Griegos (finanzas)

En matemáticas financieras , las griegas son las cantidades (conocidas en cálculo como derivadas parciales ; de primer orden o superior) que representan la sensibilidad del precio de un instrumento derivado , como una opción, a los cambios en uno o más parámetros subyacentes de los que depende el valor de un instrumento o cartera de instrumentos financieros . El nombre se utiliza porque las más comunes de estas sensibilidades se denotan con letras griegas (al igual que algunas otras medidas financieras). En conjunto, también se las ha llamado sensibilidades al riesgo ^[1] , medidas de riesgo ^{[2] : 742} o parámetros de cobertura ^[3] .

Parámetro subyacente Parámetro de opción Precio al contado S Volatilidad ${\estilo de visualización \sigma}$ El paso del tiempo Valor (V)  ${\estilo de visualización \Delta}$Delta ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$Vega ${\estilo de visualización \Theta}$Theta Delta ( ) ${\estilo de visualización \Delta}$ ${\estilo de visualización \Gamma}$Gama Vanna Encanto Vega ( ) ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ Vanna Vomita Veta Teta ( )${\estilo de visualización \Theta}$ Encanto Veta Gamma ( )${\estilo de visualización \Gamma}$ Velocidad Zomma Color Vomita Última Encanto Parmicharma

Definición de griegas como la sensibilidad del precio y el riesgo de una opción (en la primera fila) al parámetro subyacente (en la primera columna). Las griegas de primer orden están en azul, las griegas de segundo orden están en verde y las griegas de tercer orden están en amarillo. Vanna, charm y veta aparecen dos veces, ya que las derivadas cruzadas parciales son iguales según el teorema de Schwarz . Rho, lambda, epsilon y vera se omiten porque no son tan importantes como el resto. Tres lugares de la tabla no están ocupados, porque las cantidades respectivas aún no se han definido en la literatura financiera.

Las griegas son herramientas vitales en la gestión de riesgos . Cada griega mide la sensibilidad del valor de una cartera a un pequeño cambio en un parámetro subyacente determinado, de modo que los riesgos de los componentes se puedan tratar de forma aislada y la cartera se pueda reequilibrar en consecuencia para lograr la exposición deseada; véase, por ejemplo, la cobertura delta .

Las griegas del modelo Black-Scholes (un modelo idealizado relativamente simple de ciertos mercados financieros) son relativamente fáciles de calcular —una propiedad deseable de los modelos financieros— y son muy útiles para los operadores de derivados, especialmente aquellos que buscan proteger sus carteras de cambios adversos en las condiciones del mercado. Por esta razón, las griegas que son particularmente útiles para la cobertura —como delta, theta y vega— están bien definidas para medir cambios en los parámetros precio spot, tiempo y volatilidad. Aunque rho (la derivada parcial con respecto a la tasa de interés libre de riesgo ) es un insumo primario en el modelo Black-Scholes, el impacto general en el valor de una opción de corto plazo correspondiente a cambios en la tasa de interés libre de riesgo es generalmente insignificante y, por lo tanto, los derivados de orden superior que involucran la tasa de interés libre de riesgo no son comunes.

Las más comunes de las griegas son las derivadas de primer orden: delta, vega, theta y rho; así como gamma, una derivada de segundo orden de la función de valor. Las sensibilidades restantes de esta lista son lo suficientemente comunes como para tener nombres comunes, pero esta lista no es en modo alguno exhaustiva.

Los participantes en el mercado realizan transacciones competitivas que involucran miles de millones (de dólares, libras esterlinas o euros) de activos subyacentes todos los días, por lo que es importante hacer las sumas correctas. En la práctica, utilizarán modelos más sofisticados que van más allá de los supuestos simplificadores utilizados en el modelo de Black-Scholes y, por ende, en los griegos.

El uso de nombres de letras griegas se debe presumiblemente a una extensión de los términos financieros comunes alfa y beta , y al uso de sigma (la desviación estándar de los retornos logarítmicos) y tau (tiempo hasta el vencimiento) en el modelo de fijación de precios de opciones de Black-Scholes . Varios nombres como "vega" (cuyo símbolo es similar a la letra griega minúscula nu ; el uso de ese nombre podría haber llevado a confusión) y "zomma" son inventados, pero suenan similares a las letras griegas. Los nombres "color" y "encanto" presumiblemente derivan del uso de estos términos para las propiedades exóticas de los quarks en la física de partículas .

Delta , ^[4] , mide la tasa de cambio del valor teórico de la opción con respecto a los cambios en el precio del activo subyacente. Delta es la primera derivada del valorde la opción con respecto al precio del instrumento subyacente.${\estilo de visualización \Delta}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización S}$

${\displaystyle \Delta ={\frac {\parcial V}{\parcial S}}}$

En el caso de una opción vanilla, el delta será un número entre 0,0 y 1,0 para una opción call larga (o una opción put corta) y entre 0,0 y −1,0 para una opción put larga (o una opción call corta); dependiendo del precio, una opción call se comporta como si uno fuera dueño de 1 acción de la acción subyacente (si está en el mercado de valores), o no fuera dueño de nada (si está muy fuera del mercado de valores), o algo intermedio, y viceversa para una opción put. La diferencia entre el delta de una opción call y el delta de una opción put al mismo precio de ejercicio es igual a uno. Por paridad put-call , tener una posición larga en una opción call y una posición corta en una opción put es equivalente a un forward F , que es lineal en el spot S, con factor unitario, por lo que la derivada dF/dS es 1. Vea las fórmulas a continuación.

