Utilidad cardinal
A diferencia de la utilidad ordinal, en economía

En economía , una utilidad cardinal expresa no sólo cuál de dos resultados es el preferido, sino también la intensidad de las preferencias , es decir, cuánto mejor o peor es un resultado en comparación con otro. [1]

En la teoría de la elección del consumidor , los economistas intentaron originalmente reemplazar la utilidad cardinal con el concepto aparentemente más débil de utilidad ordinal . La utilidad cardinal parece imponer el supuesto de que existen niveles de satisfacción absoluta , por lo que las magnitudes de los incrementos de la satisfacción se pueden comparar en diferentes situaciones. Sin embargo, los economistas en la década de 1940 demostraron que en condiciones moderadas, las utilidades ordinales implican utilidades cardinales. Este resultado ahora se conoce como el teorema de utilidad de von Neumann-Morgenstern ; existen muchos teoremas de representación de utilidad similares en otros contextos.

Historia

En 1738, Daniel Bernoulli fue el primero en teorizar sobre el valor marginal del dinero. Supuso que el valor de una cantidad adicional es inversamente proporcional a las posesiones pecuniarias que una persona ya posee. Como Bernoulli supuso tácitamente que se puede descubrir una medida interpersonal para la reacción de utilidad de diferentes personas, estaba utilizando inadvertidamente una concepción temprana de la cardinalidad. [2]

La función de utilidad logarítmica imaginaria de Bernoulli y la función U  =  W 1/2 de Gabriel Cramer fueron concebidas en su momento no como una teoría de la demanda sino para resolver el juego de San Petersburgo . Bernoulli supuso que "un hombre pobre generalmente obtiene más utilidad que un hombre rico a partir de una ganancia igual" [3], un enfoque que es más profundo que la simple expectativa matemática del dinero, ya que implica una ley de expectativa moral .

Los primeros teóricos de la utilidad consideraban que esta tenía atributos físicamente cuantificables. Pensaban que la utilidad se comportaba como las magnitudes de la distancia o el tiempo, en las que el simple uso de una regla o un cronómetro daba como resultado una medida distinguible. "Utilidades" era el nombre que se daba a las unidades de una escala de utilidad.

En la era victoriana, muchos aspectos de la vida sucumbían a la cuantificación. [4] La teoría de la utilidad pronto comenzó a aplicarse a las discusiones de filosofía moral. La idea esencial del utilitarismo es juzgar las decisiones de las personas observando su cambio en las utilidades y medir si están en mejor situación. El principal precursor de los principios utilitaristas desde finales del siglo XVIII fue Jeremy Bentham , quien creía que la utilidad podía medirse mediante un examen introspectivo complejo y que debería guiar el diseño de políticas y leyes sociales. Para Bentham, una escala de placer tiene como unidad de intensidad "el grado de intensidad que posee ese placer que es el más débil de todos los que se pueden distinguir como placer"; [5] también afirmó que a medida que estos placeres aumentan en intensidad, números cada vez más altos podrían representarlos. [5] En los siglos XVIII y XIX, la mensurabilidad de la utilidad recibió mucha atención de las escuelas europeas de economía política, sobre todo a través del trabajo de los marginalistas (por ejemplo, William Stanley Jevons , [6] Léon Walras y Alfred Marshall ). Sin embargo, ninguno de ellos ofreció argumentos sólidos para apoyar el supuesto de mensurabilidad. En el caso de Jevon, agregó a las ediciones posteriores de su trabajo una nota sobre la dificultad de estimar la utilidad con precisión. [5] Walras también luchó durante muchos años antes de poder siquiera intentar formalizar el supuesto de mensurabilidad. [7] Marshall era ambiguo sobre la mensurabilidad del hedonismo porque se adhirió a sus propiedades psicológico-hedonistas, pero también argumentó que era "irreal" hacerlo. [8]

