Relación

En matemáticas , una razón ( / ˈ r eɪ ʃ ( i ) oʊ / ) muestra cuántas veces un número contiene a otro. Por ejemplo, si hay ocho naranjas y seis limones en un bol de fruta, entonces la razón de naranjas a limones es ocho a seis (es decir, 8:6, que es equivalente a la razón 4:3). De manera similar, la razón de limones a naranjas es 6:8 (o 3:4) y la razón de naranjas a la cantidad total de fruta es 8:14 (o 4:7).

Los números en una proporción pueden ser cantidades de cualquier tipo, como recuentos de personas u objetos, o como medidas de longitudes, pesos, tiempo, etc. En la mayoría de los contextos, ambos números están restringidos a ser positivos .

Una proporción se puede especificar dando ambos números constituyentes, escritos como " a a b " o " a:b ", o dando simplemente el valor de su cociente .a/b⁠ . ^{[1] [2] [3]} A cocientes iguales corresponden razones iguales. Un enunciado que expresa la igualdad de dos razones se llama proporción .

En consecuencia, una razón puede considerarse como un par ordenado de números, una fracción con el primer número en el numerador y el segundo en el denominador, o como el valor denotado por esta fracción. Las razones de números naturales (distintos de cero) son números racionales y, en ocasiones, pueden ser números naturales.

Una definición más específica adoptada en las ciencias físicas (especialmente en metrología ) para la razón es el cociente adimensional entre dos cantidades físicas medidas con la misma unidad . ^[4] Un cociente de dos cantidades que se miden con unidades diferentes puede llamarse tasa . ^[5]

La relación entre los números A y B se puede expresar como: ^[6]

• la relación entre A y B
• A:B
• A es a B (cuando va seguido de "como C es a D  "; ver más abajo)
• Fracción con A como numerador y B como denominador que representa el cociente (es decir, A dividido por B, o ). Puede expresarse como fracción simple o decimal, o como porcentaje, etc. ^[7] ${\displaystyle {\tfrac {A}{B}}}$

Cuando una proporción se escribe en la forma A : B , el carácter de dos puntos es a veces el signo de puntuación de dos puntos . ^[8] En Unicode , esto es U+003A : COLON , aunque Unicode también proporciona un carácter de proporción dedicado, U+2236 ∶ RATIO . ^[9]

Los números A y B a veces se denominan términos de la razón , siendo A el antecedente y B el consecuente . ^[10]

Una afirmación que expresa la igualdad de dos razones A : B y C : D se denomina proporción , ^[11] escrita como A : B = C : D o A : B ∷ C : D . Esta última forma, cuando se habla o se escribe en inglés, a menudo se expresa como

( A es a B ) como ( C es a D ).

A , B , C y D se denominan términos de la proporción. A y D se denominan sus extremos , y B y C se denominan sus medias . La igualdad de tres o más razones, como A : B = C : D = E : F , se denomina proporción continua . ^[12]

Las proporciones a veces se utilizan con tres o más términos, por ejemplo, la proporción de las longitudes de los bordes de un " dos por cuatro " que tiene diez pulgadas de largo es, por lo tanto,

${\displaystyle {\text{grosor : ancho : largo }}=2:4:10;}$

(medidas sin cepillar; los dos primeros números se reducen ligeramente cuando la madera está cepillada hasta quedar lisa)

Una buena mezcla de hormigón (en unidades de volumen) a veces se cotiza como

${\displaystyle {\text{cemento : arena : grava }}=1:2:4.}$^[13]

Para una mezcla (bastante seca) de 4/1 partes en volumen de cemento y agua, se podría decir que la relación cemento-agua es 4:1, que hay 4 veces más cemento que agua, o que hay un cuarto (1/4) de agua que de cemento.

El significado de tal proporción de razones con más de dos términos es que la razón de cualesquiera dos términos en el lado izquierdo es igual a la razón de los dos términos correspondientes en el lado derecho.

