Leyes de Mersenne

Las leyes de Mersenne son leyes que describen la frecuencia de oscilación de una cuerda estirada o un monocordio , ^[1] útiles en la afinación musical y la construcción de instrumentos musicales .

La ecuación fue propuesta por primera vez por el matemático y teórico musical francés Marin Mersenne en su obra de 1636 Harmonie universelle . ^[2] Las leyes de Mersenne gobiernan la construcción y el funcionamiento de los instrumentos de cuerda , como los pianos y las arpas , que deben adaptarse a la fuerza de tensión total necesaria para mantener las cuerdas en el tono adecuado. Las cuerdas más graves son más gruesas, por lo que tienen una mayor masa por longitud. Por lo general, tienen una tensión más baja . Las guitarras son una excepción familiar a esto: las tensiones de las cuerdas son similares, para la facilidad de ejecución, por lo que el tono más bajo de las cuerdas se logra en gran medida con una mayor masa por longitud. ^{[nota 1]} Las cuerdas de tono más alto generalmente son más delgadas, tienen una tensión más alta y pueden ser más cortas. "Este resultado no difiere sustancialmente del de Galileo , pero se lo conoce correctamente como la ley de Mersenne", porque Mersenne demostró físicamente su verdad a través de experimentos (mientras que Galileo consideró que su prueba era imposible). ^[3] "Mersenne investigó y refinó estas relaciones mediante experimentos, pero no las originó él mismo". ^[4] Aunque sus teorías son correctas, sus mediciones no son muy exactas, y sus cálculos fueron mejorados en gran medida por Joseph Sauveur (1653-1716) mediante el uso de ritmos acústicos y metrónomos . ^[5]

La frecuencia natural es:

• a) Inversamente proporcional a la longitud de la cuerda (ley de Pitágoras ^[1] ),
• b) Proporcional a la raíz cuadrada de la fuerza de estiramiento, y
• c) Inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa por la longitud.

${\displaystyle f_{0}\propto {\tfrac {1}{L}}.}$(ecuación 26)

${\displaystyle f_{0}\propto {\sqrt {F}}.}$(ecuación 27)

${\displaystyle f_{0}\propto {\frac {1}{\sqrt {\mu }}}.}$(ecuación 28)

Así, por ejemplo, siendo iguales todas las demás propiedades de la cuerda, para hacer que la nota sea una octava más alta (2/1) sería necesario o bien disminuir su longitud a la mitad (1/2), o bien aumentar la tensión al cuadrado (4), o bien disminuir su masa por longitud en el cuadrado inverso (1/4).

Estas leyes se derivan de la ecuación 22 de Mersenne: ^[6]

${\displaystyle f_{0}={\frac {\nu }{\lambda }}={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {F}{\mu }}}.}$

La fórmula para la frecuencia fundamental es:

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {F}{\mu }}},}$

donde f es la frecuencia, L es la longitud, F es la fuerza y ​​μ es la masa por longitud.

No se desarrollaron leyes similares para tubos e instrumentos de viento al mismo tiempo, ya que las leyes de Mersenne son anteriores a la concepción de que el tono de los instrumentos de viento dependía de ondas longitudinales en lugar de la "percusión". ^[3]

• Cicloide
• Instrumento de cuerda larga
• Armónico
• Onda estacionaria

• Medios relacionados con las leyes de Mersenne en Wikimedia Commons