Ecuación diferencial parcial estocástica

Las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas ( SPDE ) generalizan las ecuaciones diferenciales parciales a través de términos de fuerza y ​​coeficientes aleatorios, de la misma manera que las ecuaciones diferenciales estocásticas ordinarias generalizan las ecuaciones diferenciales ordinarias .

Tienen relevancia para la teoría cuántica de campos , la mecánica estadística y el modelado espacial . ^{[1] [2]}

Una de las SPDE más estudiadas es la ecuación de calor estocástica , ^[3] que puede escribirse formalmente como

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+\xi \;,}$

donde es el laplaciano y denota ruido blanco espacio-temporal . Otros ejemplos incluyen también versiones estocásticas de ecuaciones lineales famosas, como la ecuación de onda ^[4] y la ecuación de Schrödinger ^[5] .${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \xi }$

Una dificultad es su falta de regularidad. En un espacio unidimensional, las soluciones de la ecuación de calor estocástica son casi 1/2- Hölder continuas en el espacio y 1/4-Hölder continuas en el tiempo. Para dimensiones dos y superiores, las soluciones ni siquiera tienen valores de función, pero pueden interpretarse como distribuciones aleatorias .

Para ecuaciones lineales, generalmente se puede encontrar una solución suave mediante técnicas de semigrupos . ^[6]

Sin embargo, comienzan a aparecer problemas cuando se consideran ecuaciones no lineales. Por ejemplo:

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+P(u)+\xi ,}$

donde es un polinomio. En este caso ni siquiera está claro cómo se debe dar sentido a la ecuación. Una ecuación de este tipo tampoco tendrá una solución con valores de función en una dimensión mayor que uno y, por lo tanto, no tendrá significado puntual. Es bien sabido que el espacio de distribuciones no tiene estructura de producto. Este es el problema central de dicha teoría. Esto conduce a la necesidad de alguna forma de renormalización .${\displaystyle P}$

Un primer intento de evitar estos problemas para algunas ecuaciones específicas fue el llamado truco de Da Prato-Debussche , que implicaba estudiar dichas ecuaciones no lineales como perturbaciones de las lineales. ^[7] Sin embargo, esto solo se puede utilizar en entornos muy restrictivos, ya que depende tanto del factor no lineal como de la regularidad del término de ruido de excitación. En los últimos años, el campo se ha expandido drásticamente y ahora existe una gran maquinaria para garantizar la existencia local de una variedad de SPDE subcríticos . ^[8]

• Bain, A.; Crisan, D. (2009). Fundamentos del filtrado estocástico . Modelado estocástico y probabilidad aplicada. Vol. 60. Nueva York: Springer. ISBN 978-0387768953.
• Holden, H.; Øksendal, B.; Ubøe, J.; Zhang, T. (2010). Ecuaciones diferenciales parciales estocásticas: un enfoque funcional de ruido blanco y modelado . Universitext (2.ª ed.). Nueva York: Springer. doi :10.1007/978-0-387-89488-1. ISBN 978-0-387-89487-4.
• Lindgren, F.; Rue, H.; Lindström, J. (2011). "Un vínculo explícito entre campos gaussianos y campos aleatorios gaussianos de Markov: el enfoque de ecuación diferencial parcial estocástica". Revista de la Royal Statistical Society Serie B: Metodología estadística . 73 (4): 423–498. doi :10.1111/j.1467-9868.2011.00777.x. hdl : 20.500.11820/1084d335-e5b4-4867-9245-ec9c4f6f4645 . ISSN  1369-7412.
• Xiu, D. (2010). Métodos numéricos para cálculos estocásticos: un enfoque de método espectral . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14212-8.

• "Un minicurso sobre ecuaciones diferenciales parciales estocásticas" (PDF) . 2006.
• Hairer, Martin (2009). "Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas". arXiv : 0907.4178 [math.PR].