Curva de indiferencia

En economía , una curva de indiferencia conecta puntos en un gráfico que representan diferentes cantidades de dos bienes, puntos entre los cuales un consumidor es indiferente . Es decir, cualquier combinación de dos productos indicada por la curva proporcionará al consumidor niveles iguales de utilidad, y el consumidor no tiene preferencia por una combinación o paquete de bienes sobre una combinación diferente en la misma curva. También se puede hacer referencia a cada punto en la curva de indiferencia como si generara el mismo nivel de utilidad (satisfacción) para el consumidor. En otras palabras, una curva de indiferencia es el lugar geométrico de varios puntos que muestran diferentes combinaciones de dos bienes que proporcionan la misma utilidad al consumidor. La utilidad es entonces un dispositivo para representar preferencias en lugar de algo de lo que provienen las preferencias. ^[1] El uso principal de las curvas de indiferencia es en la representación de patrones de demanda potencialmente observables para consumidores individuales sobre paquetes de productos. ^[2]

Existen infinitas curvas de indiferencia: una pasa por cada combinación. Una colección de curvas de indiferencia (seleccionadas), ilustrada gráficamente, se denomina mapa de indiferencia . La pendiente de una curva de indiferencia se denomina TMS (tasa marginal de sustitución), e indica cuánto del bien y debe sacrificarse para mantener constante la utilidad si el bien x aumenta en una unidad. Dada una función de utilidad u(x,y), para calcular la TMS, se toma la derivada parcial de la función u con respecto al bien x y se divide por la derivada parcial de la función u con respecto al bien y . Si la tasa marginal de sustitución disminuye a lo largo de una curva de indiferencia, es decir, la magnitud de la pendiente disminuye o se vuelve menos pronunciada, entonces la preferencia es convexa.

La teoría de las curvas de indiferencia fue desarrollada por Francis Ysidro Edgeworth , quien explicó en su libro de 1881 las matemáticas necesarias para su dibujo; ^[3] más tarde, Vilfredo Pareto fue el primer autor en dibujar realmente estas curvas, en su libro de 1906. ^{[4] [5]} La teoría se puede derivar de la teoría de utilidad ordinal de William Stanley Jevons , que postula que los individuos siempre pueden clasificar cualquier paquete de consumo por orden de preferencia. ^[6]

Un gráfico de curvas de indiferencia para varios niveles de utilidad de un consumidor individual se llama mapa de indiferencia . Los puntos que arrojan diferentes niveles de utilidad están asociados con curvas de indiferencia distintas y estas curvas de indiferencia en el mapa de indiferencia son como líneas de contorno en un gráfico topográfico. Cada punto de la curva representa la misma elevación. Si te mueves "fuera" de una curva de indiferencia que se desplaza en dirección noreste (suponiendo una utilidad marginal positiva para los bienes), esencialmente estás subiendo una montaña de utilidad. Cuanto más alto llegues, mayor será el nivel de utilidad. El requisito de no saciedad significa que nunca alcanzarás la "cima", o un " punto de felicidad ", una cesta de consumo que se prefiere a todas las demás.

Las curvas de indiferencia suelen representarse ^{[ vagamente ] [ se necesita aclaración ]} como:

