Utilidad exponencial

En economía y finanzas , la utilidad exponencial es una forma específica de la función de utilidad , que se utiliza en algunos contextos debido a su conveniencia cuando existe riesgo (a veces denominado incertidumbre), en cuyo caso se maximiza la utilidad esperada . Formalmente, la utilidad exponencial se expresa de la siguiente manera:

${\displaystyle u(c)={\begin{cases}(1-e^{-ac})/a&a\neq 0\\c&a=0\\\end{cases}}}$

${\estilo de visualización c}$es una variable que el decisor económico prefiere más, como el consumo, y es una constante que representa el grado de preferencia por el riesgo ( aversión al riesgo , neutralidad al riesgo o búsqueda de riesgo ) . En situaciones en las que solo se permite la aversión al riesgo , la fórmula suele simplificarse a .${\estilo de visualización a}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle a=0}$${\estilo de visualización a<0}$${\displaystyle u(c)=1-e^{-ac}}$

Obsérvese que el término aditivo 1 en la función anterior es matemáticamente irrelevante y (a veces) se incluye solo por la característica estética de que mantiene el rango de la función entre cero y uno en el dominio de valores no negativos para c . La razón de su irrelevancia es que maximizar el valor esperado de la utilidad da el mismo resultado para la variable de elección que maximizar el valor esperado de ; dado que los valores esperados de la utilidad (a diferencia de la función de utilidad en sí) se interpretan ordinalmente en lugar de cardinalmente , el rango y el signo de los valores de utilidad esperados no tienen importancia.${\displaystyle u(c)=(1-e^{-ac})/a}$${\displaystyle u(c)=-e^{-ac}/a}$

La función de utilidad exponencial es un caso especial de las funciones de utilidad de aversión al riesgo absoluto hiperbólico .

La utilidad exponencial implica una aversión absoluta al riesgo constante (CARA), con un coeficiente de aversión absoluta al riesgo igual a una constante:

${\displaystyle {\frac {-u''(c)}{u'(c)}}=a.}$

En el modelo estándar de un activo riesgoso y un activo libre de riesgo, ^{[1] [2]} por ejemplo, esta característica implica que la tenencia óptima del activo riesgoso es independiente del nivel de riqueza inicial; por lo tanto, en el margen, cualquier riqueza adicional se asignaría totalmente a tenencias adicionales del activo libre de riesgo. Esta característica explica por qué la función de utilidad exponencial se considera poco realista.

Aunque la utilidad isoelástica , que exhibe una aversión relativa al riesgo constante (CRRA) , se considera más plausible (al igual que otras funciones de utilidad que exhiben una aversión absoluta al riesgo decreciente), la utilidad exponencial es particularmente conveniente para muchos cálculos.

Por ejemplo, supongamos que el consumo c es una función de la oferta de trabajo x y un término aleatorio : c = c ( x ) + . Entonces, bajo la utilidad exponencial, la utilidad esperada viene dada por:${\displaystyle \épsilon}$${\displaystyle \épsilon}$

${\displaystyle {\text{E}}(u(c))={\text{E}}[1-e^{-a(c(x)+\epsilon )}],}$

donde E es el operador de expectativa . Con ruido distribuido normalmente , es decir,

${\displaystyle \varepsilon \sim N(\mu ,\sigma ^{2}),\!}$

E( u ( c )) se puede calcular fácilmente utilizando el hecho de que

${\displaystyle {\text{E}}[e^{-a\varepsilon }]=e^{-a\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}} .}$

De este modo

${\displaystyle {\text{E}}(u(c))={\text{E}}[1-e^{-a(c(x)+\epsilon )}]={\text{E} }[1-e^{-ac(x)}e^{-a\varepsilon }]=1-e^{-ac(x)}{\text{E}}[e^{-a\epsilon } ]=1-e^{-ac(x)}e^{-a\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}.}$

Consideremos el problema de asignación de cartera de maximizar la utilidad exponencial esperada de la riqueza final W sujeta a${\displaystyle {\text{E}}[-e^{-aW}]}$

${\displaystyle W=x'r+(W_{0}-x'k)\cdot r_{f}}$

donde el signo primo indica una transposición vectorial y donde es la riqueza inicial, x es un vector columna de cantidades colocadas en los n activos riesgosos, r es un vector aleatorio de rendimientos estocásticos sobre los n activos, k es un vector de unos (por lo que es la cantidad colocada en el activo libre de riesgo), y r _f es el rendimiento escalar conocido sobre el activo libre de riesgo. Supongamos además que el vector estocástico r se distribuye de manera normal en conjunto . Entonces la utilidad esperada se puede escribir como$Estilo de visualización W_{0}$${\displaystyle W_{0}-x'k}$

${\displaystyle {\text{E}}[-e^{-aW}]=-{\text{E}}[e^{-a[x'r+(W_{0}-x'k)\cdot r_{f}]}]=-e^{-a[(W_{0}-x'k)r_{f}]}{\text{E}}[e^{-a\cdot x'r}]=-e^{-a[(W_{0}-x'k)r_{f}]}e^{-a\cdot x'\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}}$

donde es el vector medio del vector r y es la varianza de la riqueza final. Maximizar esto es equivalente a minimizar${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle e^{ar_{f}(x'k)-a\cdot x'\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}},}$

lo que a su vez equivale a maximizar

${\displaystyle x'(\mu -r_{f}\cdot k)-{\frac {a}{2}}\sigma ^{2}.}$

Denotando la matriz de covarianza de r como V , la varianza de la riqueza final puede escribirse como . Por lo tanto, deseamos maximizar lo siguiente con respecto al vector de elección x de cantidades que se colocarán en los activos riesgosos:${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle x'Vx}$

${\displaystyle x'(\mu -r_{f}\cdot k)-{\frac {a}{2}}\cdot x'Vx.}$

Este es un problema fácil en cálculo matricial y su solución es

${\displaystyle x^{*}={\frac {1}{a}}V^{-1}(\mu -r_{f}\cdot k).}$

De esto se desprende que (1) las tenencias x * de activos riesgosos no se ven afectadas por la riqueza inicial W0 , una propiedad poco realista, y (2) la tenencia de cada activo riesgoso es menor cuanto mayor es el parámetro de aversión al riesgo _a ( como se esperaría intuitivamente). Este ejemplo de cartera muestra las dos características clave de la utilidad exponencial: manejabilidad bajo normalidad conjunta y falta de realismo debido a su característica de aversión absoluta al riesgo constante.

• Medida de riesgo entrópico
• Función de utilidad isoelástica (de potencia)