Es posible rastrear el origen de la palabra "ratio" hasta el griego antiguo λόγος ( logos ). Los primeros traductores la tradujeron al latín como ratio ("razón"; como en la palabra "racional"). Una interpretación más moderna del significado de Euclides es más parecida a la computación o el cálculo. ^[14] Los escritores medievales usaban la palabra proportio ("proporción") para indicar ratio y percentageitas ("proporcionalidad") para la igualdad de razones. ^[15]

Euclides recopiló los resultados que aparecen en los Elementos de fuentes anteriores. Los pitagóricos desarrollaron una teoría de la razón y la proporción aplicada a los números. ^[16] La concepción de número de los pitagóricos incluía solo lo que hoy se llamaría números racionales, lo que pone en duda la validez de la teoría en geometría donde, como también descubrieron los pitagóricos, existen razones inconmensurables (correspondientes a números irracionales ). El descubrimiento de una teoría de razones que no asume la conmensurabilidad se debe probablemente a Eudoxo de Cnido . La exposición de la teoría de las proporciones que aparece en el Libro VII de Los Elementos refleja la teoría anterior de las razones de los conmensurables. ^[17]

La existencia de múltiples teorías parece innecesariamente compleja, ya que las razones se identifican, en gran medida, con los cocientes y sus posibles valores. Sin embargo, se trata de un desarrollo relativamente reciente, como se puede ver por el hecho de que los libros de texto de geometría modernos todavía utilizan terminología y notación diferentes para razones y cocientes. Las razones para esto son dos: primero, estaba la renuencia mencionada anteriormente a aceptar números irracionales como números verdaderos, y segundo, la falta de un simbolismo ampliamente utilizado para reemplazar la terminología ya establecida de las razones retrasó la aceptación total de las fracciones como alternativa hasta el siglo XVI. ^[18]

El Libro V de los Elementos de Euclides tiene 18 definiciones, todas ellas relacionadas con proporciones. ^[19] Además, Euclides utiliza ideas que eran de uso tan común que no incluyó definiciones para ellas. Las dos primeras definiciones dicen que una parte de una cantidad es otra cantidad que la "mide" y, a la inversa, un múltiplo de una cantidad es otra cantidad que mide. En la terminología moderna, esto significa que un múltiplo de una cantidad es esa cantidad multiplicada por un entero mayor que uno, y una parte de una cantidad (es decir, parte alícuota ) es una parte que, cuando se multiplica por un entero mayor que uno, da la cantidad.

Euclides no define el término "medida" tal como se utiliza aquí, pero se puede inferir que si se toma una cantidad como unidad de medida y se da una segunda cantidad como número entero de estas unidades, entonces la primera cantidad mide a la segunda. Estas definiciones se repiten, casi palabra por palabra, como definiciones 3 y 5 en el libro VII.

La definición 3 describe lo que es una razón de manera general. No es rigurosa en un sentido matemático y algunos la han atribuido a los editores de Euclides en lugar de a Euclides mismo. ^[20] Euclides define una razón como entre dos cantidades del mismo tipo , por lo que mediante esta definición se definen las razones de dos longitudes o de dos áreas, pero no la razón de una longitud y un área. La definición 4 hace esto más riguroso. Establece que existe una razón de dos cantidades, cuando hay un múltiplo de cada una que excede a la otra. En la notación moderna, existe una razón entre las cantidades p y q , si existen números enteros m y n tales que mp > q y nq > p . Esta condición se conoce como la propiedad de Arquímedes .

La definición 5 es la más compleja y difícil. Define lo que significa que dos razones sean iguales. Hoy, esto se puede hacer simplemente afirmando que las razones son iguales cuando los cocientes de los términos son iguales, pero tal definición no habría tenido sentido para Euclides. En la notación moderna, la definición de igualdad de Euclides es que dadas las cantidades p , q , r y s , p : q ∷ r  : s si y solo si, para cualesquiera enteros positivos m y n , np < mq , np = mq o np > mq según nr < ms , nr = ms o nr > ms , respectivamente. ^[21] Esta definición tiene afinidades con los cortes de Dedekind ya que, con n y q ambos positivos, np es igual a mq como ⁠pag/q⁠ representa el número racional ⁠metro/norte⁠ (dividiendo ambos términos por nq ). ^[22]

La definición 6 dice que las cantidades que tienen la misma razón son proporcionales o están en proporción . Euclides utiliza el griego ἀναλόγον (analogon), este tiene la misma raíz que λόγος y está relacionado con la palabra inglesa “analog”.

La definición 7 define lo que significa que una razón sea menor o mayor que otra y se basa en las ideas presentes en la definición 5. En notación moderna dice que dadas cantidades p , q , r y s , p : q > r : s si hay números enteros positivos m y n tales que np > mq y nr ≤ ms .