1. Se define únicamente en el cuadrante no negativo de cantidades de productos básicos (es decir, se ignora la posibilidad de tener cantidades negativas de cualquier bien).
2. Pendiente negativa. Es decir, a medida que aumenta la cantidad consumida de un bien (X), la satisfacción total aumentaría ^{[ aclaración necesaria ]} si no se compensa con una disminución en la cantidad consumida del otro bien (Y). Equivalentemente, la saciedad , de modo que se prefiere igualmente más de cualquiera de los dos bienes (o de ambos) a que no haya aumento, se excluye. ^{[ aclaración necesaria ]} (Si la utilidad U = f(x, y) , U , en la tercera dimensión, no tiene un máximo local para ningún valor de x e y .) ^{[ aclaración necesaria ]} La pendiente negativa de la curva de indiferencia refleja el supuesto de monotonía de las preferencias del consumidor, que genera funciones de utilidad monótonamente crecientes, y el supuesto de no saciedad (la utilidad marginal para todos los bienes es siempre positiva); una curva de indiferencia con pendiente positiva implicaría que un consumidor es indiferente entre un paquete A y otro paquete B porque se encuentran en la misma curva de indiferencia, incluso en el caso en que la cantidad de ambos bienes en el paquete B sea mayor. Debido a la monotonía de las preferencias y a la insaciabilidad, se debe preferir un paquete con más de ambos bienes a uno con menos de ambos, por lo que el primer paquete debe producir una utilidad mayor y estar en una curva de indiferencia diferente en un nivel de utilidad más alto. La pendiente negativa de la curva de indiferencia implica que la tasa marginal de sustitución siempre es positiva;
3. Completa , de modo que todos los puntos de una curva de indiferencia tienen la misma preferencia y son más o menos preferidos que cualquier otro punto que no esté en la curva. Por lo tanto, con (2), no pueden intersecarse dos curvas (de lo contrario, se violaría la no saciedad, ya que el punto o los puntos de intersección tendrían la misma utilidad).
4. Transitiva con respecto a puntos en curvas de indiferencia distintas. Es decir, si cada punto en I ₂ es (estrictamente) preferido a cada punto en I ₁ , y cada punto en I ₃ es preferido a cada punto en I ₂ , cada punto en I ₃ es preferido a cada punto en I ₁ . Una pendiente negativa y la transitividad excluyen las curvas de indiferencia que se cruzan, ya que las líneas rectas desde el origen a ambos lados de donde se cruzan darían clasificaciones de preferencia opuestas e intransitivas.
5. (Estrictamente) convexa . Con (2), las preferencias convexas ^{[ aclaración necesaria ]} implican que las curvas de indiferencia no pueden ser cóncavas respecto del origen, es decir, serán líneas rectas o se abultarán hacia el origen de la curva de indiferencia. Si esto último es el caso, entonces, a medida que un consumidor disminuye el consumo de un bien en unidades sucesivas, se requieren dosis sucesivamente mayores del otro bien para mantener la satisfacción sin cambios.

• Las preferencias son completas . El consumidor ha clasificado todas las combinaciones alternativas de bienes disponibles en función de la satisfacción que le proporcionan.

Supongamos que hay dos cestas de consumo A y B, cada una de las cuales contiene dos bienes x e y . Un consumidor puede determinar sin ambigüedades que se da uno y solo uno de los siguientes casos:

• A se prefiere a B , escrito formalmente como A ^p B ^[7]
• B se prefiere a A , escrito formalmente como B ^p A ^[7]
• A es indiferente a B , escrito formalmente como A ^I B ^[7]

Este axioma excluye la posibilidad de que el consumidor no pueda decidir, ^[8] supone que un consumidor puede hacer esta comparación con respecto a cualquier conjunto concebible de bienes. ^[7]

• Las preferencias son reflexivas

Esto significa que si A y B son idénticos en todos los aspectos, el consumidor reconocerá este hecho y será indiferente al comparar A y B.

• A = B ⇒ A ^I B ^[7]

• Las preferencias son transitivas ^{[nb 1]}

• Si A ^p B y B ^p C , entonces A ^p C . ^[7]
• Además, si A ^I B y B ^I C , entonces A ^I C . ^[7]

Este es un supuesto de coherencia.

• Las preferencias son continuas

• Si A se prefiere a B y C está suficientemente cerca de B, entonces A se prefiere a C.
• A ^p B y C → B ⇒ A ^p C .

"Continuo" significa infinitamente divisible: así como hay una cantidad infinita de números entre 1 y 2, todos los paquetes son infinitamente divisibles. Esta suposición hace que las curvas de indiferencia sean continuas.

• Las preferencias exhiben una fuerte monotonía

• Si A tiene más de x e y que B , entonces A es preferido a B.

Esta suposición se denomina comúnmente la suposición "cuanto más, mejor".

Una versión alternativa de este supuesto requiere que si A y B tienen la misma cantidad de un bien, pero A tiene más del otro, entonces A es preferido a B.

También implica que los bienes son buenos y no malos . Ejemplos de bienes malos pueden ser las enfermedades, la contaminación, etc., porque siempre deseamos menos de esas cosas.