Los partidarios de la teoría de la utilidad cardinal en el siglo XIX sugirieron que los precios de mercado reflejan la utilidad, aunque no dijeron mucho sobre su compatibilidad (es decir, los precios son objetivos mientras que la utilidad es subjetiva). Medir con precisión el placer subjetivo (o el dolor ) parecía complicado, como seguramente sabían los pensadores de la época. Rebautizaron la utilidad de formas imaginativas, como riqueza subjetiva , felicidad general , valor moral , satisfacción psíquica u ophélimité . Durante la segunda mitad del siglo XIX se realizaron muchos estudios relacionados con esta magnitud ficticia —la utilidad—, pero la conclusión siempre fue la misma: resultó imposible decir definitivamente si un bien vale 50, 75 o 125 útiles para una persona o para dos personas diferentes. Además, la mera dependencia de la utilidad de las nociones de hedonismo llevó a los círculos académicos a ser escépticos respecto de esta teoría. [9]

Francis Edgeworth también era consciente de la necesidad de fundamentar la teoría de la utilidad en el mundo real. Estudió las estimaciones cuantitativas que una persona puede hacer de su propio placer o del placer de los demás, tomando prestados métodos desarrollados en psicología para estudiar la medición hedónica: la psicofísica . Este campo de la psicología se basó en el trabajo de Ernst H. Weber , pero en la época de la Primera Guerra Mundial, los psicólogos se desanimaron de él. [10] [11]

A fines del siglo XIX, Carl Menger y sus seguidores de la escuela austríaca de economía emprendieron la primera desviación exitosa de la utilidad mensurable, en la ingeniosa forma de una teoría de usos jerarquizados. A pesar de abandonar la idea de la utilidad cuantificable (es decir, la satisfacción psicológica reflejada en el conjunto de números reales), Menger logró establecer un conjunto de hipótesis sobre la toma de decisiones, que se basaban únicamente en unos pocos axiomas de preferencias jerarquizadas sobre los posibles usos de bienes y servicios. Sus ejemplos numéricos son "ilustrativos de relaciones ordinales, no cardinales". [12]

Sin embargo, existen otras interpretaciones de la obra de Carl Menger. Ivan Moscati y J. Huston McCulloch sostienen que Menger era un cardinalista clásico, ya que sus ejemplos numéricos no son meramente ilustrativos, sino que representan proporciones aritméticas explícitas de valor entre bienes económicos. [13] [14] Las proporciones aritméticas, las sumas y las multiplicaciones son inherentemente cardinales y no existen en un paradigma ordinal. Menger también afirma explícitamente lo siguiente: "Sólo la satisfacción de nuestras necesidades tiene un significado directo e inmediato para nosotros. En cada caso concreto, este significado se mide por la importancia de las diversas satisfacciones para nuestras vidas y nuestro bienestar. A continuación, atribuimos la magnitud cuantitativa exacta de esta importancia a los bienes específicos de los que somos conscientes de depender directamente para las satisfacciones en cuestión" [15].

A principios del siglo XIX , los economistas neoclásicos comenzaron a adoptar formas alternativas de abordar la cuestión de la mensurabilidad. En 1900, Pareto dudaba sobre la medición precisa del placer o el dolor porque pensaba que una magnitud subjetiva autodeclarada carecía de validez científica. Quería encontrar una forma alternativa de tratar la utilidad que no dependiera de percepciones erráticas de los sentidos. [16] La principal contribución de Pareto a la utilidad ordinal fue suponer que las curvas de indiferencia más altas tienen una utilidad mayor, pero no es necesario especificar cuánto mayor es para obtener el resultado de tasas marginales de sustitución crecientes.

Las obras y manuales de Vilfredo Pareto, Francis Edgeworth, Irving Fischer y Eugene Slutsky se apartaron de la utilidad cardinal y sirvieron como puntos de apoyo para que otros continuaran la tendencia hacia la ordinalidad. Según Viner, [17] estos pensadores económicos idearon una teoría que explicaba las pendientes negativas de las curvas de demanda. Su método evitaba la mensurabilidad de la utilidad al construir un mapa abstracto de curvas de indiferencia .

