Las paradojas de Zenón

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Las paradojas de Zenón son una serie de argumentos filosóficos presentados por el antiguo filósofo griego Zenón de Elea (c. 490–430 a. C.), ^{[1] [2]} conocidos principalmente a través de las obras de Platón , Aristóteles y comentaristas posteriores como Simplicio de Cilicia . ^[2] Zenón ideó estas paradojas para apoyar la filosofía del monismo de su maestro Parménides , que postula que a pesar de nuestras experiencias sensoriales, la realidad es singular e inmutable. Las paradojas desafían famosamente las nociones de pluralidad (la existencia de muchas cosas), movimiento, espacio y tiempo al sugerir que conducen a contradicciones lógicas .

La obra de Zenón, conocida principalmente por relatos de segunda mano , ya que sus textos originales se han perdido, comprende cuarenta "paradojas de la pluralidad", que argumentan contra la coherencia de la creencia en existencias múltiples, y varios argumentos contra el movimiento y el cambio. ^[2] De estos, solo unos pocos se conocen definitivamente hoy en día, incluida la famosa "Paradoja de Aquiles", que ilustra el concepto problemático de divisibilidad infinita en el espacio y el tiempo . ^{[1] [2]} En esta paradoja, Zenón argumenta que un corredor rápido como Aquiles no puede adelantar a una tortuga que se mueve más lentamente con una ventaja, porque la distancia entre ellos puede subdividirse infinitamente, lo que implica que Aquiles necesitaría un número infinito de pasos para atrapar a la tortuga. ^{[1] [2]}

Estas paradojas han suscitado un amplio debate filosófico y matemático a lo largo de la historia , ^{[1] [2]} en particular en relación con la naturaleza del infinito y la continuidad del espacio y el tiempo. Inicialmente, la interpretación de Aristóteles , que sugería un infinito potencial en lugar de uno real, fue ampliamente aceptada. ^[1] Sin embargo, las soluciones modernas que aprovechan el marco matemático del cálculo han proporcionado una perspectiva diferente, destacando la importante percepción temprana de Zenón sobre las complejidades del infinito y el movimiento continuo. ^[1] Las paradojas de Zenón siguen siendo un punto de referencia fundamental en la exploración filosófica y matemática de la realidad, el movimiento y el infinito, influyendo tanto en el pensamiento antiguo como en la comprensión científica moderna. ^{[1] [2]}

Los orígenes de las paradojas no están del todo claros, pero se cree que fueron desarrolladas para apoyar la doctrina del monismo de Parménides , según la cual toda la realidad es una y todo cambio es imposible , es decir, que nada cambia nunca en su ubicación o en ningún otro aspecto. ^{[1] [2]} Diógenes Laercio , citando a Favorino , dice que el maestro de Zenón, Parménides, fue el primero en introducir la paradoja de Aquiles y la tortuga. Pero en un pasaje posterior, Laercio atribuye el origen de la paradoja a Zenón, explicando que Favorino no está de acuerdo. ^[3] Los académicos modernos atribuyen la paradoja a Zenón. ^{[1] [2]}

Muchas de estas paradojas sostienen que, contrariamente a la evidencia de los sentidos, el movimiento no es más que una ilusión . ^{[1] [2]} En el Parménides de Platón (128a-d), Zenón se caracteriza por asumir el proyecto de crear estas paradojas porque otros filósofos afirmaban que las paradojas surgen al considerar la visión de Parménides. Los argumentos de Zenón pueden ser entonces ejemplos tempranos de un método de prueba llamado reductio ad absurdum , también conocido como prueba por contradicción . Así, Platón hace que Zenón diga que el propósito de las paradojas "es mostrar que su hipótesis de que las existencias son muchas, si se sigue adecuadamente, conduce a resultados aún más absurdos que la hipótesis de que son una". ^[4] Platón hace que Sócrates afirme que Zenón y Parménides estaban esencialmente discutiendo exactamente el mismo punto. ^[5] También se les atribuye ser una fuente del método dialéctico utilizado por Sócrates. ^[6]