• Las curvas de indiferencia muestran tasas marginales de sustitución decrecientes

• La tasa marginal de sustitución indica cuánto 'y' está dispuesta a sacrificar una persona para obtener una unidad más de 'x'. ^{[ aclaración necesaria ]}
• Este supuesto asegura que las curvas de indiferencia sean suaves y convexas hacia el origen.
• Esta suposición también preparó el terreno para el uso de técnicas de optimización restringida porque la forma de la curva asegura que la primera derivada sea negativa y la segunda sea positiva.
• Otro nombre para este supuesto es el supuesto de sustitución . Es el supuesto más crítico de la teoría del consumidor : los consumidores están dispuestos a renunciar o intercambiar una parte de un bien para obtener más de otro. La afirmación fundamental es que existe una cantidad máxima a la que "un consumidor renunciará, de un bien, para obtener una unidad de otro bien, en la cantidad que dejará al consumidor indiferente entre la situación nueva y la anterior" ^[9]. La pendiente negativa de las curvas de indiferencia representa la disposición del consumidor a hacer un intercambio. ^[9]

La teoría del consumo utiliza curvas de indiferencia y restricciones presupuestarias para generar curvas de demanda del consumidor . Para un solo consumidor, este es un proceso relativamente simple. Primero, supongamos que un bien es un ejemplo de mercado, por ejemplo, zanahorias, y que el otro es un compuesto de todos los demás bienes. Las restricciones presupuestarias dan una línea recta en el mapa de indiferencia que muestra todas las distribuciones posibles entre los dos bienes; el punto de máxima utilidad es entonces el punto en el que una curva de indiferencia es tangente a la línea presupuestaria (ilustrada). Esto se desprende del sentido común: si el mercado valora un bien más que el hogar, el hogar lo venderá; si el mercado valora un bien menos que el hogar, el hogar lo comprará. El proceso continúa entonces hasta que las tasas marginales de sustitución del mercado y del hogar sean iguales. ^[10] Ahora bien, si el precio de las zanahorias cambiara y el precio de todos los demás bienes permaneciera constante, el gradiente de la línea presupuestaria también cambiaría, lo que llevaría a un punto de tangencia diferente y a una cantidad demandada diferente. Estas combinaciones de precio/cantidad pueden entonces utilizarse para deducir una curva de demanda completa. ^[10] Una línea que conecta todos los puntos de tangencia entre la curva de indiferencia y la restricción presupuestaria se denomina trayectoria de expansión . ^[11]

• 
  Figura 1: Un ejemplo de un mapa de indiferencia con tres curvas de indiferencia representadas
• 
  Figura 2: Tres curvas de indiferencia donde los bienes X e Y son sustitutos perfectos. La línea gris perpendicular a todas las curvas indica que las curvas son paralelas entre sí.
• 
  Figura 3: Curvas de indiferencia para complementos perfectos X e Y. Los codos de las curvas son colineales .

En la Figura 1, el consumidor preferiría estar en I ₃ que en I ₂ , y preferiría estar en I ₂ que en I ₁ , pero no le importa dónde se encuentra en una curva de indiferencia dada. La pendiente de una curva de indiferencia (en valor absoluto), conocida por los economistas como la tasa marginal de sustitución , muestra la tasa a la que los consumidores están dispuestos a renunciar a un bien a cambio de más del otro bien. Para la mayoría de los bienes, la tasa marginal de sustitución no es constante, por lo que sus curvas de indiferencia son curvas. Las curvas son convexas al origen, lo que describe el efecto de sustitución negativo . A medida que aumenta el precio para un ingreso monetario fijo, el consumidor busca el sustituto menos costoso en una curva de indiferencia más baja. El efecto de sustitución se refuerza a través del efecto ingreso de un ingreso real más bajo (Beattie-LaFrance). Un ejemplo de una función de utilidad que genera curvas de indiferencia de este tipo es la función Cobb-Douglas . La pendiente negativa de la curva de indiferencia incorpora la disposición del consumidor a realizar concesiones. ^[9]${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=x^{\alpha }y^{1-\alpha },0\leq \alpha \leq 1}$

Si dos bienes son sustitutos perfectos , las curvas de indiferencia tendrán una pendiente constante, ya que el consumidor estaría dispuesto a cambiar de uno a otro en una proporción fija. La relación marginal de sustitución entre sustitutos perfectos también es constante. Un ejemplo de una función de utilidad asociada con curvas de indiferencia como estas sería .${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=\alpha x+\beta y}$

