Teoría de Picard-Vessiot

En álgebra diferencial , la teoría de Picard-Vessiot es el estudio de la extensión del campo diferencial generada por las soluciones de una ecuación diferencial lineal , utilizando el grupo de Galois diferencial de la extensión del campo. Un objetivo principal es describir cuándo la ecuación diferencial puede resolverse mediante cuadraturas en términos de propiedades del grupo de Galois diferencial. La teoría fue iniciada por Émile Picard y Ernest Vessiot desde aproximadamente 1883 hasta 1904.

Kolchin (1973) y van der Put & Singer (2003) ofrecen descripciones detalladas de la teoría de Picard-Vessiot.

Borel (2001, capítulo VIII) analiza la historia de la teoría de Picard-Vessiot.

La teoría de Picard-Vessiot fue desarrollada por Picard entre 1883 y 1898 y por Vessiot entre 1892 y 1904 (resumida en (Picard 1908, capítulo XVII) y Vessiot (1892, 1910)). El resultado principal de su teoría dice muy aproximadamente que una ecuación diferencial lineal puede resolverse por cuadraturas si y solo si su grupo de Galois diferencial es conexo y resoluble . Desafortunadamente, es difícil decir exactamente qué demostraron ya que el concepto de ser "resoluble por cuadraturas" no está definido con precisión ni se usa de manera consistente en sus artículos. Kolchin  (1946, 1948) dio definiciones precisas de los conceptos necesarios y demostró una versión rigurosa de este teorema.

Kolchin (1952) extendió la teoría de Picard-Vessiot a los campos diferenciales parciales (con varias derivaciones conmutativas).

Kovacic (1986) describió un algoritmo para decidir si las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden pueden resolverse mediante cuadraturas, conocido como algoritmo de Kovacic .

Una extensión F  ⊆  K de campos diferenciales se denomina extensión de Picard-Vessiot si todas las constantes están en F y K se pueden generar uniendo las soluciones de un polinomio diferencial ordinario lineal homogéneo.

Un anillo de Picard-Vessiot R sobre el campo diferencial F es un anillo diferencial sobre F que es simple (sin ideales diferenciales distintos de 0 y R ) y generado como un k -álgebra por los coeficientes de A y 1/det( A ), donde A es una matriz invertible sobre F tal que B = A ′ / A tiene coeficientes en F . (Por lo tanto, A es una matriz fundamental para la ecuación diferencial y ′  =  By .)

Una extensión F  ⊆  K de campos diferenciales se denomina de Liouvillian si todas las constantes están en F y K se puede generar mediante la unión de un número finito de integrales, exponenciales de integrales y funciones algebraicas. Aquí, una integral de un elemento a se define como cualquier solución de y ′  =  a , y una exponencial de una integral de a se define como cualquier solución de y ′  =  ay .

Una extensión de Picard-Vessiot es liouvilliana si y solo si el componente identidad de su grupo diferencial de Galois es resoluble (Kolchin 1948, p. 38, van der Put & Singer 2003, Teorema 1.39). Más precisamente, las extensiones por funciones algebraicas corresponden a grupos diferenciales de Galois finitos, las extensiones por integrales corresponden a subcocientes del grupo diferencial de Galois que son unidimensionales y unipotentes, y las extensiones por exponenciales de integrales corresponden a subcocientes del grupo diferencial de Galois que son unidimensionales y reductivos (tori).

• Beukers, Frits (1992), "8. Teoría diferencial de Galois", en Waldschmidt, Michel; Moussa, Pierre; Luck, Jean-Marc; et al. (eds.), De la teoría de números a la física. Conferencias de una reunión sobre teoría de números y física celebrada en el Centre de Physique, Les Houches (Francia), del 7 al 16 de marzo de 1989 , Berlín: Springer-Verlag , pp. 413–439, ISBN 3-540-53342-7, Zbl  0813.12001
• Borel, Armand (2001), Ensayos sobre la historia de los grupos de Lie y los grupos algebraicos, Historia de las matemáticas, vol. 21, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0288-5, Sr.  1847105
• Kolchin, ER (1946), "La teoría de Picard-Vessiot de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 32 (12): 308–311, Bibcode :1946PNAS...32..308K, doi : 10.1073/pnas.32.12.308 , ISSN  0027-8424, JSTOR  87871, MR  0018168, PMC  1078958 , PMID  16578224
• Kolchin, ER (1948), "Grupos matriciales algebraicos y la teoría de Picard-Vessiot de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 49 (1): 1–42, doi :10.2307/1969111, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969111, MR  0024884
• Kolchin, ER (1952), "Teoría de campos diferenciales parciales de Picard-Vessiot", Actas de la American Mathematical Society , 3 (4): 596–603, doi : 10.2307/2032594 , ISSN  0002-9939, JSTOR  2032594, MR  0049883
• Kolchin, ER (1973), Álgebra diferencial y grupos algebraicos, Matemáticas puras y aplicadas, vol. 54, Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-417650-8, Sr.  0568864
• Kovacic, Jerald J. (1986), "Un algoritmo para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas lineales de segundo orden", Journal of Symbolic Computation , 2 (1): 3–43, doi : 10.1016/S0747-7171(86)80010-4 , ISSN  0747-7171, MR  0839134
• Picard, Émile (1908) [Publicado por primera vez en 1896], Traité d'analyse (en francés), vol. 3 (ed. Deuxieme), Gauthier-Villars - vía Internet Archive
• van der Put, Marius; Singer, Michael F. (2003), Teoría de Galois de ecuaciones diferenciales lineales, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 328, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44228-8, Sr.  1960772
• Vessiot, Ernest (1892), "Sur l'intégration des équations différentielles linéaires", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 3 (en francés), 9 : 197–280, doi : 10.24033/asens.372 , hdl : 2027/hvd.32044102925955
• Vessiot, Ernest (1910), "Méthodes d'intégration élémentaires", en Molk, Jules (ed.), Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées (en francés), vol. 3, Gauthier-Villars y Teubner, págs. 58-170

• Kovacic, JJ (2005), Teoría de Picard-Vessiot, grupos algebraicos y esquemas de grupos (PDF)