Algunas de las nueve paradojas supervivientes de Zenón (preservadas en la Física de Aristóteles ^{[7] [8]} y en el comentario de Simplicio al respecto) son esencialmente equivalentes entre sí. Aristóteles ofreció una respuesta a algunas de ellas. ^[7] La ​​literatura popular a menudo tergiversa los argumentos de Zenón. Por ejemplo, se dice a menudo que Zenón argumentó que la suma de un número infinito de términos debe ser en sí misma infinita, con el resultado de que no solo el tiempo, sino también la distancia a recorrer, se vuelven infinitos. ^[9] Sin embargo, ninguna de las fuentes antiguas originales muestra a Zenón discutiendo la suma de ninguna serie infinita. Simplicio hace que Zenón diga "es imposible recorrer un número infinito de cosas en un tiempo finito". Esto plantea el problema de Zenón no de encontrar la suma , sino más bien de terminar una tarea con un número infinito de pasos: ¿cómo se puede llegar de A a B, si se puede identificar un número infinito de eventos (no instantáneos) que deben preceder a la llegada a B, y uno no puede llegar ni siquiera al comienzo de un "último evento"? ^{[10] [11] [12] [13]}

A continuación se presentan en detalle tres de los argumentos más fuertes y famosos: el de Aquiles y la tortuga, el argumento de la dicotomía y el de la flecha en vuelo.

Lo que está en movimiento debe llegar a la mitad del camino antes de llegar a la meta.

—como  lo relata Aristóteles , Física VI:9, 239b10

Supongamos que Atalanta quiere caminar hasta el final de un camino. Antes de llegar allí, debe recorrer la mitad del camino. Antes de llegar a la mitad, debe recorrer una cuarta parte del camino. Antes de recorrer una cuarta parte, debe recorrer una octava parte; antes de recorrer una octava parte, una dieciseisava parte; y así sucesivamente.

La secuencia resultante se puede representar como:

${\displaystyle \left\{\cdots ,{\frac {1}{16}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},1\right\}}$

Esta descripción requiere que uno complete un número infinito de tareas, lo cual Zenón sostiene que es una imposibilidad. ^[14]

Esta secuencia también presenta un segundo problema, ya que no contiene ninguna primera distancia a recorrer, ya que cualquier primera distancia posible (finita) podría dividirse por la mitad y, por lo tanto, no sería la primera después de todo. Por lo tanto, el viaje ni siquiera puede comenzar. La conclusión paradójica sería entonces que el viaje a lo largo de cualquier distancia finita no puede completarse ni iniciarse, y por lo tanto todo movimiento debe ser una ilusión . ^[15]

Este argumento se denomina " dicotomía " porque implica dividir repetidamente una distancia en dos partes. Un ejemplo con el sentido original se puede encontrar en una asíntota . También se conoce como la paradoja de la pista de carreras .

En una carrera, el corredor más rápido nunca puede adelantar al más lento, ya que el perseguidor debe llegar primero al punto de partida del perseguido, de modo que el más lento siempre debe llevar ventaja.

—como  lo relata Aristóteles , Física VI:9, 239b15

En la paradoja de Aquiles y la tortuga , Aquiles está en una carrera a pie con una tortuga. Aquiles le permite a la tortuga una ventaja de 100 metros, por ejemplo. Supongamos que cada corredor comienza a correr a una velocidad constante, uno más rápido que el otro. Después de un tiempo finito, Aquiles habrá corrido 100 metros, lo que lo llevará al punto de partida de la tortuga. Durante este tiempo, la tortuga ha corrido una distancia mucho más corta, digamos 2 metros. Luego, Aquiles necesitará algún tiempo más para correr esa distancia, momento en el cual la tortuga habrá avanzado más; y luego más tiempo aún para alcanzar este tercer punto, mientras que la tortuga avanza. Por lo tanto, siempre que Aquiles llega a un lugar donde la tortuga ha estado, todavía tiene cierta distancia que recorrer antes de poder alcanzar a la tortuga. Como señaló Aristóteles, este argumento es similar a la dicotomía. ^[16] Sin embargo, carece de la aparente conclusión de inmovilidad.

