Flexágono

En geometría , los flexágonos son modelos planos , generalmente construidos doblando tiras de papel, que pueden flexionarse o doblarse de ciertas maneras para revelar caras además de las dos que originalmente estaban en la parte delantera y trasera.

Los flexágonos suelen ser cuadrados o rectangulares ( tetraflexágonos ) o hexagonales ( hexaflexágonos ). Se puede añadir un prefijo al nombre para indicar la cantidad de caras que puede mostrar el modelo, incluidas las dos caras (trasera y delantera) que son visibles antes de flexionarse. Por ejemplo, un hexaflexágono con un total de seis caras se denomina hexahexaflexágono .

En la teoría de los hexaflexágonos (es decir, en relación con los flexágonos con seis lados), los flexágonos se definen generalmente en términos de pats . ^{[1] [2]}

Dos flexágonos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una serie de pinzamientos y rotaciones. La equivalencia de flexágonos es una relación de equivalencia . ^[1]

El descubrimiento del primer flexágono, un trihexaflexágono, se le atribuye al matemático británico Arthur H. Stone , mientras era estudiante en la Universidad de Princeton en los Estados Unidos en 1939. Su nuevo artículo estadounidense no cabía en su carpeta inglesa, por lo que cortó los extremos del papel y comenzó a doblarlos en diferentes formas. ^[3] Una de estas formó un trihexaflexágono. Los colegas de Stone, Bryant Tuckerman , Richard Feynman y John Tukey , se interesaron en la idea y formaron el Comité de Flexágonos de Princeton. Tuckerman elaboró ​​un método topológico , llamado la travesía de Tuckerman, para revelar todas las caras de un flexágono. ^[4] Las travesías de Tuckerman se muestran como un diagrama que asigna cada cara del flexágono a cada una de las otras caras. Al hacerlo, se dio cuenta de que cada cara no siempre aparece en el mismo estado.

Los flexágonos fueron presentados al público general por Martin Gardner en la edición de diciembre de 1956 de Scientific American en un artículo tan bien recibido que lanzó la columna "Juegos matemáticos" de Gardner , que luego se publicó en esa revista durante los siguientes veinticinco años. ^{[3] [5]} En 1974, el mago Doug Henning incluyó un hexaflexágono para construir uno mismo con la grabación del elenco original de su espectáculo de Broadway The Magic Show .

En 1955, Russell Rogers y Leonard D'Andrea de Homestead Park, Pensilvania, solicitaron una patente y en 1959 se les concedió la patente estadounidense número 2.883.195 para el hexahexaflexágono, bajo el título "Dispositivos de entretenimiento intercambiables y similares".

Su patente imaginaba posibles aplicaciones del dispositivo "como un juguete, como un dispositivo de exhibición publicitaria o como un dispositivo geométrico educativo". ^[6] Algunas de esas novedades fueron producidas por Herbick & Held Printing Company , la imprenta de Pittsburgh donde trabajaba Rogers, pero el dispositivo, comercializado como "Hexmo", no tuvo éxito.

El tritetraflexágono es el tetraflexágono (flexágono de lados cuadrados ) más simple. La palabra "tri" en el nombre significa que tiene tres caras, dos de las cuales son visibles en cualquier momento si se presiona el flexágono hasta que quede plano. La construcción del tritetraflexágono es similar al mecanismo utilizado en el tradicional juguete infantil de la Escalera de Jacob , en la Magia de Rubik y en el truco de la billetera mágica o la billetera Himber .

El tritetraflexágono tiene dos extremos sin salida, donde no se puede flexionar hacia adelante. Para llegar a otra cara, se debe flexionar hacia atrás o dar vuelta el flexágono.

Un hexatetraflexágono cíclico más complicado no requiere pegamento. Un hexatetraflexágono cíclico no tiene ningún "punto muerto", pero la persona que lo hace puede seguir doblándolo hasta llegar a la posición inicial. Si los lados se colorean en el proceso, los estados se pueden ver con más claridad.

A diferencia del tritetraflexágono, el hexatetraflexágono no tiene extremos muertos y no necesita nunca flexionarse hacia atrás.

Los hexaflexágonos se presentan en una gran variedad, y se distinguen por la cantidad de caras que se pueden lograr al flexionar la figura ensamblada. (Tenga en cuenta que la palabra hexaflexágonos [sin prefijos] a veces puede referirse a un hexahexaflexágono común, con seis lados en lugar de otros números).