Estos números se presentan comúnmente como un porcentaje del número total de acciones representadas por el contrato o los contratos de opción. Esto es conveniente porque la opción se comportará (instantáneamente) como el número de acciones indicado por el delta. Por ejemplo, si una cartera de 100 opciones de compra estadounidenses sobre XYZ tiene cada una un delta de 0,25 (= 25 %), ganará o perderá valor al igual que 2500 acciones de XYZ a medida que el precio cambia para pequeños movimientos de precio (100 contratos de opción cubren 10 000 acciones). El signo y el porcentaje a menudo se omiten: el signo está implícito en el tipo de opción (negativo para put, positivo para call) y el porcentaje se entiende. Las opciones más comúnmente citadas son 25 delta put, 50 delta put/50 delta call y 25 delta call. 50 delta put y 50 delta call no son exactamente idénticas, debido a que el spot y el forward difieren por el factor de descuento, pero a menudo se combinan.

El delta siempre es positivo para las opciones call largas y negativo para las opciones put largas (a menos que sean cero). El delta total de una cartera compleja de posiciones en el mismo activo subyacente se puede calcular simplemente tomando la suma de los deltas de cada posición individual: el delta de una cartera es lineal en sus componentes. Dado que el delta del activo subyacente siempre es 1,0, el operador podría cubrir toda su posición en el subyacente comprando o vendiendo en corto la cantidad de acciones indicada por el delta total. Por ejemplo, si el delta de una cartera de opciones en XYZ (expresado en acciones del subyacente) es +2,75, el operador podría cubrir el delta de la cartera vendiendo en corto 2,75 acciones del subyacente. Esta cartera conservará entonces su valor total independientemente de la dirección en la que se mueva el precio de XYZ (aunque solo sea para pequeños movimientos del subyacente, un corto período de tiempo y a pesar de los cambios en otras condiciones del mercado, como la volatilidad y la tasa de retorno para una inversión libre de riesgo).

El valor (absoluto de) delta es cercano, pero no idéntico, al porcentaje de dinero de una opción, es decir, la probabilidad implícita de que la opción expire en el dinero (si el mercado se mueve bajo el movimiento browniano en la medida neutral al riesgo ). ^[5] Por esta razón, algunos operadores de opciones usan el valor absoluto de delta como una aproximación para el porcentaje de dinero. Por ejemplo, si una opción de compra fuera del dinero tiene un delta de 0,15, el operador podría estimar que la opción tiene aproximadamente un 15% de probabilidad de expirar en el dinero. De manera similar, si un contrato de venta tiene un delta de −0,25, el operador podría esperar que la opción tenga una probabilidad del 25% de expirar en el dinero. Las opciones de compra y venta en el dinero tienen un delta de aproximadamente 0,5 y −0,5 respectivamente con un ligero sesgo hacia deltas más altos para las opciones de compra ATM ya que la tasa libre de riesgo introduce cierta compensación al delta. La probabilidad descontada negativa de que una opción termine en el dinero al vencimiento se denomina delta dual, que es la primera derivada del precio de la opción con respecto al precio de ejercicio. ^[6]

Dada una opción call y put europea para el mismo subyacente, precio de ejercicio y tiempo hasta el vencimiento, y sin rendimiento de dividendos, la suma de los valores absolutos del delta de cada opción será 1; más precisamente, el delta de la call (positiva) menos el delta de la put (negativa) es igual a 1. Esto se debe a la paridad put-call : una call larga más una put corta (una call menos una put) replica un forward, que tiene un delta igual a 1.

Si se conoce el valor del delta de una opción, se puede calcular el valor del delta de la opción del mismo precio de ejercicio, subyacente y vencimiento pero de derecho opuesto restando 1 de un delta de compra conocido o sumando 1 a un delta de venta conocido.

${\displaystyle \Delta ({\text{call}})-\Delta ({\text{put}})=1,{\text{ therefore: }}\Delta ({\text{call}})=\Delta ({\text{put}})+1{\text{ and }}\Delta ({\text{put}})=\Delta ({\text{call}})-1.}$

Por ejemplo, si el delta de una opción call es 0,42, entonces se puede calcular el delta de la opción put correspondiente al mismo precio de ejercicio mediante 0,42 − 1 = −0,58. Para derivar el delta de una opción call a partir de una opción put, se puede tomar de manera similar −0,58 y sumar 1 para obtener 0,42.