Durante las tres primeras décadas del siglo XX, los economistas de Italia y Rusia se familiarizaron con la idea de Pareto de que la utilidad no necesita ser cardinal. Según Schultz, [18] en 1931 la idea de la utilidad ordinal aún no había sido adoptada por los economistas estadounidenses. El gran avance se produjo cuando John Hicks y Roy Allen elaboraron una teoría de la utilidad ordinal en 1934. [19] De hecho, las páginas 54 y 55 de este artículo contienen el primer uso del término "utilidad cardinal". [20] Sin embargo, el primer tratamiento de una clase de funciones de utilidad preservadas por transformaciones afines lo realizó Oskar Lange en 1934. [21]

En 1944, Frank Knight defendió ampliamente la utilidad cardinal. En la década de 1960, Parducci estudió los juicios humanos sobre magnitudes y sugirió una teoría de rango-frecuencia. [22] Desde finales del siglo XX, los economistas han mostrado un renovado interés por las cuestiones de medición de la felicidad . [23] [24] Este campo ha estado desarrollando métodos, encuestas e índices para medir la felicidad.

Se pueden derivar varias propiedades de las funciones de utilidad cardinales utilizando herramientas de la teoría de la medida y la teoría de conjuntos .

Medibilidad

Una función de utilidad se considera medible si la fuerza de la preferencia o la intensidad del gusto por un bien o servicio se determina con precisión mediante el uso de algún criterio objetivo. Por ejemplo, supongamos que comer una manzana proporciona a una persona exactamente la mitad del placer que el de comer una naranja. Esta sería una utilidad medible si y solo si la prueba empleada para su medición directa se basa en un criterio objetivo que podría permitir a cualquier observador externo repetir los resultados con precisión. [25] Una forma hipotética de lograr esto sería mediante el uso de un hedonómetro , que fue el instrumento sugerido por Edgeworth para ser capaz de registrar el nivel de placer experimentado por las personas, divergiendo de acuerdo con una ley de errores. [10]

Antes de la década de 1930, los economistas etiquetaban erróneamente la mensurabilidad de las funciones de utilidad como cardinalidad. Los economistas que siguieron la formulación de Hicks-Allen utilizaron un significado diferente de cardinalidad, según el cual dos funciones de utilidad cardinales se consideran iguales si conservan los ordenamientos de preferencias de forma única hasta que se produzcan transformaciones afines positivas . [26] [27] A fines de la década de 1940, algunos economistas incluso se apresuraron a argumentar que la axiomatización de von Neumann-Morgenstern de la utilidad esperada había resucitado la mensurabilidad. [16]

La confusión entre cardinalidad y mensurabilidad no se resolvería hasta los trabajos de Armen Alchian , [28] William Baumol, [29] y John Chipman. [30] El título del artículo de Baumol, "La utilidad cardinal que es ordinal", expresaba bien el desorden semántico de la literatura de la época.

Es útil considerar el mismo problema tal como aparece en la construcción de escalas de medición en las ciencias naturales. [31] En el caso de la temperatura hay dos grados de libertad para su medición: la elección de la unidad y el cero. Diferentes escalas de temperatura representan su intensidad de diferentes maneras. En la escala Celsius, el cero se elige para que sea el punto donde el agua se congela, y de la misma manera, en la teoría de la utilidad cardinal uno estaría tentado a pensar que la elección del cero correspondería a un bien o servicio que produce exactamente 0 utilidades. Sin embargo, esto no es necesariamente cierto. El índice matemático sigue siendo cardinal, incluso si el cero se mueve arbitrariamente a otro punto, o si se cambia la elección de la escala, o si se cambian tanto la escala como el cero. Toda entidad medible se asigna a una función cardinal, pero no toda función cardinal es el resultado de la asignación de una entidad medible. El objetivo de este ejemplo fue demostrar que (como con la temperatura) todavía es posible predecir algo sobre la combinación de dos valores de alguna función de utilidad, incluso si las utilidades se transforman en números completamente diferentes, siempre que siga siendo una transformación lineal.

Von Neumann y Morgenstern afirmaron que la cuestión de la mensurabilidad de las magnitudes físicas era dinámica. Por ejemplo, la temperatura era originalmente un número sólo hasta cualquier transformación monótona, pero el desarrollo de la termometría de los gases ideales condujo a transformaciones en las que faltaban el cero absoluto y la unidad absoluta. Los desarrollos posteriores de la termodinámica incluso fijaron el cero absoluto de modo que el sistema de transformación en termodinámica consiste únicamente en la multiplicación por constantes. Según Von Neumann y Morgenstern (1944, p. 23), "Para la utilidad, la situación parece ser de naturaleza similar [a la temperatura]".