Si todo, cuando ocupa un espacio igual, está en reposo en ese instante de tiempo, y si lo que está en locomoción ocupa siempre tal espacio en cualquier momento, la flecha voladora está, por tanto, inmóvil en ese instante de tiempo y en el siguiente instante de tiempo, pero si ambos instantes de tiempo se toman como el mismo instante o instante continuo de tiempo, entonces está en movimiento. ^[17]

—como  lo relata Aristóteles , Física VI:9, 239b5

En la paradoja de la flecha, Zenón afirma que para que haya movimiento, un objeto debe cambiar la posición que ocupa. Pone como ejemplo una flecha en vuelo. Afirma que en cualquier instante de tiempo (sin duración), la flecha no se mueve ni hacia donde está ni hacia donde no está. ^[18] No puede moverse hacia donde no está, porque no transcurre tiempo para que se mueva allí; no puede moverse hacia donde está, porque ya está allí. En otras palabras, en cada instante de tiempo no se produce movimiento. Si todo está inmóvil en cada instante, y el tiempo está compuesto enteramente de instantes, entonces el movimiento es imposible.

Mientras que las dos primeras paradojas dividen el espacio, ésta comienza dividiendo el tiempo, y no en segmentos, sino en puntos. ^[19]

Aristóteles plantea otras tres paradojas.

De Aristóteles:

Si todo lo que existe tiene un lugar, el lugar también tendrá un lugar, y así hasta el infinito . ^[20]

Descripción de la paradoja del Diccionario de Filosofía Routledge :

El argumento es que un solo grano de mijo no hace ruido al caer, pero mil granos sí lo hacen. Por lo tanto, mil nadas se convierten en algo, una conclusión absurda. ^[21]

Respuesta de Aristóteles:

El razonamiento de Zenón es falso cuando afirma que no hay ninguna parte del mijo que no emita sonido, pues no hay razón para que ninguna de esas partes deje de mover durante un tiempo determinado el aire que mueve todo el celemín al caer. De hecho, ni siquiera mueve por sí misma la cantidad de aire que movería si esa parte estuviera sola, pues ninguna parte existe de otro modo que no sea en potencia. ^[22]

Descripción de Nick Huggett:

Este es un argumento parmenídeo que sostiene que no se puede confiar en el sentido del oído. La respuesta de Aristóteles parece ser que incluso los sonidos inaudibles pueden sumarse a un sonido audible. ^[23]

De Aristóteles:

... en relación con dos filas de cuerpos, cada una de las cuales está compuesta por un número igual de cuerpos de igual tamaño, que se cruzan en una pista de carreras a medida que avanzan con igual velocidad en direcciones opuestas, ocupando originalmente una fila el espacio entre la meta y el punto medio de la pista y la otra el espacio entre el punto medio y el poste de partida. Esto... implica la conclusión de que la mitad de un tiempo dado es igual al doble de ese tiempo. ^[24]

Una explicación ampliada de los argumentos de Zenón, tal como los presentó Aristóteles, se da en el comentario de Simplicio Sobre la Física de Aristóteles . ^{[25] [2] [1]}

Según Angie Hobbs de la Universidad de Sheffield, esta paradoja debe considerarse junto con la paradoja de Aquiles y la Tortuga, problematizando el concepto de espacio y tiempo discretos donde la otra problematiza el concepto de espacio y tiempo infinitamente divisibles. ^[26]

Según Simplicio , Diógenes el Cínico no dijo nada al escuchar los argumentos de Zenón, sino que se puso de pie y caminó para demostrar la falsedad de las conclusiones de Zenón. ^{[25] [2]} Sin embargo, para resolver por completo cualquiera de las paradojas, es necesario demostrar qué es lo que está mal en el argumento, no solo en las conclusiones. A lo largo de la historia se han propuesto varias soluciones, entre las primeras registradas están las de Aristóteles y Arquímedes.