Vega ^[4] mide la sensibilidad a la volatilidad . Vega es la derivada del valor de la opción con respecto a la volatilidad del activo subyacente.

${\displaystyle {\mathcal {V}}={\frac {\partial V}{\partial \sigma }}}$

Vega no es el nombre de ninguna letra griega. El glifo utilizado es una versión mayúscula no estándar de la letra griega nu ( ), escrita como . Es de suponer que el nombre vega se adoptó porque la letra griega nu parecía una vee latina , y vega se derivó de vee por analogía con la forma en que se pronuncian beta , eta y theta en inglés estadounidense.${\textstyle \nu }$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

El símbolo kappa , , se utiliza a veces (por los académicos) en lugar de vega (como también tau ( ) o lambda mayúscula ( ), ^{[7] : 315} aunque son poco frecuentes).${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \Lambda }$

Vega se expresa generalmente como la cantidad de dinero por acción subyacente que el valor de la opción ganará o perderá a medida que la volatilidad suba o baje en 1 punto porcentual . Todas las opciones (tanto de compra como de venta) ganarán valor con el aumento de la volatilidad.

Vega puede ser un indicador griego importante que debe controlar un operador de opciones, especialmente en mercados volátiles, ya que el valor de algunas estrategias de opciones puede ser particularmente sensible a los cambios en la volatilidad. El valor de una opción straddle at-the-money , por ejemplo, depende en gran medida de los cambios en la volatilidad. Consulte Riesgo de volatilidad .

Theta , ^[4] , mide la sensibilidad del valor de la derivada al paso del tiempo (ver Opción valor del tiempo ): el "decaimiento del tiempo".${\displaystyle \Theta }$

${\displaystyle \Theta =-{\frac {\partial V}{\partial \tau }}}$

A medida que pasa el tiempo, con un tiempo decreciente hasta el vencimiento y todo lo demás siendo igual, el valor extrínseco de una opción disminuye. Por lo general (pero vea más abajo), esto significa que una opción pierde valor con el tiempo, lo que convencionalmente se conoce como que las opciones largas generalmente tienen theta corta (negativa). De hecho, por lo general, la primera derivada literal con respecto al tiempo del valor de una opción es un número positivo . El cambio en el valor de la opción es generalmente negativo porque el paso del tiempo es un número negativo (una disminución a , tiempo hasta el vencimiento). Sin embargo, por convención, los profesionales generalmente prefieren referirse a la exposición theta ("decaimiento") de una opción larga como negativa (en lugar de al paso del tiempo como negativo), y por lo tanto theta generalmente se informa como -1 multiplicado por la primera derivada, como se indicó anteriormente.${\displaystyle \tau \,}$

Si bien el valor extrínseco disminuye con el paso del tiempo, a veces un factor compensatorio es el descuento. En el caso de las opciones deep in the money de algunos tipos (para opciones de venta en Black-Scholes, opciones de venta y compra en Black's), a medida que los factores de descuento aumentan hacia 1 con el paso del tiempo, ese es un elemento de aumento del valor en una opción larga. A veces, las opciones deep in the money ganarán más con el aumento de los factores de descuento de lo que perderán con la disminución del valor extrínseco, y la theta informada será un valor positivo para una opción larga en lugar de un valor negativo más típico (y la opción será una candidata a un ejercicio temprano, si se puede ejercer, y una opción europea puede llegar a valer menos que la paridad).

Por convención, en las fórmulas de valoración de opciones, el tiempo hasta el vencimiento se define en años. Los profesionales suelen preferir ver theta en términos de cambio en el número de días hasta el vencimiento en lugar de en el número de años hasta el vencimiento. Por lo tanto, el theta informado suele dividirse por el número de días de un año. (La decisión de contar los días calendario o los días hábiles varía según la elección personal, y existen argumentos a favor de ambos).${\displaystyle \tau \,}$

Rho , ^[4] , mide la sensibilidad a la tasa de interés: es la derivada del valor de la opción con respecto a la tasa de interés libre de riesgo (para el plazo pendiente relevante).${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho ={\frac {\partial V}{\partial r}}}$

Salvo en circunstancias extremas, el valor de una opción es menos sensible a los cambios en el tipo de interés libre de riesgo que a los cambios en otros parámetros. Por este motivo, rho es la griega de primer orden menos utilizada.

Rho se expresa normalmente como la cantidad de dinero, por acción del activo subyacente, que el valor de la opción ganará o perderá a medida que la tasa de interés libre de riesgo aumenta o disminuye un 1,0% anual (100 puntos básicos).

Lambda , ^[4] , omega , ^[8] o elasticidad ^[4] es el cambio porcentual en el valor de la opción por cambio porcentual en el precio subyacente, una medida de apalancamiento , a veces llamado engranaje.${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \lambda =\Omega ={\frac {\partial V}{\partial S}}\times {\frac {S}{V}}}$

Se sostiene que .${\displaystyle \lambda =\Omega =\Delta \times {\frac {S}{V}}}$

Es similar al concepto de delta pero expresado en términos porcentuales en lugar de términos absolutos.

