Kleetopo

En geometría y combinatoria poliédrica , el kleetopo de un poliedro o politopo convexo de dimensión superior P es otro poliedro o politopo P ^K formado al reemplazar cada faceta de P con una pirámide . ^[1] En algunos casos, se elige que la pirámide tenga lados regulares, lo que a menudo produce un politopo no convexo; alternativamente, al usar pirámides lo suficientemente superficiales, los resultados pueden seguir siendo convexos. Los kleetopos reciben su nombre de Victor Klee , ^[2] aunque el mismo concepto se conocía con otros nombres mucho antes del trabajo de Klee. ^[3]

En cada uno de estos casos, el Kleetope se forma uniendo pirámides a cada cara del poliedro original. Estos ejemplos se pueden ver en los sólidos platónicos :

• El triakis tetraedro es el Kleetopo de un tetraedro , el triakis octaedro es el Kleetopo de un octaedro y el triakis icosaedro es el Kleetopo de un icosaedro . Estos Kleetopos se forman añadiendo una pirámide triangular a cada cara de ellos. ^[3]
• El tetrakis hexaedro es el Kleetope del cubo , formado añadiendo una pirámide cuadrada a cada una de sus caras.
• El pentakis dodecaedro es el Kleetope del dodecaedro , formado añadiendo una pirámide pentagonal a cada cara del dodecaedro. ^[4]

El poliedro base de un Kleetope no necesita ser un sólido platónico. Por ejemplo, el dodecaedro disdyakis es el Kleetope del dodecaedro rómbico , formado al reemplazar cada cara del rombo del dodecaedro con una pirámide rómbica, y el triacontaedro disdyakis es el Kleetope del triacontaedro rómbico . De hecho, el poliedro base de un Kleetope no necesita ser transitivo por caras , como se puede ver en el icosidodecaedro tripentakis anterior.

Un método para formar el Kleetope de un politopo P es colocar un nuevo vértice fuera de P , cerca del centroide de cada faceta. Si todos estos nuevos vértices se colocan lo suficientemente cerca de los centroides correspondientes, entonces los únicos otros vértices visibles para ellos serán los vértices de las facetas a partir de las cuales están definidos. En este caso, el Kleetope de P es la envoltura convexa de la unión de los vértices de P y el conjunto de nuevos vértices. ^[5]

Alternativamente, el Kleetope puede definirse por la dualidad y su operación dual, el truncamiento : el Kleetope de P es el poliedro dual del truncamiento del dual de P.

Si P tiene suficientes vértices en relación con su dimensión, entonces el Kleetope de P es dimensionalmente inequívoco : el grafo formado por sus aristas y vértices no es el grafo de un poliedro o politopo diferente con una dimensión diferente. Más específicamente, si el número de vértices de un politopo P de dimensión d es al menos d ² /2 , entonces P ^K es dimensionalmente inequívoco. ^[6]

Si cada cara i -dimensional de un politopo d -dimensional P es un símplex , y si i ≤ d − 2 , entonces cada cara ( i + 1) -dimensional de P ^K es también un símplex. En particular, el Kleetope de cualquier poliedro tridimensional es un poliedro simplicial , un poliedro en el que todas las facetas son triángulos.

Los kleotopos pueden usarse para generar poliedros que no tienen ningún ciclo hamiltoniano : cualquier camino a través de uno de los vértices añadidos en la construcción del kleotopo debe entrar y salir del vértice a través de sus vecinos en el poliedro original, y si hay más vértices nuevos que vértices originales, entonces no hay suficientes vecinos para rodear. En particular, el grafo de Goldner-Harary , el kleotopo de la bipirámide triangular, tiene seis vértices añadidos en la construcción del kleotopo y solo cinco en la bipirámide a partir de la cual se formó, por lo que no es hamiltoniano; es el poliedro simplicial no hamiltoniano más simple posible. ^[7] Si se forma un poliedro con n vértices repitiendo la construcción del kleotopo cierta cantidad de veces, comenzando desde un tetraedro, entonces su camino más largo tiene longitud O( n ^{log ₃ 2} ) ; es decir, el exponente de acortamiento de estos grafos es log ₃ 2 , aproximadamente 0,630930. La misma técnica muestra que en cualquier dimensión superior  d , existen politopos simpliciales con exponente de acortamiento log _d 2 . ^[8] De manera similar, Plummer (1992) utilizó la construcción Kleetope para proporcionar una familia infinita de ejemplos de poliedros simpliciales con un número par de vértices que no tienen una correspondencia perfecta . ^[9]

Los kleotopos también tienen algunas propiedades extremas relacionadas con los grados de sus vértices : si cada arista en un grafo plano incide en al menos otras siete aristas, entonces debe existir un vértice de grado cinco como máximo, cuyos vecinos, excepto uno, tienen grado 20 o más, y el kleotopo del kleotopo del icosaedro proporciona un ejemplo en el que los vértices de alto grado tienen grado exactamente 20. ^[10]