Serie de composiciones

En álgebra abstracta , una serie de composición proporciona una forma de dividir una estructura algebraica , como un grupo o un módulo , en piezas simples. La necesidad de considerar las series de composición en el contexto de los módulos surge del hecho de que muchos módulos naturales no son semisimples , por lo tanto, no se pueden descomponer en una suma directa de módulos simples . Una serie de composición de un módulo M es una filtración creciente finita de M por submódulos de modo que los cocientes sucesivos sean simples y sirva como reemplazo de la descomposición de suma directa de M en sus constituyentes simples.

Puede que no exista una serie de composición y, cuando exista, no es necesario que sea única. Sin embargo, un grupo de resultados conocidos con el nombre general de teorema de Jordan-Hölder afirma que, siempre que existan series de composición, las clases de isomorfismo de las piezas simples (aunque, tal vez, no su ubicación en la serie de composición en cuestión) y sus multiplicidades están unívocamente determinadas. Las series de composición pueden, por tanto, utilizarse para definir invariantes de grupos finitos y módulos artinianos .

Un concepto relacionado pero distinto es el de serie principal : una serie de composición es una serie subnormal máxima , mientras que una serie principal es una serie normal máxima .

Si un grupo G tiene un subgrupo normal N , entonces se puede formar el grupo factorial G / N y algunos aspectos del estudio de la estructura de G se pueden desglosar estudiando los grupos "más pequeños" G/N y N . Si G no tiene ningún subgrupo normal que sea diferente de G y del grupo trivial, entonces G es un grupo simple . De lo contrario, surge naturalmente la pregunta de si G se puede reducir a "piezas" simples y, de ser así, ¿existen características únicas de la forma en que esto se puede hacer?

Más formalmente, una serie de composición de un grupo G es una serie subnormal de longitud finita.

${\displaystyle 1=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{n}=G,}$

con inclusiones estrictas, de modo que cada H _i es un subgrupo normal propio maximalista de H _{i +1} . De manera equivalente, una serie de composición es una serie subnormal de modo que cada grupo de factores H _{i +1} / H _i es simple . Los grupos de factores se denominan factores de composición .

Una serie subnormal es una serie de composición si y solo si tiene una longitud máxima. Es decir, no hay subgrupos adicionales que puedan "insertarse" en una serie de composición. La longitud n de la serie se denomina longitud de composición .

Si existe una serie de composición para un grupo G , entonces cualquier serie subnormal de G puede refinarse a una serie de composición, informalmente, insertando subgrupos en la serie hasta la maximización. Todo grupo finito tiene una serie de composición, pero no todo grupo infinito la tiene. Por ejemplo, no tiene serie de composición.${\displaystyle \mathbb {Z}}$

Un grupo puede tener más de una serie de composición. Sin embargo, el teorema de Jordan-Hölder (llamado así por Camille Jordan y Otto Hölder ) establece que dos series de composición cualesquiera de un grupo dado son equivalentes. Es decir, tienen la misma longitud de composición y los mismos factores de composición, salvo permutación e isomorfismo . Este teorema se puede demostrar utilizando el teorema de refinamiento de Schreier . El teorema de Jordan-Hölder también es válido para series de composición ascendentes transfinitas , pero no para series de composición descendentes transfinitas (Birkhoff 1934). Baumslag (2006) ofrece una prueba breve del teorema de Jordan-Hölder intersectando los términos de una serie subnormal con los de la otra serie.

Para un grupo cíclico de orden n , las series de composición corresponden a factorizaciones primas ordenadas de n y, de hecho, producen una prueba del teorema fundamental de la aritmética .