Epsilon , ^[9] (también conocido como psi,), es el cambio porcentual en el valor de la opción por cada cambio porcentual en el rendimiento del dividendo subyacente , una medida del riesgo de dividendo. El impacto del rendimiento del dividendo se determina en la práctica utilizando un aumento del 10% en esos rendimientos. Obviamente, esta sensibilidad solo se puede aplicar a los instrumentos derivados deproductos de renta variable .${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \varepsilon =\psi ={\frac {\partial V}{\partial q}}}$

Numéricamente, todas las sensibilidades de primer orden pueden interpretarse como diferenciales en los rendimientos esperados. ^[10] La geometría de la información ofrece otra interpretación (trigonométrica). ^[10]

Gamma , ^[4] , mide la tasa de cambio en el delta con respecto a los cambios en el precio subyacente. Gamma es la segunda derivada de la función de valor con respecto al precio subyacente.${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\partial \Delta }{\partial S}}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}}$

La mayoría de las opciones largas tienen un gamma positivo y la mayoría de las opciones cortas tienen un gamma negativo. Las opciones largas tienen una relación positiva con el gamma porque a medida que el precio aumenta, el gamma también aumenta, lo que hace que Delta se acerque a 1 desde 0 (opción de compra larga) y a 0 desde −1 (opción de venta larga). Lo inverso es cierto para las opciones cortas. ^[11]

La gamma alcanza su máximo aproximadamente en el momento del dinero (ATM) y disminuye cuanto más se aleja el precio, ya sea en el momento del dinero (ITM) o fuera del dinero (OTM). La gamma es importante porque corrige la convexidad del valor.

Cuando un operador busca establecer una cobertura delta efectiva para una cartera, también puede intentar neutralizar la gamma de la cartera, ya que esto garantizará que la cobertura sea efectiva en un rango más amplio de movimientos de precios subyacentes.

Vanna , ^[4] también conocida como DvegaDspot ^[13] y DdeltaDvol , ^[13] es una derivada de segundo orden del valor de la opción, una vez al precio spot subyacente y otra a la volatilidad. Es matemáticamente equivalente a DdeltaDvol , la sensibilidad del delta de la opción con respecto al cambio en la volatilidad; o alternativamente, la parte de vega con respecto al precio del instrumento subyacente. Vanna puede ser una sensibilidad útil para monitorear al mantener una cartera con cobertura delta o vega, ya que vanna ayudará al operador a anticipar los cambios en la efectividad de una cobertura delta a medida que cambia la volatilidad o la efectividad de una cobertura vega contra el cambio en el precio spot subyacente.

Si el valor subyacente tiene derivadas parciales segundas continuas, entonces${\displaystyle {\text{Vanna}}={\frac {\partial \Delta }{\partial \sigma }}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial S}}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial S\,\partial \sigma }}.}$

El encanto ^[4] o decaimiento delta ^[14] mide la tasa instantánea de cambio de delta a lo largo del tiempo.

${\displaystyle {\text{Charm}}=-{\frac {\partial \Delta }{\partial \tau }}={\frac {\partial \Theta }{\partial S}}=-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \tau \,\partial S}}}$

El encanto también se ha denominado DdeltaDtime . ^[13] El encanto puede ser un término griego importante para medir o monitorear cuando se realiza una cobertura delta de una posición durante un fin de semana. El encanto es una derivada de segundo orden del valor de la opción, una vez con respecto al precio y otra con respecto al paso del tiempo. También es la derivada de theta con respecto al precio del activo subyacente.

El resultado matemático de la fórmula para el encanto (ver más abajo) se expresa en delta/año. A menudo es útil dividir esto por la cantidad de días por año para llegar a la disminución del delta por día. Este uso es bastante preciso cuando la cantidad de días restantes hasta el vencimiento de la opción es grande. Cuando una opción se acerca al vencimiento, el encanto en sí puede cambiar rápidamente, lo que hace que las estimaciones de un día completo de la disminución del delta sean inexactas.

Vomma , ^[4] volga , ^[15] convexidad vega , ^[15] o DvegaDvol ^[15] mide la sensibilidad de segundo orden a la volatilidad . Vomma es la segunda derivada del valor de la opción con respecto a la volatilidad o, dicho de otra manera, vomma mide la tasa de cambio de vega a medida que cambia la volatilidad.

${\displaystyle {\text{Vomma}}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial \sigma }}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \sigma ^{2}}}}$

Con vomma positivo, una posición se convertirá en vega larga a medida que aumenta la volatilidad implícita y en vega corta a medida que disminuye, lo que se puede revender de forma análoga a la gamma larga. Y una posición vomma larga inicialmente neutral en vega se puede construir a partir de ratios de opciones a diferentes precios de ejercicio. Vomma es positivo para opciones largas alejadas del dinero, e inicialmente aumenta con la distancia del dinero (pero disminuye a medida que cae vega). (Específicamente, vomma es positivo cuando los términos d ₁ y d ₂ habituales son del mismo signo, lo que es cierto cuando d ₁  < 0 o d ₂  > 0).

