Ley de Little
Teorema de la teoría de colas

En la teoría matemática de colas , la ley de Little (también resultado , teorema , lema o fórmula [1] [2] ) es un teorema de John Little que establece que el número promedio a largo plazo L de clientes en un sistema estacionario es igual a la tasa de llegada efectiva promedio a largo plazo λ multiplicada por el tiempo promedio W que un cliente pasa en el sistema. Expresada algebraicamente, la ley es

yo = la Yo . {\displaystyle L=\lambda W.}

La relación no se ve afectada por la distribución del proceso de llegada, la distribución del servicio, el orden de servicio o prácticamente cualquier otra cosa. En la mayoría de los sistemas de colas, el tiempo de servicio es el cuello de botella que crea la cola. [3]

El resultado se aplica a cualquier sistema y, en particular, a sistemas dentro de sistemas. [4] Por ejemplo, en una sucursal bancaria, la línea de atención al cliente podría ser un subsistema y cada uno de los cajeros otro subsistema, y ​​el resultado de Little podría aplicarse a cada uno de ellos, así como a todo el sistema. Los únicos requisitos son que el sistema sea estable y no preemptivo [ vago ] ; esto descarta estados de transición como el arranque o apagado inicial.

En algunos casos es posible no sólo relacionar matemáticamente el número promedio en el sistema con la espera promedio sino incluso relacionar toda la distribución de probabilidad (y los momentos) del número en el sistema con la espera. [5]

Historia

En un artículo de 1954 se asumió que la ley de Little era verdadera y se utilizó sin prueba. [6] [7] La ​​forma L  =  λW fue publicada por primera vez por Philip M. Morse , donde desafió a los lectores a encontrar una situación en la que la relación no se cumpliera. [6] [8] Little publicó en 1961 su prueba de la ley, mostrando que no existía tal situación. [9] La prueba de Little fue seguida por una versión más simple de Jewell [10] y otra de Eilon. [11] Shaler Stidham publicó una prueba diferente y más intuitiva en 1972. [12] [13]

Ejemplos

Encontrar el tiempo de respuesta

Imaginemos una aplicación que no tuviera una manera sencilla de medir el tiempo de respuesta . Si se conocen el número medio del sistema y el rendimiento, el tiempo de respuesta promedio se puede determinar utilizando la Ley de Little:

Tiempo medio de respuesta = número medio en el sistema / rendimiento medio

Por ejemplo: un medidor de profundidad de cola muestra un promedio de nueve trabajos en espera de ser atendidos. Agregue uno por el trabajo que se está atendiendo, de modo que haya un promedio de diez trabajos en el sistema. Otro medidor muestra un rendimiento promedio de 50 por segundo. El tiempo de respuesta promedio se calcula como 0,2 segundos = 10 / 50 por segundo.

Clientes en la tienda

Imaginemos una tienda pequeña con un único mostrador y una zona para curiosear, donde sólo puede haber una persona en el mostrador a la vez y nadie se va sin comprar nada. Así pues, el sistema es:

entrada → navegación → mostrador → salida

Si la tasa a la que la gente entra en la tienda (denominada tasa de llegada) es la misma que la que sale (denominada tasa de salida), el sistema es estable. Por el contrario, una tasa de llegada superior a la tasa de salida representaría un sistema inestable, en el que el número de clientes que esperan en la tienda aumentaría gradualmente hasta el infinito.

La Ley de Little nos dice que el número promedio de clientes en la tienda L , es la tasa de llegada efectiva  λ , multiplicada por el tiempo promedio que un cliente pasa en la tienda W , o simplemente:

yo = la Yo {\displaystyle L=\lambda W}

Supongamos que los clientes llegan a un ritmo de 10 por hora y se quedan un promedio de 0,5 horas. Esto significa que deberíamos encontrar que el número promedio de clientes en la tienda en cualquier momento es 5.

yo = 10 × 0,5 = 5 {\displaystyle L=10\times 0,5=5}

Ahora supongamos que la tienda está considerando hacer más publicidad para aumentar la tasa de llegadas a 20 por hora. La tienda debe estar preparada para albergar un promedio de 10 ocupantes o debe reducir el tiempo que cada cliente pasa en la tienda a 0,25 horas. La tienda podría lograr esto último cobrando la factura más rápido o agregando más mostradores.