Por ejemplo, el grupo cíclico tiene y como tres series de composición diferentes. Las secuencias de factores de composición obtenidas en los respectivos casos son y$Estilo de visualización C_{12}$${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12},\ \,C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{4}\triangleleft C_{12},}$${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{3}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}}$${\displaystyle C_{2},C_{3},C_{2},\ \,C_{2},C_{2},C_{3},}$${\displaystyle C_{3},C_{2},C_{2}.}$

La definición de serie de composición para módulos restringe toda la atención a los submódulos, ignorando todos los subgrupos aditivos que no sean submódulos. Dado un anillo R y un R -módulo M , una serie de composición para M es una serie de submódulos

${\displaystyle \{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}=M}$

donde todas las inclusiones son estrictas y J _k es un submódulo máximo de J _{k +1} para cada k . En cuanto a los grupos, si M tiene una serie de composición, entonces cualquier serie finita estrictamente creciente de submódulos de M puede refinarse a una serie de composición, y dos series de composición cualesquiera para M son equivalentes. En ese caso, los módulos cocientes (simples) J _{k +1} / J _k se conocen como los factores de composición de M, y el teorema de Jordan-Hölder se cumple, asegurando que el número de ocurrencias de cada tipo de isomorfismo de R -módulo simple como factor de composición no depende de la elección de la serie de composición.

Es bien sabido ^[1] que un módulo tiene una serie de composición finita si y solo si es a la vez un módulo artiniano y un módulo noetheriano . Si R es un anillo artiniano , entonces cada R -módulo finitamente generado es artiniano y noetheriano, y por lo tanto tiene una serie de composición finita. En particular, para cualquier cuerpo K , cualquier módulo de dimensión finita para un álgebra de dimensión finita sobre K tiene una serie de composición, única hasta la equivalencia.

Los grupos con un conjunto de operadores generalizan las acciones de grupo y las acciones de anillo sobre un grupo. Se puede seguir un enfoque unificado para los grupos y los módulos como en (Bourbaki 1974, Cap. 1) o (Isaacs 1994, Cap. 10), simplificando parte de la exposición. Se considera que el grupo G recibe la acción de elementos (operadores) de un conjunto Ω. La atención se limita por completo a los subgrupos invariantes bajo la acción de elementos de Ω, llamados Ω-subgrupos. Por lo tanto, las series de composición Ω deben utilizar solo Ω-subgrupos, y los factores de composición Ω solo necesitan ser Ω-simples. Los resultados estándar anteriores, como el teorema de Jordan-Hölder, se establecen con pruebas casi idénticas.

Los casos especiales recuperados incluyen cuando Ω = G de modo que G actúa sobre sí mismo. Un ejemplo importante de esto es cuando los elementos de G actúan por conjugación, de modo que el conjunto de operadores consiste en los automorfismos internos . Una serie de composición bajo esta acción es exactamente una serie principal . Las estructuras de módulos son un caso de Ω-acciones donde Ω es un anillo y se satisfacen algunos axiomas adicionales.

Una serie de composición de un objeto A en una categoría abeliana es una secuencia de subobjetos

${\displaystyle A=X_{0}\supsetneq X_{1}\supsetneq \dots \supsetneq X_{n}=0}$

de manera que cada objeto cociente X _i  / X _{i  + 1} es simple (para 0 ≤ i < n ). Si A tiene una serie de composición, el entero n sólo depende de A y se llama longitud de A . ^[2]

• Teoría de Krohn-Rhodes , un análogo del semigrupo
• Teorema de refinamiento de Schreier : dos series subnormales cualesquiera tienen refinamientos de series de composición equivalente
• Lema de Zassenhaus , utilizado para demostrar el teorema de refinamiento de Schreier

• Birkhoff, Garrett (1934), "Series de subgrupos transfinitos", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 40 (12): 847–850, doi : 10.1090/S0002-9904-1934-05982-2
• Baumslag, Benjamin (2006), "Una forma sencilla de demostrar el teorema de Jordan-Hölder-Schreier", American Mathematical Monthly , 113 (10): 933–935, doi :10.2307/27642092
• Bourbaki, N. (1974), Álgebra , Hermann, París; Addison-Wesley Publishing Co., Reading Mass.
• Isaacs, I. Martin (1994), Álgebra: un curso de posgrado , Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-19002-6
• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006), Categorías y haces