Veta , ^[16] la descomposición de vega o DvegaDtime ^[15] mide la tasa de cambio en la vega con respecto al paso del tiempo. Veta es la segunda derivada de la función de valor; una vez para la volatilidad y otra para el tiempo.

${\displaystyle {\text{Veta}}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \sigma \,\partial \tau }}}$

Es una práctica común dividir el resultado matemático de veta por 100 veces el número de días por año para reducir el valor al cambio porcentual en vega por día.

Vera ^[17] (a veces rhova ) ^[17] mide la tasa de cambio en rho con respecto a la volatilidad. Vera es la segunda derivada de la función de valor; una vez para la volatilidad y otra para la tasa de interés.

${\displaystyle {\text{Vera}}={\frac {\partial \rho }{\partial \sigma }}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \sigma \,\partial r}}}$

La palabra "Vera" fue acuñada por R. Naryshkin a principios de 2012 cuando se necesitaba utilizar esta sensibilidad en la práctica para evaluar el impacto de los cambios de volatilidad en la cobertura rho, pero aún no existía ningún nombre en la literatura disponible. "Vera" fue elegido para sonar similar a una combinación de Vega y Rho, sus respectivas griegas de primer orden. Este nombre ahora se usa más, incluido, por ejemplo, el software de álgebra computacional Maple (que tiene la función "BlackScholesVera" en su paquete de Finanzas).

Esta derivada parcial tiene un papel fundamental en la fórmula de Breeden–Litzenberger ^[18] , que utiliza precios de opciones de compra cotizados para estimar las probabilidades neutrales al riesgo implícitas en dichos precios.

${\displaystyle \varpi ={\frac {\partial ^{2}V}{\partial K^{2}}}}$

Para las opciones de compra, se puede aproximar utilizando carteras infinitesimales de estrategias mariposa .

La velocidad ^[4] mide la tasa de cambio en Gamma con respecto a los cambios en el precio subyacente.

${\displaystyle {\text{Speed}}={\frac {\partial \Gamma }{\partial S}}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial S^{3}}}}$

A esto también se lo denomina a veces gamma de gamma ^{[2] : 799} o DgammaDspot . ^[13] La velocidad es la tercera derivada de la función de valor con respecto al precio spot subyacente. Puede ser importante controlar la velocidad cuando se realiza una cobertura delta o gamma de una cartera.

Zomma ^[4] mide la tasa de cambio de gamma con respecto a los cambios en la volatilidad.

${\displaystyle {\text{Zomma}}={\frac {\partial \Gamma }{\partial \sigma }}={\frac {\partial {\text{vanna}}}{\partial S}}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial S^{2}\,\partial \sigma }}}$

Zomma también se conoce como DgammaDvol . ^[13] Zomma es la tercera derivada del valor de la opción, dos veces al precio del activo subyacente y una vez a la volatilidad. Zomma puede ser una sensibilidad útil para monitorear cuando se mantiene una cartera con cobertura gamma, ya que Zomma ayudará al operador a anticipar cambios en la efectividad de la cobertura a medida que cambia la volatilidad.

Color , ^[13] decaimiento gamma ^[19] o DgammaDtime ^[13] mide la tasa de cambio de gamma a lo largo del tiempo.

${\displaystyle {\text{Color}}={\frac {\partial \Gamma }{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial S^{2}\,\partial \tau }}}$

El color es una derivada de tercer orden del valor de la opción, que se relaciona dos veces con el precio del activo subyacente y una vez con el tiempo. El color puede ser una sensibilidad importante que se debe controlar al mantener una cartera con cobertura gamma, ya que puede ayudar al operador a anticipar la efectividad de la cobertura a medida que pasa el tiempo.

El resultado matemático de la fórmula del color (ver más abajo) se expresa en gamma por año. A menudo resulta útil dividirlo por el número de días por año para obtener el cambio en gamma por día. Este uso es bastante preciso cuando el número de días restantes hasta el vencimiento de la opción es grande. Cuando una opción se acerca al vencimiento, el color en sí puede cambiar rápidamente, lo que hace que las estimaciones de cambio de gamma para un día completo sean inexactas.

Ultima ^[4] mide la sensibilidad de la opción vomma con respecto al cambio en la volatilidad.

${\displaystyle {\text{Ultima}}={\frac {\partial {\text{vomma}}}{\partial \sigma }}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial \sigma ^{3}}}}$

Ultima también se ha denominado DvommaDvol . ^[4] Ultima es una derivada de tercer orden del valor de la opción respecto de la volatilidad.

Parmicharma ^[4] mide la tasa de cambio del encanto a lo largo del tiempo.