Podemos aplicar la Ley de Little a los sistemas dentro de la tienda. Por ejemplo, considere el mostrador y su cola. Supongamos que observamos que hay, en promedio, 2 clientes en la cola y en el mostrador. Sabemos que la tasa de llegada es de 10 por hora, por lo que los clientes deben pasar 0,2 horas en promedio en el proceso de pago.

Yo = yo la = 2 10 = 0,2 {\displaystyle W={\frac {L}{\lambda }}={\frac {2}{10}}=0,2}

Incluso podemos aplicar la Ley de Little al propio mostrador. El número medio de personas en el mostrador estaría en el rango (0, 1), ya que no puede haber más de una persona en el mostrador a la vez. En ese caso, el número medio de personas en el mostrador también se conoce como utilización del mostrador.

Sin embargo, como en realidad una tienda suele tener una cantidad limitada de espacio, puede llegar a volverse inestable. Si la tasa de llegada es mucho mayor que la tasa de salida, la tienda acabará por desbordarse y, por tanto, cualquier nuevo cliente que llegue será simplemente rechazado (y obligado a ir a otro sitio o a volver a intentarlo más tarde) hasta que vuelva a haber espacio libre disponible en la tienda. Esta es también la diferencia entre la tasa de llegada y la tasa de llegada efectiva , donde la tasa de llegada corresponde aproximadamente a la tasa a la que llegan los clientes a la tienda, mientras que la tasa de llegada efectiva corresponde a la tasa a la que entran los clientes en la tienda. Sin embargo, en un sistema con un tamaño infinito y sin pérdidas, las dos son iguales.

Estimación de parámetros

Para utilizar la ley de Little en los datos, se deben utilizar fórmulas para estimar los parámetros, ya que el resultado no necesariamente se aplica directamente en intervalos de tiempo finitos, debido a problemas como cómo registrar a los clientes que ya están presentes al inicio del intervalo de registro y aquellos que aún no se han ido cuando se detiene el registro. [14]

Aplicaciones

La ley de Little se utiliza ampliamente en el sector manufacturero para predecir el tiempo de entrega en función de la tasa de producción y la cantidad de trabajo en proceso. [15]

Los evaluadores de rendimiento de software han utilizado la ley de Little para garantizar que los resultados de rendimiento observados no se deban a cuellos de botella impuestos por el aparato de prueba. [16] [17]

Otras aplicaciones incluyen la dotación de personal para los departamentos de urgencias de los hospitales. [18] [19]

Forma distributiva

Una extensión de la ley de Little proporciona una relación entre la distribución en estado estable del número de clientes en el sistema y el tiempo transcurrido en el sistema bajo una disciplina de servicio por orden de llegada . [20]