Si dos bienes son complementos perfectos , las curvas de indiferencia tendrán forma de L. Algunos ejemplos de complementos perfectos son los zapatos izquierdos en comparación con los zapatos derechos: el consumidor no obtiene ninguna ventaja si tiene varios zapatos derechos si solo tiene un zapato izquierdo; los zapatos derechos adicionales tienen una utilidad marginal cero sin más zapatos izquierdos, por lo que los paquetes de bienes que difieren solo en la cantidad de zapatos derechos que incluyen (cualquiera que sea la cantidad) son igualmente preferidos. La tasa marginal de sustitución es cero o infinita. Un ejemplo del tipo de función de utilidad que tiene un mapa de indiferencia como el anterior es la función de Leontief: .${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=\min\{\alpha x,\beta y\}}$

Las diferentes formas de las curvas implican diferentes respuestas a un cambio en el precio, como se muestra en el análisis de la demanda en la teoría del consumidor . Los resultados solo se indicarán aquí. Un cambio en la línea de precios y presupuesto que mantiene al consumidor en equilibrio en la misma curva de indiferencia:

en la figura 1, la cantidad demandada de un bien se reduciría gradualmente a medida que el precio de ese bien aumentara relativamente.

en la figura 2 no tendría ningún efecto sobre la cantidad demandada de ninguno de los bienes (en un extremo de la restricción presupuestaria ) o cambiaría la cantidad demandada de un extremo de la restricción presupuestaria al otro.

en la figura 3 no tendría ningún efecto sobre las cantidades de equilibrio demandadas, ya que la línea presupuestaria rotaría alrededor de la esquina de la curva de indiferencia. ^{[nb 2]}

La teoría de la elección representa formalmente a los consumidores mediante una relación de preferencia y utiliza esta representación para derivar curvas de indiferencia que muestran combinaciones de igual preferencia para el consumidor.

Dejar

${\estilo de visualización A\;}$ser un conjunto de alternativas mutuamente excluyentes entre las que un consumidor puede elegir.

${\estilo de visualización a\;}$y ser elementos genéricos de .${\estilo de visualización b\;}$${\estilo de visualización A\;}$

En el lenguaje del ejemplo anterior, el conjunto está formado por combinaciones de manzanas y plátanos. El símbolo es una de esas combinaciones, como 1 manzana y 4 plátanos, y es otra combinación, como 2 manzanas y 2 plátanos.${\estilo de visualización A\;}$${\estilo de visualización a\;}$${\estilo de visualización b\;}$

Una relación de preferencia, denotada , es una relación binaria definida en el conjunto .${\displaystyle \succeq}$${\estilo de visualización A\;}$

La declaración

${\displaystyle a\succeq b\;}$

se describe como ' es débilmente preferido a '. Es decir, es al menos tan bueno como (en satisfacción de preferencias).${\estilo de visualización a\;}$${\estilo de visualización b\;}$${\estilo de visualización a\;}$${\estilo de visualización b\;}$

La declaración

${\displaystyle a\sim b\;}$

se describe como ' es débilmente preferido a , y es débilmente preferido a .' Es decir, uno es indiferente a la elección de o , lo que significa no que no son deseados sino que son igualmente buenos para satisfacer preferencias.${\estilo de visualización a\;}$${\estilo de visualización b\;}$${\estilo de visualización b\;}$${\estilo de visualización a\;}$${\estilo de visualización a\;}$${\estilo de visualización b\;}$

La declaración

${\displaystyle a\succ b\;}$

se describe como ' es débilmente preferido a , pero no es débilmente preferido a .' Se dice que ' es estrictamente preferido a .'${\estilo de visualización a\;}$${\estilo de visualización b\;}$${\estilo de visualización b\;}$${\estilo de visualización a\;}$${\estilo de visualización a\;}$${\estilo de visualización b\;}$

La relación de preferencia es completa si todos los pares pueden clasificarse. La relación es transitiva si cuando y entonces .${\displaystyle \succeq}$${\estilo de visualización a,b\;}$${\displaystyle a\succeq b\;}$${\displaystyle b\succeq c,\;}$${\displaystyle a\succeq c\;}$

Para cualquier elemento , la curva de indiferencia correspondiente, está formada por todos los elementos de los cuales son indiferentes a . Formalmente,${\displaystyle a\en A\;}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{a}}$${\estilo de visualización A\;}$${\estilo de visualización a}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{a}=\{b\en A:b\sim a\}}$.