La siguiente cita de Alchian sirvió para aclarar de una vez por todas [ cita requerida ] la verdadera naturaleza de las funciones de utilidad:

¿Podemos asignar un conjunto de números (medidas) a las distintas entidades y predecir que se elegirá la entidad con el mayor número (medida) asignado? Si es así, podríamos bautizar esta medida como "utilidad" y luego afirmar que las elecciones se hacen para maximizar la utilidad. Es un paso fácil llegar a la afirmación de que "usted está maximizando su utilidad", que no dice más que su elección es predecible de acuerdo con el tamaño de algunos números asignados. Por conveniencia analítica, es habitual postular que un individuo busca maximizar algo sujeto a ciertas restricciones. La cosa -o la medida numérica de la "cosa"- que busca maximizar se llama "utilidad". El que la utilidad sea o no de algún tipo de resplandor o calidez, o felicidad, es irrelevante aquí; todo lo que cuenta es que podemos asignar números a entidades o condiciones que una persona puede esforzarse por realizar. Entonces decimos que el individuo busca maximizar alguna función de esos números. Desafortunadamente, el término "utilidad" ha adquirido a estas alturas tantas connotaciones que es difícil darse cuenta de que, para los propósitos actuales, la utilidad no tiene más significado que éste.

—  Armen Alchian , El significado de la medición de la utilidad [28]

Orden de preferencia

En 1955, Patrick Suppes y Muriel Winet resolvieron el problema de la representabilidad de las preferencias mediante una función de utilidad cardinal y derivaron el conjunto de axiomas y características primitivas necesarias para que este índice de utilidad funcione. [32]

Supongamos que se le pide a un agente que clasifique sus preferencias de A en relación con B y sus preferencias de B en relación con C. Si descubre que puede afirmar, por ejemplo, que su grado de preferencia de A a B excede su grado de preferencia de B a C , podríamos resumir esta información mediante cualquier triplete de números que satisfaga las dos desigualdades : U A > U B > U C y U A − U B > U B − U C.

Si A y B fueran sumas de dinero, el agente podría variar la suma de dinero representada por B hasta que pudiera decirnos que encontró que su grado de preferencia de A sobre la cantidad revisada B ′ es igual a su grado de preferencia de B ′ sobre C . Si encuentra tal B ′ , entonces los resultados de esta última operación se expresarían mediante cualquier triplete de números que satisficieran las relaciones U A > U B ′ > U C y U A − U B ′ = U B ′ − U C . Dos tripletes cualesquiera que obedezcan estas relaciones deben estar relacionados por una transformación lineal; representan índices de utilidad que difieren solo en escala y origen. En este caso, "cardinalidad" no significa nada más que poder dar respuestas consistentes a estas preguntas particulares. Este experimento no requiere mensurabilidad de la utilidad. Itzhak Gilboa da una explicación sólida de por qué la mensurabilidad nunca puede lograrse únicamente por introspección :

Quizás alguna vez te haya pasado que llevabas una pila de papeles o de ropa y no te diste cuenta de que se te cayeron algunos. Probablemente la disminución del peso total que llevabas no fue lo suficientemente grande como para que te dieras cuenta. Dos objetos pueden estar demasiado cerca en términos de peso para que notemos la diferencia entre ellos. Este problema es común a la percepción de todos nuestros sentidos. Si pregunto si dos varillas tienen la misma longitud o no, habrá diferencias que serán demasiado pequeñas para que las notes. Lo mismo sucedería con tu percepción del sonido (volumen, tono), la luz, la temperatura, etcétera...

—  Itzhak Gilboa, Teoría de la decisión bajo incertidumbre [33]

Según esta perspectiva, las situaciones en las que una persona no puede distinguir entre A y B conducirán a la indiferencia no por una coherencia de preferencias, sino por una percepción errónea de los sentidos. Además, los sentidos humanos se adaptan a un nivel dado de estimulación y luego registran los cambios a partir de ese nivel de referencia. [34]

Construcción

Supongamos que un determinado agente tiene un orden de preferencia sobre resultados aleatorios (loterías). Si se puede preguntar al agente sobre sus preferencias, es posible construir una función de utilidad cardinal que represente estas preferencias. Este es el núcleo del teorema de utilidad de von Neumann-Morgenstern .

