Casco afín

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En matemáticas , la envoltura afín o espacio afín de un conjunto S en el espacio euclidiano R ⁿ es el conjunto afín más pequeño que contiene a S , ^[1] o, equivalentemente, la intersección de todos los conjuntos afines que contienen a S . Aquí, un conjunto afín puede definirse como la traslación de un subespacio vectorial .

La envoltura afín aff( S ) de S es el conjunto de todas las combinaciones afines de elementos de S , es decir,

${\displaystyle \operatorname {aff} (S)=\left\{\suma _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\,{\Bigg |}\,k>0,\,x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\suma _{i=1}^{k}\alpha _{i}=1\right\}.}$

• La envoltura afín del conjunto vacío es el conjunto vacío.
• La envoltura afín de un singleton (un conjunto formado por un único elemento) es el singleton mismo.
• La envoltura afín de un conjunto de dos puntos diferentes es la línea que los pasa.
• La envoltura afín de un conjunto de tres puntos que no están en una línea es el plano que los pasa.
• La envoltura afín de un conjunto de cuatro puntos que no están en un plano en R ³ es todo el espacio R ³ .

Para cualquier subconjunto${\displaystyle S,T\subseteq X}$

• ${\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {aff} S)=\operatorname {aff} S}$
• ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$es un conjunto cerrado si es de dimensión finita.${\estilo de visualización X}$
• ${\displaystyle \nombreoperador {aff} (S+T)=\nombreoperador {aff} S+\nombreoperador {aff} T}$
• Si entonces .${\displaystyle 0\en S}$${\displaystyle \operatorname {aff} S=\operatorname {span} S}$
• Si entonces es un subespacio lineal de .${\displaystyle s_{0}\en S}$${\displaystyle \operatorname {aff} (S)-s_{0}=\operatorname {span} (S-s_{0})}$${\estilo de visualización X}$
• ${\displaystyle \operatorname {aff} (SS)=\operatorname {span} (SS)}$.
  • Así, en particular, siempre es un subespacio vectorial de .${\displaystyle \operatorname {aff} (SS)}$${\estilo de visualización X}$
• Si es convexo entonces${\estilo de visualización S}$${\displaystyle \operatorname {aff} (SS)=\displaystyle \bigcup _{\lambda >0}\lambda (SS)}$
• Para cada , donde es el cono más pequeño que contiene (aquí, un conjunto es un cono si para todos y todos los no negativos ).${\displaystyle s_{0}\en S}$${\displaystyle \operatorname {aff} S=s_{0}+\operatorname {cone} (S-S)}$${\displaystyle \operatorname {cone} (S-S)}$${\displaystyle S-S}$${\displaystyle C\subseteq X}$${\displaystyle rc\in C}$${\displaystyle c\in C}$${\displaystyle r\geq 0}$
  • Por lo tanto siempre es un subespacio lineal de paralelo a .${\displaystyle \operatorname {cone} (S-S)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {aff} S}$

• Si en lugar de una combinación afín se utiliza una combinación convexa , es decir, se exige en la fórmula anterior que todas sean no negativas, se obtiene la envoltura convexa de S , que no puede ser mayor que la envoltura afín de S , ya que hay más restricciones involucradas.${\displaystyle \alpha _{i}}$
• La noción de combinación cónica da lugar a la noción de casco cónico.
• Sin embargo, si no se pone ninguna restricción a los números , en lugar de una combinación afín se tiene una combinación lineal , y el conjunto resultante es el espacio lineal de S , que contiene la envoltura afín de S.${\displaystyle \alpha _{i}}$

• RJ Webster, Convexidad , Oxford University Press, 1994. ISBN  0-19-853147-8 .
• Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera edición), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5