarse como el cuadrado del módulo de otro polinomio trigonométrico (normalmente complejo ) tal que: ^[6] O, equivalentemente, todo polinomio de Laurent con que satisface para todos puede escribirse como: para algún polinomio . ^[7]$${\displaystyle t(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx},}$$${\displaystyle t(x)>0}$${\displaystyle x\in \mathbb {R}}$${\displaystyle q(x)}$$${\displaystyle t(x)=|q(x)|^{2}=q(x){\bar {q}}(x).}$$$${\displaystyle w(z)=\sum _{n=-N}^{N}w_{n}z^{n},}$$${\displaystyle w_{n}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle w(\zeta )\geq 0}$${\displaystyle \zeta \in \mathbb {T} }$$${\displaystyle w(\zeta )=|p(\zeta )|^{2}=p(\zeta ){\bar {p}}({\bar {\zeta }}),}$$${\displaystyle p(z)}$

• Dritschel, Michael A.; Rovnyak, James (2010). "El teorema del operador Fejér-Riesz". Un vistazo a los operadores espaciales de Hilbert . Basilea: Springer Basilea. doi :10.1007/978-3-0346-0347-8_14. ISBN 978-3-0346-0346-1.
• Hussen, Abdulmtalb; Zeyani, Abdelbaset (2021). "Teorema de Fejer-Riesz y su generalización". Revista Internacional de Publicaciones Científicas y de Investigación (IJSRP) . 11 (6): 286–292. doi :10.29322/IJSRP.11.06.2021.p11437.
• Powell, Michael JD (1981), Teoría y métodos de aproximación , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-29514-7
• Riesz, Frigyes; Szőkefalvi-Nagy, Béla (1990). Análisis funcional . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-66289-3.
• Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, Sr.  0924157.