El hexaflexágono de tres caras es el más sencillo de realizar y de manejar, y está hecho a partir de una única tira de papel, dividida en nueve triángulos equiláteros (algunos patrones proporcionan diez triángulos, dos de los cuales se pegan entre sí en el montaje final).

Para ensamblarla, la tira se dobla cada tercer triángulo, uniéndose nuevamente a sí misma después de tres inversiones a la manera del símbolo internacional del reciclaje . Esto forma una cinta de Möbius cuyo único borde forma un nudo de trébol .

Este hexaflexágono tiene seis caras y está formado por diecinueve triángulos doblados a partir de una tira de papel.

Una vez dobladas, las caras 1, 2 y 3 son más fáciles de encontrar que las caras 4, 5 y 6.

Una forma sencilla de exponer las seis caras es mediante la travesía de Tuckerman, llamada así por Bryant Tuckerman, uno de los primeros en investigar las propiedades de los hexaflexágonos. La travesía de Tuckerman implica la flexión repetida, pellizcando una esquina y flexionando exactamente desde la misma esquina cada vez. Si la esquina se niega a abrirse, muévase a una esquina adyacente y siga flexionando. Este procedimiento le lleva a un ciclo de 12 caras. Durante este procedimiento, sin embargo, 1, 2 y 3 aparecen tres veces más frecuentemente que 4, 5 y 6. El ciclo se desarrolla de la siguiente manera:

1 → 3 → 6 → 1 → 3 → 2 → 4 → 3 → 2 → 1 → 5 → 2

Y luego volvemos al 1 otra vez.

Cada color/cara también puede exponerse de más de una manera. En la figura 6, por ejemplo, cada triángulo azul tiene en el centro su esquina decorada con una cuña, pero también es posible, por ejemplo, hacer que los decorados con Y's lleguen al centro. Hay 18 configuraciones posibles de este tipo para triángulos con diferentes colores, y se pueden ver flexionando el hexahexaflexágono de todas las formas posibles en teoría, pero solo 15 pueden flexionarse con el hexahexaflexágono ordinario. Las 3 configuraciones adicionales son imposibles debido a la disposición de las fichas 4, 5 y 6 en la solapa posterior. (Los ángulos de 60 grados en los rombos formados por las fichas 4, 5 o 6 adyacentes solo aparecerán en los lados y nunca aparecerán en el centro porque requeriría cortar la tira, lo cual está topológicamente prohibido).

Los hexahexaflexágonos se pueden construir a partir de redes de dieciocho triángulos equiláteros de distintas formas. Un hexahexaflexágono, construido a partir de una tira de papel irregular, es casi idéntico al que se muestra arriba, excepto que las 18 configuraciones se pueden flexionar en esta versión.

Si bien los hexaflexágonos más comunes tienen tres o seis caras, existen variaciones con cualquier número de caras. Las tiras rectas producen hexaflexágonos con un número de caras múltiplo de tres. Otros números se obtienen a partir de tiras no rectas, que son simplemente tiras rectas con algunas uniones dobladas, eliminando algunas caras. Muchas tiras se pueden doblar de diferentes maneras, lo que produce diferentes hexaflexágonos, con diferentes mapas de plegado.

En estos flexágonos descubiertos más recientemente, cada cara cuadrada o triangular equilátera de un flexágono convencional se divide además en dos triángulos rectángulos, lo que permite modos de flexión adicionales. ^[7] La ​​división de las caras cuadradas de los tetraflexágonos en triángulos isósceles rectángulos produce los octaflexágonos, ^[8] y la división de las caras triangulares de los hexaflexágonos en triángulos rectángulos 30-60-90 produce los dodecaflexágonos. ^[9]

En su estado plano, el pentaflexágono se parece mucho al logotipo de Chrysler : un pentágono regular dividido desde el centro en cinco triángulos isósceles , con ángulos 72–54–54. Debido a su simetría quíntuple, el pentaflexágono no se puede doblar por la mitad. Sin embargo, una serie compleja de flexiones da como resultado su transformación de mostrar los lados uno y dos en la parte delantera y trasera, a mostrar sus lados tres y cuatro previamente ocultos. ^[10]

Al dividir los 72-54-54 triángulos del pentaflexágono en 36-54-90 triángulos rectángulos se produce una variación del decaflexágono de 10 lados. ^[11]

El pentaflexágono es uno de una secuencia infinita de flexágonos basados ​​en la división de un n -ágono regular en n triángulos isósceles. Otros flexágonos incluyen el heptaflexágono, ^[12] el octaflexágono isósceles, ^[13] el eneaflexágono, ^[14] y otros.