Al igual que la definición 3, la definición 8 es considerada por algunos como una inserción posterior de los editores de Euclides. Define tres términos p , q y r como proporcionales cuando p : q ∷ q : r . Esto se extiende a cuatro términos p , q , r y s como p : q ∷ q : r ∷ r : s , y así sucesivamente. Las sucesiones que tienen la propiedad de que las razones de los términos consecutivos son iguales se denominan progresiones geométricas . Las definiciones 9 y 10 aplican esto, diciendo que si p , q y r son proporcionales entonces p : r es la razón duplicada de p : q y si p , q , r y s son proporcionales entonces p : s es la razón triplicada de p : q .

En general, una comparación de las cantidades de una relación de dos entidades se puede expresar como una fracción derivada de la relación. Por ejemplo, en una relación de 2:3, la cantidad, el tamaño, el volumen o la cantidad de la primera entidad es la de la segunda.${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$

Si hay 2 naranjas y 3 manzanas, la proporción de naranjas a manzanas es 2:3, y la proporción de naranjas al número total de piezas de fruta es 2:5. Estas proporciones también se pueden expresar en forma de fracción: hay 2/3 de naranjas que de manzanas, y 2/5 de las piezas de fruta son naranjas. Si se va a diluir el concentrado de jugo de naranja con agua en la proporción 1:4, entonces se mezcla una parte de concentrado con cuatro partes de agua, lo que da un total de cinco partes; la cantidad de concentrado de jugo de naranja es 1/4 de la cantidad de agua, mientras que la cantidad de concentrado de jugo de naranja es 1/5 del líquido total. Tanto en las proporciones como en las fracciones, es importante tener claro qué se está comparando con qué, y los principiantes a menudo cometen errores por este motivo.

Las fracciones también se pueden inferir a partir de razones con más de dos entidades; sin embargo, una razón con más de dos entidades no se puede convertir completamente en una sola fracción, porque una fracción solo puede comparar dos cantidades. Se puede utilizar una fracción separada para comparar las cantidades de dos de las entidades cubiertas por la razón: por ejemplo, a partir de una razón de 2:3:7 podemos inferir que la cantidad de la segunda entidad es la de la tercera entidad.${\displaystyle {\frac {3}{7}}}$

Si multiplicamos todas las cantidades que intervienen en una razón por el mismo número, la razón sigue siendo válida. Por ejemplo, una razón de 3:2 es lo mismo que 12:8. Lo habitual es reducir los términos al mínimo común denominador o expresarlos en partes por cien ( por ciento ).

Si una mezcla contiene las sustancias A, B, C y D en la proporción 5:9:4:2, entonces hay 5 partes de A por cada 9 partes de B, 4 partes de C y 2 partes de D. Como 5+9+4+2=20, la mezcla total contiene 5/20 de A (5 partes de 20), 9/20 de B, 4/20 de C y 2/20 de D. Si dividimos todos los números por el total y multiplicamos por 100, hemos convertido a porcentajes : 25% A, 45% B, 20% C y 10% D (equivale a escribir la proporción como 25:45:20:10).

Si las dos o más cantidades de razón abarcan todas las cantidades de una situación particular, se dice que "el todo" contiene la suma de las partes: por ejemplo, una canasta de frutas que contiene dos manzanas y tres naranjas y ninguna otra fruta está formada por dos partes de manzanas y tres partes de naranjas. En este caso, , o el 40% del todo son manzanas y , o el 60% del todo son naranjas. Esta comparación de una cantidad específica con "el todo" se llama proporción.${\displaystyle {\frac {2}{5}}}$${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$

Si la relación consta de solo dos valores, se puede representar como una fracción, en particular como una fracción decimal. Por ejemplo, los televisores más antiguos tienen una relación de aspecto de 4:3 , lo que significa que el ancho es 4/3 de la altura (esto también se puede expresar como 1,33:1 o simplemente 1,33 redondeado a dos decimales). Los televisores de pantalla ancha más recientes tienen una relación de aspecto de 16:9, o 1,78 redondeado a dos decimales. Uno de los formatos de películas de pantalla ancha más populares es 2,35:1 o simplemente 2,35. Representar las relaciones como fracciones decimales simplifica su comparación. Al comparar 1,33, 1,78 y 2,35, es obvio qué formato ofrece una imagen más ancha. Tal comparación solo funciona cuando los valores que se comparan son consistentes, como expresar siempre el ancho en relación con la altura.

Las razones se pueden simplificar (como las fracciones) dividiendo cada cantidad por los factores comunes de todas las cantidades. En cuanto a las fracciones, se considera que la forma más simple es aquella en la que los números que forman la razón son los números enteros más pequeños posibles.

