Exámenes de matemáticas

Exámenes de matemáticas

Los resultados de las partes II y III del examen Tripos de Matemáticas se leen en el Senado de la ciudad de Cambridge y luego se arrojan desde el balcón.
Tipo	Licenciatura en Artes (BA) Maestría en Matemáticas (MMath) Maestría en Estudios Avanzados (MASt)
Habilidades puestas a prueba	Matemáticas
Duración	3 o 4 años
Regiones	Universidad de Cambridge
Idiomas	idioma en Inglés
Sitio web	matemáticas.cam.ac.uk/undergrad

El Tripos de Matemáticas es el curso de matemáticas que se imparte en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Cambridge . ^[1]

En su forma clásica del siglo XIX, el Tripos era un examen escrito distintivo de los estudiantes de grado de la Universidad de Cambridge . Antes de 1824, el Tripos de Matemáticas se conocía formalmente como "Examen de la Cámara del Senado". ^[2] Desde aproximadamente 1780 hasta 1909, el "Old Tripos" se distinguió por una serie de características, incluida la publicación de un orden de mérito de los candidatos aprobados y la dificultad de los problemas matemáticos propuestos para su solución. A modo de ejemplo, en 1854, el Tripos constaba de 16 exámenes repartidos en ocho días, con un total de 44,5 horas. El número total de preguntas era de 211. ^[3] Se dividía en dos partes, y la Parte I (los primeros tres días) cubría temas más elementales. ^[4]

Las notas reales de los exámenes nunca se publicaron, pero hay referencias a un examen en la década de 1860 en el que, de una nota total posible de 17.000, el wrangler senior obtuvo 7634, el segundo wrangler 4123, el wrangler más bajo alrededor de 1500 y el candidato con la puntuación más baja que obtuvo honores (la cuchara de madera ) 237; alrededor de 100 candidatos recibieron honores. Los 300 candidatos por debajo de ese nivel no obtuvieron honores y fueron conocidos como poll men . ^[5] Las preguntas para el examen de 1841 se pueden encontrar en Cambridge University Magazine (páginas 191-208). ^[6]

Según el estudio Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics de Andrew Warwick ^[7] durante este período el estilo de enseñanza y estudio requerido para la preparación exitosa de los estudiantes tuvo una amplia influencia:

• sobre el desarrollo de las 'matemáticas mixtas' (un precursor de las matemáticas aplicadas posteriores , la geometría descriptiva y la física matemática , con énfasis en el dominio de la manipulación algebraica) ^{[7] [4]}
• sobre la educación matemática
• como formación profesional para campos como la astronomía
• En la recepción de nuevas teorías físicas, particularmente en el electromagnetismo, tal como lo expuso James Clerk Maxwell.

Como los estudiantes de Cambridge hacían mucho trabajo de memorización , denominado "trabajo de lectura", Augustus De Morgan observó y repitió Andrew Warwick ^{[7] : 152} que los autores de los libros de texto de Cambridge se saltaban material conocido. En consecuencia, "a los lectores que no eran de Cambridge... les resultaba imposible seguir los argumentos".

Entre los años 1820 y 1840, se introdujeron en el plan de estudios temas analíticos como las integrales elípticas . Bajo la dirección de William Whewell , el alcance del programa Tripos cambió a uno de "matemáticas mixtas", con la inclusión de temas de física como la electricidad, el calor y el magnetismo. Los estudiantes tendrían que estudiar intensamente para resolver problemas rutinarios rápidamente. ^[4]

La historia temprana es la de la sustitución gradual, a mediados del siglo XVIII, del método tradicional de examen oral por trabajos escritos, con un cambio simultáneo en el énfasis de la discusión latina a las preguntas matemáticas. Es decir, se esperaba que todos los candidatos a la licenciatura demostraran al menos competencia en matemáticas. Un largo proceso de desarrollo de la tutoría (clases normalmente fuera de los cursos oficiales de la Universidad y la facultad) fue de la mano con un aumento gradual de la dificultad de las preguntas más difíciles que se planteaban. Se introdujo el modelo estándar de examen de trabajo en libros (en su mayoría teoremas memorizados ) más problemas adicionales (problemas para resolver, que ponían a prueba la comprensión del trabajo en libros).

La lista de los wranglers (los candidatos que concedían un título de primera clase) se convirtió con el tiempo en objeto de gran atención pública. Según Alexander Macfarlane ^[8]

Para obtener altos honores en el examen final de matemáticas, un estudiante debe someterse a un entrenamiento especial con un matemático, técnicamente llamado entrenador, que no es uno de los instructores regulares de la universidad ni uno de los catedráticos, sino que simplemente se dedica a entrenar a hombres para que aprueben ese examen en particular. La habilidad consiste en la velocidad con la que uno puede resolver y, más especialmente, escribir la solución de los problemas. Es un entrenamiento excelente, pero no hay tiempo para estudiar principios fundamentales, y menos aún para hacer investigaciones filosóficas. La perspicacia matemática es algo superior a la habilidad para resolver problemas; en consecuencia, el entrenador veterano no siempre ha resultado ser el matemático más distinguido en la vida posterior.