Harold V. McIntosh también describe flexágonos "no planos" (es decir, aquellos que no se pueden flexionar para que queden planos); aquellos plegados a partir de pentágonos llamados pentaflexágonos , ^[15] y a partir de heptágonos llamados heptaflexágonos . ^[16] Estos deben distinguirse de los pentaflexágonos y heptaflexágonos "ordinarios" descritos anteriormente, que están hechos de triángulos isósceles y se pueden hacer para que queden planos.

Los flexágonos también son una estructura de libro popular utilizada por los creadores de libros de artistas como Julie Chen ( Life Cycle ) y Edward H. Hutchins ( Album y Voces de México ). Las instrucciones para hacer tetra-tetra-flexágonos y flexágonos cruzados se incluyen en Making Handmade Books: 100+ Bindings, Structures and Forms de Alisa Golden. ^[17]

Un hexaflexágono de orden superior se utilizó como elemento de la trama en la novela 0X de Piers Anthony , en la que un flex era análogo al viaje entre universos alternativos. ^[18]

Vi Hart , una conocida matemática recreativa y educadora pública, ganó atención por su video sobre hexaflexágonos.

• Árbol de Cayley
• Teoría de grupos geométricos
• Caleidociclo

• Martin Gardner escribió una excelente introducción a los hexaflexágonos en la columna Mathematical Games de diciembre de 1956 en Scientific American . También aparece en:
  • El libro de la revista Scientific American sobre acertijos y diversiones matemáticas . Simon & Schuster. 1959.
  • Hexaflexágonos y otras diversiones matemáticas: el primer libro de juegos y acertijos de la "Scientific American" . University of Chicago Press. 1988. ISBN 0-226-28254-6.
  • El libro colosal de las matemáticas . WW Norton & Co. 2001. ISBN 0-393-02023-1.
  • Hexaflexágonos, paradojas de probabilidad y la Torre de Hanoi: el primer libro de juegos y acertijos matemáticos de Martin Gardner . Cambridge University Press. 2008. ISBN 978-0-521-73525-4.
  • Gardner, Martin (enero de 2012). "Hexaflexágonos". The College Mathematics Journal . 43 (1): 2–5. doi :10.4169/college.math.j.43.1.002. JSTOR  10.4169/college.math.j.43.1.002. S2CID  218544330.El número también contiene otro artículo de Pook y uno de Iacob, McLean y Hua.
• Jones, Madeline (1966). Los misteriosos flexágonos: una introducción a un nuevo y fascinante concepto en el plegado de papel . Crown Publishers.
• Mitchell, David (2000). La magia de los flexágonos: curiosidades de papel para recortar y hacer . Tarquin. ISBN 1-899618-28-7.
• Pook, Les (2006). Flexágonos de adentro hacia afuera . Cambridge University Press. ISBN 0-521-81970-9.
• Pook, Les (2009). Diversión seria con flexágonos: un compendio y una guía . Springer. ISBN 978-90-481-2502-9.

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Flexágonos .

• Mis experiencias con Flexagon, de Harold V. McIntosh : contiene información histórica y teoría
• El portal Flexagon: el sitio de Robin Moseley tiene patrones para una gran variedad de flexágonos.
• Flexágonos
• Flexágonos: el sitio de Scott Sherman, con una variedad de flexágonos de diferentes formas.
• Página de MathWorld sobre tetraflexágonos, incluidas tres redes
• Flexágonos: artículo de 1962 de Antony S. Conrad y Daniel K. Hartline (RIAS)
• Entrada de MathWorld sobre hexaflexágonos
• Yutaka Nishiyama (2010). "Solución general para plegamientos múltiples de hexaflexágonos" IJPAM, vol. 58, núm. 1, 113-124. "19 caras de flexágonos"
• Vídeo de Vi Hart sobre los hexaflexágonos, parte 1, parte 2