Aristóteles (384 a. C.–322 a. C.) observó que a medida que la distancia disminuye, el tiempo necesario para cubrir esas distancias también disminuye, de modo que el tiempo necesario también se vuelve cada vez más pequeño. ^{[27] [ verificación fallida ] [28]} Aristóteles también distinguió "cosas infinitas con respecto a la divisibilidad" (como una unidad de espacio que se puede dividir mentalmente en unidades cada vez más pequeñas mientras permanece espacialmente igual) de cosas (o distancias) que son infinitas en extensión ("con respecto a sus extremidades"). ^[29] La objeción de Aristóteles a la paradoja de la flecha era que "el tiempo no está compuesto de ahoras indivisibles más de lo que cualquier otra magnitud está compuesta de indivisibles". ^[30] Tomás de Aquino , comentando la objeción de Aristóteles, escribió: "Los instantes no son partes del tiempo, pues el tiempo no está formado por instantes más de lo que una magnitud está formada por puntos, como ya hemos demostrado. De ahí que no se siga que una cosa no esté en movimiento en un tiempo dado, sólo porque no esté en movimiento en ningún instante de ese tiempo". ^{[31] [32] [33]}

Algunos matemáticos e historiadores, como Carl Boyer , sostienen que las paradojas de Zenón son simplemente problemas matemáticos, para los cuales el cálculo moderno proporciona una solución matemática. ^[34] Los procesos infinitos siguieron siendo teóricamente problemáticos en matemáticas hasta finales del siglo XIX. Con la definición épsilon-delta de límite , Weierstrass y Cauchy desarrollaron una formulación rigurosa de la lógica y el cálculo involucrados. Estos trabajos resolvieron las matemáticas que involucraban procesos infinitos. ^{[35] [36]}

Sin embargo, algunos filósofos dicen que las paradojas de Zenón y sus variaciones (véase la lámpara de Thomson ) siguen siendo problemas metafísicos relevantes. ^{[10] [11] [12]} Si bien las matemáticas pueden calcular dónde y cuándo el Aquiles en movimiento alcanzará a la Tortuga de la paradoja de Zenón, filósofos como Kevin Brown ^[10] y Francis Moorcroft ^[11] sostienen que las matemáticas no abordan el punto central del argumento de Zenón, y que resolver los problemas matemáticos no resuelve todos los problemas que plantean las paradojas. Brown concluye: "Dada la historia de las 'resoluciones finales', desde Aristóteles en adelante, probablemente sea temerario pensar que hemos llegado al final. Puede ser que los argumentos de Zenón sobre el movimiento, debido a su simplicidad y universalidad, siempre sirvan como una especie de ' imagen de Rorschach ' sobre la que las personas pueden proyectar sus preocupaciones fenomenológicas más fundamentales (si es que tienen alguna)". ^[10]

Una conclusión alternativa, propuesta por Henri Bergson en su libro de 1896 Materia y memoria , es que, si bien el camino es divisible, el movimiento no lo es. ^{[37] [38]}

En 2003, Peter Lynds argumentó que todas las paradojas del movimiento de Zenón se resuelven con la conclusión de que los instantes en el tiempo y las magnitudes instantáneas no existen físicamente. ^{[39] [40] [41]} Lynds argumenta que un objeto en movimiento relativo no puede tener una posición relativa instantánea o determinada (porque si la tuviera, no podría estar en movimiento), y por lo tanto no puede tener su movimiento diseccionado fraccionariamente como si la tuviera, como lo suponen las paradojas. Nick Huggett argumenta que Zenón está asumiendo la conclusión cuando dice que los objetos que ocupan el mismo espacio que ocupan en reposo deben estar en reposo. ^[19]

Basándose en el trabajo de Georg Cantor , ^[42] Bertrand Russell propuso una solución a las paradojas, lo que se conoce como la "teoría at-at del movimiento". Esta teoría coincide en que no puede haber movimiento "durante" un instante sin duración, y sostiene que todo lo que se requiere para el movimiento es que la flecha esté en un punto en un momento dado, en otro punto en otro momento, y en puntos apropiados entre esos dos puntos para los tiempos intermedios. En esta perspectiva, el movimiento es simplemente un cambio de posición a lo largo del tiempo. ^{[43] [44]}