${\displaystyle {\text{Parmicharma}}=-{\frac {\partial {\text{charm}}}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial \tau ^{2}\partial S}}}$

Parmicharma también se ha denominado DcharmDtime . ^[20] Parmicharma es una derivada de tercer orden del valor de la opción, dos veces al tiempo y una vez al precio del activo subyacente. Para mantener mejor una cartera con cobertura delta a medida que pasa el tiempo, el operador puede cubrir charm además de su posición delta actual. ^[20] Parmicharma puede ser una sensibilidad útil para monitorear al mantener una cartera con cobertura charm, ya que parmicharma ayudará al operador a anticipar cambios en la efectividad de la cobertura a medida que pasa el tiempo.

Si el valor de un derivado depende de dos o más subyacentes , sus griegas se extienden para incluir los efectos cruzados entre los subyacentes.

La correlación delta mide la sensibilidad del valor del derivado a un cambio en la correlación entre los subyacentes. ^[21] También se conoce comúnmente como cega . ^{[22] [23]}

La gamma cruzada mide la tasa de cambio del delta en un subyacente ante un cambio en el nivel de otro subyacente. ^[24]

La variable cruzada Vanna mide la tasa de cambio de vega en un activo subyacente debido a un cambio en el nivel de otro activo subyacente. De manera equivalente, mide la tasa de cambio de delta en el segundo activo subyacente debido a un cambio en la volatilidad del primer activo subyacente. ^[21]

El Volga cruzado mide la tasa de cambio de vega en un subyacente ante un cambio en la volatilidad de otro subyacente. ^[24]

Las griegas de las opciones europeas ( calls y puts ) según el modelo Black–Scholes se calculan de la siguiente manera, donde (phi) es la función de densidad de probabilidad normal estándar y es la función de distribución acumulativa normal estándar . Nótese que las fórmulas gamma y vega son las mismas para las opciones call y put.${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Phi }$

Para un determinado:

• Precio de las acciones ,${\displaystyle S\,}$
• Precio de ejercicio ,${\displaystyle K\,}$
• Tasa libre de riesgo ,${\displaystyle r\,}$
• Rendimiento anual del dividendo ,${\displaystyle q\,}$
• Tiempo hasta el vencimiento (representado como una fracción sin unidades de un año), y${\displaystyle \tau =T-t\,}$
• Volatilidad .${\displaystyle \sigma \,}$

	Llamadas	Pone
valor razonable ( )${\displaystyle V}$	${\displaystyle Se^{-q\tau }\Phi (d_{1})-e^{-r\tau }K\Phi (d_{2})\,}$	${\displaystyle e^{-r\tau }K\Phi (-d_{2})-Se^{-q\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
delta ( )${\displaystyle \Delta }$	${\displaystyle e^{-q\tau }\Phi (d_{1})\,}$	${\displaystyle -e^{-q\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
vega ( )${\displaystyle {\mathcal {V}}}$	${\displaystyle Se^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\sqrt {\tau }}=Ke^{-r\tau }\varphi (d_{2}){\sqrt {\tau }}\,}$
teta ( )${\displaystyle \Theta }$	${\displaystyle -e^{-q\tau }{\frac {S\varphi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}-rKe^{-r\tau }\Phi (d_{2})+qSe^{-q\tau }\Phi (d_{1})\,}$	${\displaystyle -e^{-q\tau }{\frac {S\varphi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}+rKe^{-r\tau }\Phi (-d_{2})-qSe^{-q\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
ro ( )${\displaystyle \rho }$	${\displaystyle K\tau e^{-r\tau }\Phi (d_{2})\,}$	${\displaystyle -K\tau e^{-r\tau }\Phi (-d_{2})\,}$
épsilon ( )${\displaystyle \epsilon }$	${\displaystyle -S\tau e^{-q\tau }\Phi (d_{1})}$	${\displaystyle S\tau e^{-q\tau }\Phi (-d_{1})}$
lambda ( )${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \Delta {\frac {S}{V}}\,}$
gama ( )${\displaystyle \Gamma }$	${\displaystyle e^{-q\tau }{\frac {\varphi (d_{1})}{S\sigma {\sqrt {\tau }}}}=Ke^{-r\tau }{\frac {\varphi (d_{2})}{S^{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$
Vanna	${\displaystyle -e^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\frac {d_{2}}{\sigma }}\,={\frac {\mathcal {V}}{S}}\left[1-{\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\right]\,}$
encanto	${\displaystyle qe^{-q\tau }\Phi (d_{1})-e^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$	${\displaystyle -qe^{-q\tau }\Phi (-d_{1})-e^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$
vomitar	${\displaystyle Se^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\sqrt {\tau }}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}={\mathcal {V}}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}\,}$
verdad	${\displaystyle -K\tau e^{-r\tau }\varphi (d_{2}){\frac {d_{1}}{\sigma }}\,}$
veta	${\displaystyle -Se^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\sqrt {\tau }}\left[q+{\frac {\left(r-q\right)d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}-{\frac {1+d_{1}d_{2}}{2\tau }}\right]\,}$
${\displaystyle \varpi }$	${\displaystyle Se^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\frac {1}{K^{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}}=\left({\frac {S}{K}}\right)^{2}\Gamma \,}$
velocidad	${\displaystyle -e^{-q\tau }{\frac {\varphi (d_{1})}{S^{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left({\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}+1\right)=-{\frac {\Gamma }{S}}\left({\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}+1\right)\,}$
Zombi	${\displaystyle e^{-q\tau }{\frac {\varphi (d_{1})\left(d_{1}d_{2}-1\right)}{S\sigma ^{2}{\sqrt {\tau }}}}=\Gamma {\frac {d_{1}d_{2}-1}{\sigma }}\,}$
color	${\displaystyle -e^{-q\tau }{\frac {\varphi (d_{1})}{2S\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[2q\tau +1+{\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}d_{1}\right]\,}$
última	${\displaystyle {\frac {-{\mathcal {V}}}{\sigma ^{2}}}\left[d_{1}d_{2}(1-d_{1}d_{2})+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\right]}$
Parmicharma	${\displaystyle \left(q-{\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\right){\text{charm}}-e^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\frac {2d_{2}\sigma ^{2}\tau -(r-q)\sigma \tau {\sqrt {\tau }}-\sigma ^{2}\tau ^{2}{\frac {\partial }{\partial \tau }}d_{2}}{2\tau ^{3}\sigma ^{2}}}\,}$
delta dual	${\displaystyle -e^{-r\tau }\Phi (d_{2})\,}$	${\displaystyle e^{-r\tau }\Phi (-d_{2})\,}$
doble gamma	${\displaystyle e^{-r\tau }{\frac {\varphi (d_{2})}{K\sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&={\frac {\ln(S/K)+\left(r-q+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\\d_{2}&={\frac {\ln(S/K)+\left(r-q-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}\\\varphi (x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\\\Phi (x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\,dy=1-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\,dy\end{aligned}}}$