Aplicaciones

Economía del bienestar

Entre los economistas del bienestar de la escuela utilitarista ha existido una tendencia general a considerar la satisfacción (en algunos casos, el placer) como la unidad del bienestar. Si la función de la economía del bienestar es aportar datos que sirvan al filósofo social o al estadista para formular juicios sobre el bienestar, esta tendencia conduce tal vez a una ética hedonista. [35]

En este marco, las acciones (incluida la producción de bienes y la prestación de servicios) se juzgan por su contribución a la riqueza subjetiva de las personas. En otras palabras, proporciona una manera de juzgar el "mayor bien para el mayor número de personas". Un acto que reduce la utilidad de una persona en 75 utilidades mientras que aumenta la de otras dos en 50 utilidades cada una ha aumentado la utilidad general en 25 utilidades y, por lo tanto, es una contribución positiva; un acto que le cuesta a la primera persona 125 utilidades mientras que da los mismos 50 a cada una de las otras dos personas ha resultado en una pérdida neta de 25 utilidades.

Si una clase de funciones de utilidad es cardinal, se permiten las comparaciones intrapersonales de las diferencias de utilidad. Si, además, algunas comparaciones de utilidad son significativas interpersonalmente, las transformaciones lineales utilizadas para producir la clase de funciones de utilidad deben restringirse entre personas. Un ejemplo es la comparabilidad de unidades cardinales. En ese entorno de información, las transformaciones admisibles son funciones afines crecientes y, además, el factor de escala debe ser el mismo para todos. Este supuesto de información permite comparaciones interpersonales de las diferencias de utilidad, pero los niveles de utilidad no se pueden comparar interpersonalmente porque la intersección de las transformaciones afines puede diferir entre personas. [36]

Marginalismo

  • Según la teoría de la utilidad cardinal, el signo de la utilidad marginal de un bien es el mismo para todas las representaciones numéricas de una estructura de preferencias particular.
  • La magnitud de la utilidad marginal no es la misma para todos los índices de utilidad cardinal que representan la misma estructura de preferencia específica.
  • El signo de la segunda derivada de una función de utilidad diferenciable que es cardinal es el mismo para todas las representaciones numéricas de una estructura de preferencias particular. Dado que este signo suele ser negativo, hay lugar para una ley de utilidad marginal decreciente en la teoría de la utilidad cardinal.
  • La magnitud de la segunda derivada de una función de utilidad diferenciable no es la misma para todos los índices de utilidad cardinales que representan la misma estructura de preferencia específica.

Teoría de la utilidad esperada

Este tipo de índices implica elecciones bajo riesgo. En este caso, A , B y C son loterías asociadas con resultados. A diferencia de la teoría de la utilidad cardinal bajo certeza, en la que la posibilidad de pasar de las preferencias a la utilidad cuantificada era casi trivial, aquí es fundamental poder mapear las preferencias en el conjunto de números reales, de modo que se pueda ejecutar la operación de la expectativa matemática. Una vez realizado el mapeo, la introducción de supuestos adicionales daría como resultado un comportamiento consistente de las personas con respecto a las apuestas justas. Pero las apuestas justas son, por definición, el resultado de comparar una apuesta con un valor esperado de cero con alguna otra apuesta. Aunque es imposible modelar las actitudes hacia el riesgo si uno no cuantifica la utilidad, la teoría no debe interpretarse como una medición de la fuerza de la preferencia bajo certeza. [37]

Construcción de la función de utilidad

Supongamos que ciertos resultados están asociados con tres estados de la naturaleza, de modo que x 3 es preferido sobre x 2, que a su vez es preferido sobre x 1 ; este conjunto de resultados, X , puede suponerse que es un premio monetario calculable en un juego de azar controlado, único hasta un factor de proporcionalidad positivo dependiendo de la unidad monetaria.