William Hopkins fue el primer entrenador que se distinguió por el rendimiento de sus alumnos. Cuando se jubiló en 1849, uno de sus alumnos, Edward Routh, se convirtió en el entrenador dominante. Otro entrenador, William Henry Besant, publicó un libro de texto, Elementary Hydrostatics , que contenía ejercicios y soluciones matemáticas que beneficiarían a los estudiantes que se preparaban para el examen final. Después de que Routh se jubilara en 1888, Robert Rumsey Webb entrenó a muchos de los mejores vaqueros. Warwick señala que la enseñanza universitaria mejoró hacia finales del siglo XIX:

La expansión de las clases interuniversitarias y universitarias en todos los niveles durante las décadas de 1880 y 1890 significó que, en 1900, ya no era necesario que los tutores impartieran clases a los estudiantes ni que les proporcionaran manuscritos sobre los métodos matemáticos que debían dominar. La tarea principal del tutor ahora era asegurarse de que los estudiantes asistieran a una variedad adecuada de cursos y que comprendieran lo que se les estaba enseñando. … Esta reducción de la responsabilidad hizo que fuera prácticamente imposible para un tutor privado dominar la formación de los estudiantes de grado como lo habían hecho Hopkins, Routh y Webb. ^{[7] : 282}

Robert Alfred Herman , miembro del Trinity College, se asoció entonces con varios de los mejores vaqueros como su entrenador; evidentemente, la universidad finalmente estaba proporcionando educación a sus estudiantes.

Cuando AR Forsyth escribió su retrospectiva en 1935, recordó a Webb, Percival Frost , Herman y Besant como los mejores entrenadores. Otros entrenadores que produjeron los mejores vaqueros fueron EW Hobson , John Hilton Grace , HF Baker , Thomas John I'Anson Bromwich y AEH Love .

Aparte de la preparación intelectual, el desafío de los exámenes tripos era su duración: "Los exámenes en sí mismos estaban pensados ​​en parte como pruebas de resistencia, y se realizaban en mañanas y tardes consecutivas durante cuatro y cinco días seguidos". ^{[7] : 186} Muchos candidatos optaban por caminar a paso ligero para aumentar su resistencia . A medida que avanzaba el siglo XIX, la caminata se convirtió en atletismo y otros deportes competitivos, incluidos el remo y la natación . Los entrenadores dieron el ejemplo: Routh hacía una caminata constitucional de dos horas diarias, mientras que "Besant era montañero, Webb caminante y Frost era extremadamente competente en cricket, tenis, carreras y natación". ^{[7] : 200} En 1900, había veintitrés deportes reconocidos que se disputaban en Cambridge.

En 1873, Sarah Woodhead se convirtió en la primera mujer en tomar y aprobar el examen Tripos de Matemáticas. ^[9]

En 1880, Charlotte Angas Scott obtuvo un permiso especial para presentarse al examen de matemáticas, ya que normalmente no se permitía a las mujeres presentarse a ese examen. Quedó en octavo lugar en el examen de todos los estudiantes que lo tomaron, pero debido a su sexo, el título de "octava campeona", un alto honor, pasó oficialmente a un estudiante masculino. ^[10] Sin embargo, en la ceremonia, después de que se anunciara la séptima campeona, todos los estudiantes de la audiencia gritaron su nombre. Como no pudo asistir a la ceremonia de entrega de premios, Scott celebró su logro en el Girton College, donde hubo vítores y aplausos en la cena, una ceremonia especial por la noche donde los estudiantes cantaron "See the Conquering Hero Comes", recibieron una oda escrita por un miembro del personal y fueron coronadas con laureles. ^[10] Después de este incidente, a las mujeres se les permitió presentarse formalmente al examen y sus puntajes en el examen se enumeraron, aunque por separado de los hombres y, por lo tanto, no se incluyeron en las clasificaciones. Las mujeres que obtuvieron el puntaje necesario también recibieron un certificado especial en lugar del título de BA con honores.

En 1890, Philippa Fawcett se convirtió en la primera mujer en obtener la puntuación más alta en el examen final de matemáticas. ^{[11] [12]}

Las reformas se implementaron en 1909. El programa de matemáticas de grado en Cambridge todavía refleja un enfoque históricamente amplio, y las habilidades para resolver problemas se ponen a prueba en los exámenes, aunque durante muchos años se ha desalentado la formulación de preguntas excesivamente exigentes.

En A Mathematician's Miscellany se citan ejemplos de preguntas de 1881, antes de las reformas :

(b) Una esfera que gira en equilibrio sobre un cilindro horizontal rugoso se ve ligeramente perturbada; demuestre que la trayectoria del punto de contacto es inicialmente una hélice. (c) Si la esfera tiene una ley de densidad simétrica centralmente tal que hace que el radio de giro sea una cierta fracción del radio, entonces, cualquiera que sea el giro, la trayectoria es una hélice mientras dure el contacto. (Marcado en 200; una segunda parte sobre detalles adicionales contenía otros 105.)

