Velocidad de fase

La velocidad de fase de una onda es la velocidad a la que la onda se propaga en cualquier medio . Esta es la velocidad a la que viaja la fase de cualquier componente de frecuencia de la onda. Para dicho componente, cualquier fase dada de la onda (por ejemplo, la cresta ) parecerá viajar a la velocidad de fase. La velocidad de fase se da en términos de la longitud de onda λ (lambda) y el período de tiempo T como

${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\lambda }{T}}.}$

De manera equivalente, en términos de la frecuencia angular de la onda ω , que especifica el cambio angular por unidad de tiempo, y el número de onda (o número de onda angular) k , que representa el cambio angular por unidad de espacio,

${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}.}$

Para obtener una idea básica de esta ecuación, consideramos una onda (coseno) que se propaga A cos( kx − ωt ) . Queremos ver qué tan rápido viaja una fase particular de la onda. Por ejemplo, podemos elegir kx - ωt = 0 , la fase de la primera cresta. Esto implica kx = ω t , y por lo tanto v = x / t = ω / k .

Formalmente, hacemos que la fase sea φ = kx - ωt y vemos inmediatamente que ω = -dφ / d t y k = dφ / d x . Por lo tanto, se sigue inmediatamente que

${\displaystyle {\frac {\parcial x}{\parcial t}}=-{\frac {\parcial \phi }{\parcial t}}{\frac {\parcial x}{\parcial \phi }}={\frac {\omega }{k}}.}$

Como resultado, observamos una relación inversa entre la frecuencia angular y el vector de onda . Si la onda tiene oscilaciones de frecuencia más altas, la longitud de onda debe acortarse para que la velocidad de fase permanezca constante. ^[2] Además, la velocidad de fase de la radiación electromagnética puede, en ciertas circunstancias (por ejemplo, dispersión anómala ), superar la velocidad de la luz en el vacío, pero esto no indica ninguna información superlumínica o transferencia de energía. ^{[ cita requerida ]} Fue descrito teóricamente por físicos como Arnold Sommerfeld y Léon Brillouin .

La definición anterior de velocidad de fase se ha demostrado para una onda aislada. Sin embargo, dicha definición se puede extender a un conjunto de ondas o a una señal compuesta por múltiples ondas. Para ello es necesario escribir matemáticamente el conjunto o señal como una envolvente de baja frecuencia que multiplica una portadora. De este modo, la velocidad de fase de la portadora determina la velocidad de fase del conjunto de ondas. ^[3]

La velocidad de grupo de una colección de ondas se define como

${\displaystyle v_{g}={\frac {\parcial \omega }{\parcial k}}.}$

Cuando se propagan varias ondas sinusoidales juntas, la superposición resultante de las ondas puede dar como resultado una onda "envolvente" y una onda "portadora" que se encuentra dentro de la envoltura. Esto suele ocurrir en las comunicaciones inalámbricas cuando se emplea modulación (un cambio en la amplitud o fase) para enviar datos. Para entender mejor esta definición, consideramos una superposición de ondas (coseno) f(x, t) con sus respectivas frecuencias angulares y vectores de onda.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,t)&=\cos(k_{1}x-\omega _{1}t)+\cos(k_{2}x-\omega _{2}t)\\&=2\cos \left({\frac {(k_{2}-k_{1})x-(\omega _{2}-\omega _{1})t}{2}}\right)\cos \left({\frac {(k_{2}+k_{1})x-(\omega _{2}+\omega _{1})t}{2}}\right)\\&=2f_{1}(x,t)f_{2}(x,t).\end{aligned}}}$

Por lo tanto, tenemos un producto de dos ondas: una onda envolvente formada por f ₁ y una onda portadora formada por f ₂ . Llamamos a la velocidad de la onda envolvente la velocidad de grupo. Vemos que la velocidad de fase de f ₁ es

${\displaystyle {\frac {\omega _ {2}-\omega _ {1}}{k_ {2}-k_ {1}}}.}$

En el caso diferencial continuo, esto se convierte en la definición de la velocidad de grupo.

En el contexto del electromagnetismo y la óptica, la frecuencia es una función ω ( k ) del número de onda, por lo que, en general, la velocidad de fase y la velocidad de grupo dependen del medio y la frecuencia específicos. La relación entre la velocidad de la luz c y la velocidad de fase v _p se conoce como índice de refracción , n = c / v _p = ck / ω .

De esta manera, podemos obtener otra forma de velocidad de grupo para el electromagnetismo. Escribiendo n = n (ω) , una forma rápida de derivar esta forma es observar

${\displaystyle k={\frac {1}{c}}\omega n(\omega )\implies dk={\frac {1}{c}}\left(n(\omega )+\omega {\frac {\partial }{\partial \omega }}n(\omega )\right)d\omega .}$

Luego podemos reorganizar lo anterior para obtener

${\displaystyle v_{g}={\frac {\parcial w}{\parcial k}}={\frac {c}{n+\omega {\frac {\parcial n}{\parcial \omega }}}}.}$

A partir de esta fórmula, vemos que la velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase solo cuando el índice de refracción es independiente de la frecuencia . Cuando esto ocurre, el medio se denomina no dispersivo, a diferencia de dispersivo , donde varias propiedades del medio dependen de la frecuencia ω . La relación se conoce como relación de dispersión del medio.${\textstyle \partial n/\partial \omega =0}$${\displaystyle \omega(k)}$