Según el modelo Black (utilizado habitualmente para materias primas y opciones sobre futuros), los griegos pueden calcularse de la siguiente manera:

	Llamadas	Pone
valor razonable ( )${\displaystyle V}$	${\displaystyle e^{-r\tau }[F\Phi (d_{1})-K\Phi (d_{2})]\ }$	${\displaystyle e^{-r\tau }[K\Phi (-d_{2})-F\Phi (-d_{1})]\,}$
delta ( )${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle =\partial V/\partial F}$	${\displaystyle e^{-r\tau }\Phi (d_{1})\,}$	${\displaystyle -e^{-r\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
vega ( )${\displaystyle {\mathcal {V}}}$	${\displaystyle Fe^{-r\tau }\varphi (d_{1}){\sqrt {\tau }}=Ke^{-r\tau }\varphi (d_{2}){\sqrt {\tau }}\,}$ (*)
teta ( )${\displaystyle \Theta }$	${\displaystyle -{\frac {Fe^{-r\tau }\varphi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}-rKe^{-r\tau }\Phi (d_{2})+rFe^{-r\tau }\Phi (d_{1})\,}$	${\displaystyle -{\frac {Fe^{-r\tau }\varphi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}+rKe^{-r\tau }\Phi (-d_{2})-rFe^{-r\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
ro ( )${\displaystyle \rho }$	${\displaystyle -\tau e^{-r\tau }[F\Phi (d_{1})-K\Phi (d_{2})]\ }$	${\displaystyle -\tau e^{-r\tau }[K\Phi (-d_{2})-F\Phi (-d_{1})]\,}$
gama ( )${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle ={\partial ^{2}V \over \partial F^{2}}}$	${\displaystyle e^{-r\tau }{\frac {\varphi (d_{1})}{F\sigma {\sqrt {\tau }}}}=Ke^{-r\tau }{\frac {\varphi (d_{2})}{F^{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$(*)
Vanna${\displaystyle ={\frac {\partial ^{2}V}{\partial F\partial \sigma }}}$	${\displaystyle -e^{-r\tau }\varphi (d_{1}){\frac {d_{2}}{\sigma }}\,={\frac {\mathcal {V}}{F}}\left[1-{\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\right]\,}$
vomitar	${\displaystyle Fe^{-r\tau }\varphi (d_{1}){\sqrt {\tau }}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}={\mathcal {V}}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}\,}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&={\frac {\ln(F/K)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\\d_{2}&={\frac {\ln(F/K)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{aligned}}}$

(*) Se puede demostrar que${\displaystyle F\varphi (d_{1})=K\varphi (d_{2})}$

Prueba micro:

dejar${\displaystyle x=\sigma {\sqrt {\tau }}}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln {\frac {F}{K}}+{\frac {1}{2}}x^{2}}{x}}}$

${\displaystyle d_{1}\cdot x=\ln {\frac {F}{K}}+{\frac {1}{2}}x^{2}}$

${\displaystyle \ln(F/K)=d_{1}\cdot x-{\frac {1}{2}}x^{2}}$

${\displaystyle {\frac {F}{K}}=e^{d_{1}\cdot x-{\frac {1}{2}}x^{2}}}$

Entonces tenemos:${\displaystyle {\frac {F}{K}}\cdot {\frac {\varphi (d_{1})}{\varphi (d_{2})}}={\frac {F}{K}}\cdot e^{{\frac {1}{2}}\cdot {d_{2}}^{2}-{\frac {1}{2}}\cdot {d_{1}}^{2}}}$

