Ley de Weyl

En matemáticas , especialmente en teoría espectral , la ley de Weyl describe el comportamiento asintótico de los valores propios del operador de Laplace-Beltrami . Esta descripción fue descubierta en 1911 (en el caso) por Hermann Weyl para los valores propios del operador de Laplace-Beltrami que actúa sobre funciones que se anulan en el límite de un dominio acotado . En particular, demostró que el número, , de valores propios de Dirichlet (contando sus multiplicidades) menores o iguales a satisface d = 2 , 3 {\displaystyle d=2,3} Ohmio ⊂ R d {\displaystyle \Omega \subconjunto \mathbb {R} ^{d}} norte ( la ) {\displaystyle N(\lambda )} la {\estilo de visualización \lambda}

límite la → ∞ norte ( la ) la d / 2 = ( 2 π ) − d ω d en o yo ( Ohmio ) {\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow \infty }{\frac {N(\lambda )}{\lambda ^{d/2}}}=(2\pi )^{-d}\omega _ d}\mathrm {vol} (\Omega)}

donde es un volumen de la bola unitaria en . [1] En 1912 proporcionó una nueva prueba basada en métodos variacionales . [2] [3] La ley de Weyl se puede extender a variedades riemannianas cerradas , donde se puede dar otra prueba utilizando la función zeta de Minakshisundaram–Pleijel . ω d {\displaystyle \omega _{d}} R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}

Generalizaciones

La ley de Weyl se ha extendido a dominios y operadores más generales. Para el operador de Schrödinger

yo = − yo 2 Δ + V ( incógnita ) {\displaystyle H=-h^{2}\Delta +V(x)}

Se extendió a

norte ( mi , yo ) ∼ ( 2 π yo ) − d ∫ { | o | 2 + V ( incógnita ) < mi } d incógnita d o {\displaystyle N(E,h)\sim (2\pi h)^{-d}\int _{\{|\xi |^{2}+V(x)<E\}}dxd\xi }

como tendiente a o hacia un fondo de espectro esencial y/o . mi {\estilo de visualización E} + ∞ {\estilo de visualización +\infty} yo → + 0 {\displaystyle h\to +0}

Aquí está el número de valores propios de abajo a menos que haya un espectro esencial debajo, en cuyo caso . norte ( mi , yo ) {\displaystyle N(E,h)} yo {\estilo de visualización H} mi {\estilo de visualización E} mi {\estilo de visualización E} norte ( mi , yo ) = + ∞ {\displaystyle N(E,h)=+\infty }

En el desarrollo de la asintótica espectral, el papel crucial lo desempeñaron los métodos variacionales y el análisis microlocal .

Contraejemplos

La ley de Weyl extendida falla en ciertas situaciones. En particular, la ley de Weyl extendida "afirma" que no existe un espectro esencial si y solo si la expresión de la derecha es finita para todo . mi {\estilo de visualización E}

Si se consideran dominios con cúspides (es decir, "salidas de contracción hasta el infinito"), entonces la ley de Weyl (extendida) afirma que no hay espectro esencial si y solo si el volumen es finito. Sin embargo, para el laplaciano de Dirichlet no hay espectro esencial incluso si el volumen es infinito siempre que las cúspides se encojan en el infinito (por lo que la finitud del volumen no es necesaria).

Por otra parte, para el Laplaciano de Neumann existe un espectro esencial a menos que las cúspides se encojan en el infinito más rápido que el exponente negativo (por lo que la finitud del volumen no es suficiente).

Conjetura de Weyl

Weyl conjeturó que

norte ( la ) = ( 2 π ) − d la d / 2 ω d en o yo ( Ohmio ) ∓ 1 4 ( 2 π ) 1 − d ω d − 1 la ( d − 1 ) / 2 a a mi a ( ∂ Ohmio ) + o ( la ( d − 1 ) / 2 ) {\displaystyle N(\lambda )=(2\pi )^{-d}\lambda ^{d/2}\omega _{d}\mathrm {vol} (\Omega )\mp {\frac {1} {4}}(2\pi )^{1-d}\omega _{d-1}\lambda ^{(d-1)/2}\mathrm {área} (\partial \Omega )+o(\ lambda^{(d-1)/2})}

donde el término restante es negativo para las condiciones de contorno de Dirichlet y positivo para las de Neumann. Muchos matemáticos mejoraron la estimación del resto.

En 1922, Richard Courant demostró un límite de . En 1952, Boris Levitan demostró el límite más estricto de para variedades cerradas compactas. Robert Seeley extendió esto para incluir ciertos dominios euclidianos en 1978. [4] En 1975, Hans Duistermaat y Victor Guillemin demostraron el límite de cuando el conjunto de bicaracterísticas periódicas tiene medida 0. [5] Esto fue finalmente generalizado por Victor Ivrii en 1980. [6] Esta generalización supone que el conjunto de trayectorias periódicas de un billar en tiene medida 0, lo que Ivrii conjeturó que se cumple para todos los dominios euclidianos acotados con límites suaves. Desde entonces, se han obtenido resultados similares para clases más amplias de operadores. Oh ( la ( d − 1 ) / 2 registro ⁡ la ) {\displaystyle O(\lambda ^{(d-1)/2}\log \lambda )} Oh ( la ( d − 1 ) / 2 ) {\displaystyle O(\lambda ^{(d-1)/2})} o ( la ( d − 1 ) / 2 ) {\displaystyle o(\lambda ^{(d-1)/2})} Ohmio {\estilo de visualización \Omega}

Referencias

  1. ^ Weyl, Hermann (1911). "Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte". Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen : 110–117.
  2. ^ "Das asymptotische Verteilungsgesetz linearen partiellen Differentialgleichungen". Annalen Matemáticas . 71 : 441–479. 1912. doi :10.1007/BF01456804. S2CID  120278241.
  3. ^ Para una demostración en inglés, véase Strauss, Walter A. (2008). Partial Differential Equations . John Wiley & Sons.Véase el capítulo 11.
  4. ^ Seeley, Robert (1978). "Una estimación asintótica precisa para los valores propios del laplaciano en un dominio de R 3 {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}". Avances en Matemáticas . 102 (3): 244–264. doi : 10.1016/0001-8708(78)90013-0 .
  5. ^ El espectro de operadores elípticos positivos y bicaracterísticas periódicas. Inventiones Mathematicae , 29(1):37–79 (1975).
  6. ^ Segundo término de la expansión asintótica espectral para el operador de Laplace-Beltrami en una variedad con borde. Análisis funcional y sus aplicaciones 14(2):98–106 (1980).
Obtenido de "https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ley_de_Weyl&oldid=1218580944"