Otra solución propuesta es cuestionar una de las suposiciones que Zenón utilizó en sus paradojas (particularmente la Dicotomía), que es que entre dos puntos diferentes en el espacio (o tiempo), siempre hay otro punto. Sin esta suposición solo hay un número finito de distancias entre dos puntos, por lo tanto no hay una secuencia infinita de movimientos, y la paradoja se resuelve. Según Hermann Weyl , la suposición de que el espacio está hecho de unidades finitas y discretas está sujeta a un problema adicional, dado por el " argumento de la tesela " o "problema de la función distancia". ^{[45] [46]} Según esto, la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo en el espacio discretizado es siempre igual a la longitud de uno de los dos lados, en contradicción con la geometría. Jean Paul Van Bendegem ha argumentado que el Argumento de la Tesela se puede resolver y que, por lo tanto, la discretización puede eliminar la paradoja. ^{[34] [47]}

En 1977, ^[48] los físicos EC George Sudarshan y B. Misra descubrieron que la evolución dinámica ( movimiento ) de un sistema cuántico puede verse obstaculizada (o incluso inhibida) mediante la observación del sistema . ^[49] Este efecto suele denominarse " efecto Zenón cuántico ", ya que recuerda mucho a la paradoja de la flecha de Zenón. Este efecto se teorizó por primera vez en 1958. ^[50]

En el campo de la verificación y diseño de sistemas temporizados e híbridos , el comportamiento del sistema se denomina Zeno si incluye un número infinito de pasos discretos en una cantidad finita de tiempo. ^[51] Algunas técnicas de verificación formal excluyen estos comportamientos del análisis, si no son equivalentes a un comportamiento no Zeno. ^{[52] [53]} En el diseño de sistemas , estos comportamientos también se excluirán a menudo de los modelos de sistema, ya que no se pueden implementar con un controlador digital. ^[54]

Aproximadamente en la misma época que el período de los Reinos Combatientes (475-221 a. C.), los antiguos filósofos chinos de la Escuela de los Nombres , una escuela de pensamiento que también se ocupaba de la lógica y la dialéctica, desarrollaron paradojas similares a las de Zenón. Las obras de la Escuela de los Nombres se han perdido en gran medida, con la excepción de partes del Gongsun Longzi . La segunda de las Diez Tesis de Hui Shi sugiere el conocimiento de los infinitesimales: Lo que no tiene espesor no se puede apilar; sin embargo, tiene una dimensión de mil li. Entre los muchos enigmas registrados en el Zhuangzi hay uno muy similar a la Dicotomía de Zenón:

"Si de un palo de un pie de largo le quitas cada día la mitad, en una miríada de siglos no se agotará."

—  Zhuangzi , capítulo 33 (traducción de Legge) ^[55]

El canon mohista parece proponer una solución a esta paradoja argumentando que, al desplazarse a lo largo de una longitud medida, la distancia no se recorre en fracciones sucesivas de la longitud, sino en una sola etapa. Debido a la falta de obras supervivientes de la Escuela de los Nombres, la mayoría de las demás paradojas enumeradas son difíciles de interpretar. ^[56]

En "Lo que la tortuga le dijo a Aquiles", ^[57] escrito en 1895 por Lewis Carroll , se describe un argumento paradójico de regresión infinita en el ámbito de la lógica pura. Utiliza a Aquiles y a la tortuga como personajes en una clara referencia a la paradoja de Aquiles de Zenón. ^[58]

• Magnitudes inconmensurables
• Regresión infinita
• Filosofía del espacio y del tiempo
• Renormalización
• Paradoja de Ross-Littlewood
• Supertarea
• Máquina de zenón
• Lista de paradojas

Wikisource tiene el texto original relacionado con este artículo:

Zenón de Elea

• Dowden, Bradley. "Las paradojas de Zenón". Entrada en la Enciclopedia de Filosofía de Internet .
• "Antinomia", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Introducción a la Filosofía Matemática, Ludwig-Maximilians-Universität München
• Silagadze, ZK "Zenón se encuentra con la ciencia moderna"
• La paradoja de Zenón: Aquiles y la tortuga por Jon McLoone, Wolfram Demonstrations Project .
• Kevin Brown habla de Zenón y la paradoja del movimiento
• Palmer, John (2008). "Zenón de Elea". Stanford Encyclopedia of Philosophy .
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• Grime, James. "La paradoja de Zenón". Numberphile . Brady Haran . Archivado desde el original el 2018-10-03 . Consultado el 2013-04-13 .