${\displaystyle =e^{d_{1}x-{\frac {1}{2}}x^{2}}\cdot e^{{\frac {1}{2}}\cdot {(d_{1}-x)}^{2}-{\frac {1}{2}}\cdot {d_{1}}^{2}}=e^{d_{1}x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot (2d_{1}-x)(-x)}=e^{0}=1.}$

Entonces${\displaystyle F\varphi (d_{1})=K\varphi (d_{2})}$

A continuación se enumeran algunas medidas de riesgo relacionadas con los instrumentos financieros .

En la negociación de bonos y otros valores de renta fija , se utilizan diversas medidas de duración de los bonos de forma análoga al delta de una opción. El análogo más cercano al delta es DV01 , que es la reducción del precio (en unidades monetarias) por un aumento de un punto básico (es decir, 0,01% anual) en el rendimiento , donde el rendimiento es la variable subyacente; consulte Duración de los bonos § Riesgo – duración como sensibilidad a la tasa de interés . (Relacionado con CS01 , que mide la sensibilidad al diferencial de crédito ).

Análoga a la lambda es la duración modificada , que es el cambio porcentual en el precio de mercado del bono(s) por un cambio unitario en el rendimiento (es decir, es equivalente a DV01 dividido por el precio de mercado). A diferencia de la lambda, que es una elasticidad (un cambio porcentual en la producción por un cambio porcentual en la entrada), la duración modificada es en cambio una semielasticidad : un cambio porcentual en la producción por un cambio unitario en la entrada. Véase también Duración de la tasa clave .

La convexidad de los bonos es una medida de la sensibilidad de la duración a los cambios en las tasas de interés , la segunda derivada del precio del bono con respecto a las tasas de interés (la duración es la primera derivada); es entonces análoga a gamma. En general, cuanto mayor sea la convexidad, más sensible es el precio del bono al cambio en las tasas de interés. La convexidad de los bonos es una de las formas de convexidad más básicas y ampliamente utilizadas en finanzas .

En el caso de un bono con una opción incorporada , los cálculos estándar basados ​​en el rendimiento al vencimiento no consideran cómo los cambios en las tasas de interés alterarán los flujos de efectivo debido al ejercicio de la opción. Para abordar esto, se introducen la duración efectiva y la convexidad efectiva . Estos valores se calculan típicamente utilizando un modelo basado en árboles, construido para toda la curva de rendimiento (en lugar de un único rendimiento al vencimiento) y, por lo tanto, capturando el comportamiento del ejercicio en cada punto de la vida de la opción como una función tanto del tiempo como de las tasas de interés; consulte Modelo reticular (finanzas) § Derivados de tasas de interés .

La beta (β) de una acción o cartera es un número que describe la volatilidad de un activo en relación con la volatilidad del índice de referencia con el que se compara dicho activo. Este índice de referencia suele ser el mercado financiero en general y suele estimarse mediante el uso de índices representativos , como el S&P 500 .

Un activo tiene una beta de cero si sus rendimientos cambian independientemente de los cambios en los rendimientos del mercado. Una beta positiva significa que los rendimientos del activo generalmente siguen los rendimientos del mercado, en el sentido de que ambos tienden a estar por encima de sus respectivos promedios juntos, o ambos tienden a estar por debajo de sus respectivos promedios juntos. Una beta negativa significa que los rendimientos del activo generalmente se mueven en sentido opuesto a los rendimientos del mercado: uno tenderá a estar por encima de su promedio cuando el otro esté por debajo de su promedio.

El fugit es el tiempo esperado para ejercer una opción estadounidense o bermudeña. El fugit se calcula de manera útil para fines de cobertura; por ejemplo, se pueden representar los flujos de una swaption estadounidense como los flujos de un swap que comienzan en el fugit multiplicado por delta, y luego utilizarlos para calcular otras sensibilidades.

• Alfa (finanzas)
• Beta (finanzas)
• Delta neutral
• Gestión de riesgos financieros
• Letras griegas utilizadas en matemáticas, ciencia e ingeniería.
• Explicación del PnL § Método de sensibilidades
• Precios del Vanna-Volga

Teoría

• Delta, Gamma, GammaP, Simetría gamma, Vanna, Velocidad, Charm, Saddle Gamma: Opciones vainilla - Espen Haug,
• Volga, Vanna, Velocidad, Encanto, Color: Opciones de vainilla - Uwe Wystup Archivado el 28 de septiembre de 2007 en Wayback Machine , Opciones de vainilla - Uwe Wystup

Herramientas en línea

• griegos: Sensibilidades de los precios de las opciones financieras, paquete R para calcular griegos para opciones europeas, americanas y asiáticas