En el ejemplo anterior, un elemento del conjunto está formado por dos números: el número de manzanas, llámelo así , y el número de plátanos, llámelo así.${\estilo de visualización a\;}$${\estilo de visualización A\;}$${\estilo de visualización x,\;}$${\displaystyle y.\;}$

En la teoría de la utilidad , la función de utilidad de un agente es una función que clasifica todos los pares de paquetes de consumo por orden de preferencia ( completitud ) de modo que cualquier conjunto de tres o más paquetes forme una relación transitiva . Esto significa que para cada paquete existe una relación única, , que representa la relación de utilidad (satisfacción) asociada con . La relación se denomina función de utilidad . El rango de la función es un conjunto de números reales . Los valores reales de la función no tienen importancia. Solo la clasificación de esos valores tiene contenido para la teoría. Más precisamente, si , entonces el paquete se describe como al menos tan bueno como el paquete . Si , el paquete se describe como estrictamente preferido al paquete .${\displaystyle \izquierda(x,y\derecha)}$${\displaystyle U\izquierda(x,y\derecha)}$${\displaystyle \izquierda(x,y\derecha)}$${\displaystyle \left(x,y\right)\to U\left(x,y\right)}$${\displaystyle U(x,y)\geq U(x',y')}$${\displaystyle \izquierda(x,y\derecha)}$${\displaystyle \left(x',y'\right)}$${\displaystyle U\left(x,y\right)>U\left(x',y'\right)}$${\displaystyle \izquierda(x,y\derecha)}$${\displaystyle \left(x',y'\right)}$

Consideremos un paquete particular y tomemos la derivada total de aproximadamente este punto:${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$${\displaystyle U\izquierda(x,y\derecha)}$

${\displaystyle dU(x_{0},y_{0})=U_{1}(x_{0},y_{0})dx+U_{2}(x_{0},y_{0})dy}$

o, sin pérdida de generalidad,

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=U_{1}(x_{0},y_{0}).1+U_{2}(x_{0},y_{0}){\frac {dy}{dx}}}$ (Ecuación 1)

donde es la derivada parcial de con respecto a su primer argumento, evaluada en . (Lo mismo para )${\displaystyle U_{1}\left(x,y\right)}$${\displaystyle U\izquierda(x,y\derecha)}$${\displaystyle \izquierda(x,y\derecha)}$${\displaystyle U_{2}\left(x,y\right).}$

La curva de indiferencia a través de debe proporcionar en cada paquete de la curva el mismo nivel de utilidad que el paquete . Es decir, cuando las preferencias están representadas por una función de utilidad, las curvas de indiferencia son las curvas de nivel de la función de utilidad. Por lo tanto, si se va a cambiar la cantidad de en , sin salirse de la curva de indiferencia, también se debe cambiar la cantidad de en una cantidad tal que, al final, no haya ningún cambio en U :${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$${\estilo de visualización x\,}$${\estilo de visualización dx\,}$${\estilo de visualización y\,}$${\estilo de visualización dy\,}$

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=0}$, o bien, sustituyendo 0 en la ecuación (1) anterior para resolver dy/dx :

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=0\Leftrightarrow {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {U_{1}(x_{0},y_{0})}{U_{2}(x_{0},y_{0})}}}$.

Así, el cociente de utilidades marginales da el valor absoluto de la pendiente de la curva de indiferencia en el punto . Este cociente se denomina relación marginal de sustitución entre y .${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$${\estilo de visualización x\,}$${\estilo de visualización y\,}$

Si la función de utilidad tiene la forma entonces la utilidad marginal de es y la utilidad marginal de es . La pendiente de la curva de indiferencia es, por lo tanto,${\displaystyle U\left(x,y\right)=\alpha x+\beta y}$${\estilo de visualización x\,}$${\displaystyle U_{1}\left(x,y\right)=\alpha }$${\estilo de visualización y\,}$${\displaystyle U_{2}\left(x,y\right)=\beta }$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {\beta }{\alpha }}.}$

Observe que la pendiente no depende de o : las curvas de indiferencia son líneas rectas.${\estilo de visualización x\,}$${\estilo de visualización y\,}$