Sean L 1 y L 2 dos loterías con probabilidades p 1 , p 2 y p 3 de x 1 , x 2 y x 3 respectivamente

yo 1 = ( 0.6 , 0 , 0,4 ) , {\displaystyle L_{1}=(0.6,0,0.4),}
yo 2 = ( 0 , 1 , 0 )   . {\displaystyle L_{2}=(0,1,0)\ .}

Supongamos que alguien tiene la siguiente estructura de preferencias bajo riesgo:

yo 1 ≻ yo 2 , {\displaystyle L_{1}\succ L_{2},}

lo que significa que se prefiere L 1 a L 2 . Al modificar los valores de p 1 y p 3 en L 1 , eventualmente habrá algunos valores apropiados ( L 1' ) para los cuales se encuentra que es indiferente entre este y L 2 —por ejemplo

yo 1 " = ( 0,5 , 0 , 0,5 ) . {\displaystyle L_{1}'=(0.5,0,0.5).}

La teoría de la utilidad esperada nos dice que

mi tú ( yo 1 " ) = mi tú ( yo 2 ) {\displaystyle UE(L_{1}')=UE(L_{2})}

y entonces

( 0,5 ) × tú ( incógnita 1 ) + ( 0,5 ) × tú ( incógnita 3 ) = 1 × tú ( incógnita 2 ) . {\displaystyle (0,5)\times u(x_{1})+(0,5)\times u(x_{3})=1\times u(x_{2}).}

En este ejemplo de Majumdar [38], al fijar el valor cero del índice de utilidad de modo que la utilidad de x 1 sea 0 y al elegir la escala de modo que la utilidad de x 2 sea igual a 1, se obtiene

( 0,5 ) × tú ( incógnita 3 ) = 1. {\displaystyle (0.5)\times u(x_{3})=1.}
tú ( incógnita 3 ) = 2. {\displaystyle u(x_{3})=2.}

Utilidad intertemporal

Los modelos de utilidad con varios períodos, en los que las personas descuentan los valores futuros de utilidad, necesitan emplear cardinalidades para tener funciones de utilidad que se comporten correctamente. Según Paul Samuelson, la maximización de la suma descontada de utilidades futuras implica que una persona puede clasificar las diferencias de utilidad. [39]

Controversias

Algunos autores han comentado la naturaleza engañosa de los términos "utilidad cardinal" y "utilidad ordinal", tal como se utilizan en la jerga económica:

Estos términos, que parecen haber sido introducidos por Hicks y Allen (1934), tienen poca o ninguna relación con el concepto de números ordinales y cardinales de los matemáticos; son más bien eufemismos para los conceptos de homomorfismo de orden con respecto a los números reales y homomorfismo de grupo con respecto a los números reales.

—  John Chipman, Los fundamentos de la utilidad [30]

Todavía hay economistas que creen que la utilidad, si bien no se puede medir, al menos se puede aproximar de alguna manera para proporcionar alguna forma de medición, de manera similar a cómo los precios, que no tienen una unidad uniforme para proporcionar un nivel de precios real, podrían indexarse ​​para proporcionar una "tasa de inflación" (que en realidad es un nivel de cambio en los precios de productos indexados ponderados). Estas medidas no son perfectas, pero pueden actuar como un indicador de la utilidad. El enfoque de las características de Lancaster [40] para la demanda del consumidor ilustra este punto.

Comparación entre funciones de utilidad ordinales y cardinales

La siguiente tabla compara los dos tipos de funciones de utilidad comunes en economía:

Nivel de mediciónRepresenta preferencias sobreÚnico hastaExistencia probada porSe utiliza principalmente en
Utilidad ordinalEscala ordinalResultados segurosTransformación monótona crecienteDebreu (1954)Teoría del consumidor bajo certidumbre
Utilidad cardinalEscala de intervaloResultados aleatorios (loterías)Transformación lineal monótona crecienteVon Neumann y Morgenstern (1947)Teoría de juegos , elección bajo incertidumbre

Véase también

Referencias

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  • Medidas de intensidad de las preferencias de los consumidores
  • "Hacia una reconstrucción de la economía de la utilidad y del bienestar"
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