A partir de 2018 ^[actualizar], el curso Tripos de Matemáticas comprende tres años de licenciatura (Partes IA, IB y II) que califican a un estudiante para un título de BA, y un curso de maestría opcional de un año ( Parte III ) que califica a un estudiante para un título de Maestría en Matemáticas (MMath) (con BA) si son estudiantes de cuarto año de Cambridge o un título de Maestría en Estudios Avanzados (MASt) si vienen de afuera solo para hacer la Parte III . La evaluación se realiza principalmente mediante un examen escrito al final de cada año académico, con algunos elementos de trabajo de curso en el segundo, tercer y cuarto año. ^[13]

Durante la parte de pregrado del curso, se espera que los estudiantes asistan a unas 12 clases de una hora por semana en promedio, junto con dos tutorías. Las tutorías son sesiones informales en las que un pequeño grupo de estudiantes, normalmente una pareja, revisa hojas de ejemplo previamente completadas bajo la guía de un miembro del profesorado, un compañero de la universidad o un estudiante de posgrado.

Durante el primer año, Parte IA, el programa de cursos es bastante rígido, proporcionando gran parte del conocimiento básico requerido para las matemáticas, incluyendo álgebra , análisis , métodos de cálculo y probabilidad . El segundo año, Parte IB, no contiene contenido obligatorio pero se recomienda que los estudiantes realicen cursos particulares ya que son prerrequisitos esenciales para cursos posteriores. Se ofrece una gama de cursos puros, como geometría , análisis complejo y un curso que estudia teoría de grupos , anillos y módulos , así como cursos aplicados sobre electromagnetismo , mecánica cuántica y dinámica de fluidos . ^[14] En la Parte II, los estudiantes son libres de elegir entre una gran cantidad de cursos sobre una amplia gama de temas matemáticos; estos se dividen en cursos C más accesibles y cursos D que son más complejos. Algunos estudiantes eligen intercambiar el 25% de las opciones de matemáticas de primer año a cambio de la opción de Física de los Tripos de Ciencias Naturales de primer año con la posibilidad de cambiar a Ciencias Naturales al final del primer año.

• Rouse Ball, Una historia del estudio de las matemáticas en Cambridge
• Leonard Roth (1971) "Viejos días en Cambridge", American Mathematical Monthly 78:223–236.

El Tripos fue una institución importante en la Inglaterra del siglo XIX y en ella participaron muchas figuras notables. Ha atraído la atención de muchos académicos. Véase, por ejemplo:

• Griffin, N.; Lewis, AC (1990). "La educación matemática de Bertrand Russell". Notas y registros de la Royal Society . 44 : 51–71. doi : 10.1098/rsnr.1990.0004 .
• Stray, C. (2001). "El cambio del examen oral al escrito: Cambridge y Oxford 1700-1900". Evaluación en educación: principios, políticas y prácticas . 8 : 33–50. doi :10.1080/09695940120033243. S2CID  144330476.

En la vejez, dos estudiantes universitarios de la década de 1870 escribieron relatos marcadamente contrastantes sobre el antiguo Tripos: uno negativo y otro positivo. Andrew Forsyth , Senior Wrangler en 1881, se quedó en Cambridge y fue uno de los reformadores responsables del nuevo Tripos. Karl Pearson, Third Wrangler en 1879, hizo su carrera fuera de Cambridge.

• Forsyth, AR (1935). "Viejos días de Tripos en Cambridge". Mathematical Gazette . 19 (234): 162–179. doi :10.1017/s0025557200203756. JSTOR  3605871.
• Pearson, Karl (1936). "Los viejos tiempos de Tripos en Cambridge, vistos desde otro punto de vista". Mathematical Gazette . 20 (237): 27–36. doi :10.1017/s0025557200205755. JSTOR  3607829.

JJ Thomson , un segundo vaquero en 1880, escribió sobre su experiencia en:

• Recuerdos y reflexiones de JJ Thomson. Londres: G. Bell, 1936.

JE Littlewood , un veterano Wrangler en los últimos años del antiguo Tripos, recordó la experiencia en:

• JE Littlewood A Mathematician's Miscellany (2.ª edición publicada en 1986), Cambridge University Press .
• GH Hardy , Apología de un matemático , Cambridge University Press (1940). 153 páginas. ISBN 0-521-42706-1 . 
• Kathryn M. Olesko (2004) Reseña de Masters of Theory de la revista American Scientist .
• Theodore M. Porter (2003) Reseña de Masters of Theory from Science .

Sobre la importancia de los Tripos en la historia de las matemáticas en Gran Bretaña: búsqueda de "tripos" en

• El archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor

Para ver estadísticas sobre el número de graduados (hombres y mujeres) entre 1882 y 1940, consulte:

• Archivo Davis de mujeres matemáticas: Cambridge

Para el Tripos actual véase:

• Universidad de Cambridge: Guía para el examen final de matemáticas (pdf)
• Exámenes reales a partir del año 2001
• El sitio de la facultad de Matemáticas de Cambridge que explica la Parte III
• Nelson, Graham . "La profesión de la señorita Warren", Eureka 51 , 1992. Crítica de la Parte III.