Una clase de funciones de utilidad conocidas como funciones de utilidad Cobb-Douglas se utilizan muy comúnmente en economía por dos razones:

1. Representan preferencias "bien comportadas", como "más es mejor" y la preferencia por la variedad.

2. Son muy flexibles y se pueden ajustar para que se ajusten a los datos del mundo real con mucha facilidad. Si la función de utilidad tiene la forma la utilidad marginal de es y la utilidad marginal de es .Donde . La pendiente de la curva de indiferencia, y por lo tanto el negativo de la tasa marginal de sustitución , es entonces${\displaystyle U\left(x,y\right)=x^{\alpha }y^{1-\alpha }}$${\estilo de visualización x\,}$${\displaystyle U_{1}(x,y)=\alpha (x/y)^{\alpha -1}}$${\estilo de visualización y\,}$${\displaystyle U_{2}(x,y)=(1-\alpha )(x/y)^{\alpha }}$${\displaystyle \alpha <1}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left({\frac {x}{y}}\right).}$

Una forma general de CES ( elasticidad constante de sustitución ) es

${\displaystyle U(x,y)=\left(\alpha x^{\rho }+(1-\alpha )y^{\rho }\right)^{1/\rho }}$

donde y . (La función Cobb-Douglas es un caso especial de la utilidad CES, con .) Las utilidades marginales están dadas por${\displaystyle \alpha \en (0,1)}$${\displaystyle \rho \leq 1}$${\displaystyle \rho \rightarrow 0\,}$

${\displaystyle U_{1}(x,y)=\alpha \left(\alpha x^{\rho }+(1-\alpha )y^{\rho }\right)^{\left(1/\rho \right)-1}x^{\rho -1}}$

y

${\displaystyle U_{2}(x,y)=(1-\alpha )\left(\alpha x^{\rho }+(1-\alpha )y^{\rho }\right)^{\left(1/\rho \right)-1}y^{\rho -1}.}$

Por lo tanto, a lo largo de una curva de indiferencia,

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left({\frac {x}{y}}\right)^{1-\rho }.}$

Estos ejemplos podrían ser útiles para modelar la demanda individual o agregada.

Tal como se utiliza en biología , la curva de indiferencia es un modelo que muestra cómo los animales "deciden" si realizar o no una determinada conducta, basándose en cambios en dos variables que pueden aumentar en intensidad, una a lo largo del eje x y la otra a lo largo del eje y. Por ejemplo, el eje x puede medir la cantidad de alimento disponible, mientras que el eje y mide el riesgo que implica obtenerlo. La curva de indiferencia se dibuja para predecir la conducta del animal en distintos niveles de riesgo y disponibilidad de alimento.

Las curvas de indiferencia heredan las críticas dirigidas a la utilidad en general.

Herbert Hovenkamp (1991) ^[13] ha sostenido que la presencia de un efecto de dotación tiene implicancias significativas para el derecho y la economía , particularmente en relación con la economía del bienestar . Sostiene que la presencia de un efecto de dotación indica que una persona no tiene curva de indiferencia (véase sin embargo Hanemann, 1991 ^[14] ), lo que hace inútiles las herramientas neoclásicas del análisis del bienestar, y concluye que los tribunales deberían utilizar en cambio la WTA como medida de valor. Fischel (1995) ^{[15] , sin embargo, plantea el contrapunto de que utilizar la WTA como medida de valor disuadiría el desarrollo de la infraestructura y} el crecimiento económico de una nación .

El economista austríaco Murray Rothbard criticó la curva de indiferencia porque "por definición nunca se exhibe en acción, en intercambios reales, y por lo tanto es incognoscible y objetivamente carente de sentido". ^[16]

• Beattie, Bruce R.; LaFrance, Jeffrey T. (2006). "La ley de la demanda frente a la utilidad marginal decreciente" (PDF) . Applied Economic Perspectives and Policy . 28 (2): 263–271. doi :10.1111/j.1467-9353.2006.00286.x. S2CID  154152189.
• Komlos, J (2015). "Curvas de indiferencia conductual" (PDF) . Revista Australasiana de Educación Económica . 2 : 1–11.

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Curvas de indiferencia .

• Anatomía de las funciones de utilidad de tipo Cobb-Douglas en 3D
• Anatomía de las funciones de utilidad de tipo CES en 3D