Véase también

Referencias

  1. ^ Alberto León-García (2008). Probabilidad, estadística y procesos aleatorios para ingeniería eléctrica (3.ª ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-147122-1.
  2. ^ Allen, Arnold A. (1990). Probabilidad, estadística y teoría de colas: con aplicaciones informáticas. Gulf Professional Publishing. pág. 259. ISBN 0120510510.
  3. ^ Simchi-Levi, D.; Trick, MA (2013). "Introducción a la "Ley de Little tal como se la ve en su 50.° aniversario"". Investigación de Operaciones . 59 (3): 535. doi :10.1287/opre.1110.0941.
  4. ^ Serfozo, R. (1999). "Pequeñas leyes". Introducción a las redes estocásticas . págs. 135–154. doi :10.1007/978-1-4612-1482-3_5. ISBN 978-1-4612-7160-4.
  5. ^ Keilson, J. ; Servi, LD (1988). "Una forma distributiva de la Ley de Little" (PDF) . Operations Research Letters . 7 (5): 223. doi :10.1016/0167-6377(88)90035-1. hdl : 1721.1/5305 .
  6. ^ ab Little, JDC ; Graves, SC (2008). "Ley de Little" (PDF) . Building Intuition . International Series in Operations Research & Management Science. Vol. 115. p. 81. doi :10.1007/978-0-387-73699-0_5. ISBN 978-0-387-73698-3.
  7. ^ Cobham, Alan (1954). "Asignación de prioridades en problemas de cola de espera". Investigación de operaciones . 2 (1): 70–76. doi :10.1287/opre.2.1.70. JSTOR  166539.
  8. ^ Morse, Philip M. (1958). Colas, inventarios y mantenimiento: el análisis de un sistema operativo con demanda y oferta variables . Wiley. Aquellos lectores que deseen experimentar por sí mismos lo escurridizo de los conceptos fundamentales en este campo y lo intratable de los teoremas realmente generales, podrían intentar demostrar en qué circunstancias no se cumple esta simple relación entre L y W.
  9. ^ Little, JDC (1961). "Una prueba de la fórmula de colas: L  =  λW ". Investigación de operaciones . 9 (3): 383–387. doi :10.1287/opre.9.3.383. JSTOR  167570.
  10. ^ Jewell, William S. (1967). "Una prueba simple de: L  =  λW ". Investigación de operaciones . 15 (6): 1109–1116. doi :10.1287/opre.15.6.1109. JSTOR  168616.
  11. ^ Eilon, Samuel (1969). "Una prueba más simple de L = λW". Investigación de operaciones . 17 (5): 915–917. doi : 10.1287/opre.17.5.915 . JSTOR  168368.
  12. ^ Stidham Jr., Shaler (1974). "Una última palabra sobre L = λW". Investigación de operaciones . 22 (2): 417–421. doi : 10.1287/opre.22.2.417 . JSTOR  169601.
  13. ^ Stidham Jr., Shaler (1972). " L  =  λW : Un análogo descontado y una nueva prueba". Investigación de operaciones . 20 (6): 1115–1120. doi :10.1287/opre.20.6.1115. JSTOR  169301.
  14. ^ Kim, SH; Whitt, W. (2013). "Análisis estadístico con la ley de Little" (PDF) . Investigación de operaciones . 61 (4): 1030. doi :10.1287/opre.2013.1193.
  15. ^ Correll, Nikolaus (13 de junio de 2021). «Manufacturing Lead Time» (Plazo de entrega de fabricación) . Consultado el 12 de junio de 2021 .
  16. ^ Cuellos de botella en la infraestructura de software en J2EE por Deepak Goel
  17. ^ Errores de evaluación comparativa y cosas que hacen ruido en la noche por Neil Gunther
  18. ^ Little, JDC (2011). "La ley de Little vista en su 50 aniversario" (PDF) . Investigación de operaciones . 59 (3): 536–549. doi :10.1287/opre.1110.0940. JSTOR  23013126.
  19. ^ Harris, Mark (22 de febrero de 2010). "Little's Law: The Science Behind Proper Staffing" (La ley de Little: la ciencia detrás de la dotación de personal adecuada). Emergency Physicians Monthly (Médicos de urgencias mensuales). Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2012. Consultado el 4 de septiembre de 2012 .
  20. ^ Bertsimas, D.; Nakazato, D. (1995). "La ley de Little distributiva y sus aplicaciones" (PDF) . Investigación de operaciones . 43 (2): 298. doi :10.1287/opre.43.2.298. JSTOR  171838.
  • Una prueba de la fórmula de colas L = λ W , Sigman, K., Universidad de Columbia
  • Una prueba de la fórmula de colas L = λ W , Eduardo, Maldonado., Alexby usm
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