Así, la razón 40:60 es equivalente en significado a la razón 2:3, que se obtiene a partir de la primera dividiendo ambas cantidades por 20. Matemáticamente, escribimos 40:60 = 2:3, o equivalentemente 40:60∷2:3. El equivalente verbal es "40 es a 60 como 2 es a 3".

Una relación que tiene números enteros para ambas cantidades y que no se puede reducir más (usando números enteros) se dice que está en forma más simple o en términos más bajos.

A veces resulta útil escribir una proporción en la forma 1: x o x :1, donde x no es necesariamente un número entero, para permitir comparaciones de diferentes proporciones. Por ejemplo, la proporción 4:5 se puede escribir como 1:1,25 (dividiendo ambos lados por 4). Alternativamente, se puede escribir como 0,8:1 (dividiendo ambos lados por 5).

Cuando el contexto deja claro el significado, una proporción en esta forma a veces se escribe sin el 1 y el símbolo de proporción (:), aunque, matemáticamente, esto la convierte en un factor o multiplicador .

También se pueden establecer razones entre magnitudes inconmensurables (magnitudes cuyo cociente, como valor de una fracción, asciende a un número irracional ). El ejemplo más antiguo descubierto, hallado por los pitagóricos , es el cociente entre la longitud de la diagonal d y la longitud de un lado s de un cuadrado , que es la raíz cuadrada de 2 , formalmente Otro ejemplo es el cociente entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, que se llama π , y no es simplemente un número irracional , sino un número trascendental .${\displaystyle a:d=1:{\sqrt {2}}.}$

También es bien conocida la proporción áurea de dos longitudes (en su mayoría) a y b , que se define por la proporción

${\displaystyle a:b=(a+b):a\quad}$o, equivalentemente${\displaystyle \cuadrado a:b=(1+b/a):1.}$

Tomando las razones como fracciones y como si tuvieran el valor x , se obtiene la ecuación${\estilo de visualización a:b}$

${\displaystyle x=1+{\frac {1}{x}}\quad }$o${\displaystyle \cuadrado x^{2}-x-1=0,}$

que tiene la solución positiva e irracional Por lo tanto, al menos uno de a y b tiene que ser irracional para que estén en la proporción áurea. Un ejemplo de una ocurrencia de la proporción áurea en matemáticas es como el valor límite de la proporción de dos números de Fibonacci consecutivos : aunque todas estas proporciones son proporciones de dos números enteros y, por lo tanto, son racionales, el límite de la secuencia de estas proporciones racionales es la proporción áurea irracional.${\displaystyle x={\tfrac {a}{b}}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

De manera similar, la proporción de plata de a y b se define por la proporción

${\displaystyle a:b=(2a+b):a\quad (=(2+b/a):1),}$correspondiente a${\displaystyle x^{2}-2x-1=0.}$

Esta ecuación tiene una solución positiva e irracional , por lo que nuevamente al menos una de las dos cantidades a y b en la relación de plata debe ser irracional.${\displaystyle x={\frac {a}{b}}=1+{\sqrt {2}},}$

Las probabilidades (como en los juegos de azar) se expresan como una proporción. Por ejemplo, las probabilidades de "7 a 3 en contra" (7:3) significan que hay siete posibilidades de que el evento no ocurra por cada tres posibilidades de que ocurra. La probabilidad de éxito es del 30%. En cada diez intentos, se espera que haya tres victorias y siete derrotas.

Las razones pueden no tener unidades , como en el caso de que relacionen cantidades en unidades de la misma dimensión , incluso si sus unidades de medida son inicialmente diferentes. Por ejemplo, la razón un minuto: 40 segundos se puede reducir cambiando el primer valor a 60 segundos, por lo que la razón se convierte en 60 segundos: 40 segundos . Una vez que las unidades son las mismas, se pueden omitir y la razón se puede reducir a 3:2.

Por otro lado, existen cocientes no adimensionales, también conocidos como tasas (a veces también como razones). ^{[23] [24]} En química, las razones de concentración de masa se expresan generalmente como fracciones peso/volumen. Por ejemplo, una concentración de 3% p/v suele significar 3 g de sustancia en cada 100 mL de solución. Esto no se puede convertir a una razón adimensional, como en fracciones peso/peso o volumen/volumen.

Las ubicaciones de los puntos relativos a un triángulo con vértices A , B y C y lados AB , BC y CA a menudo se expresan en forma de relación extendida como coordenadas triangulares .

En coordenadas baricéntricas , un punto con coordenadas α, β, γ es el punto sobre el cual una lámina de metal sin peso con la forma y el tamaño del triángulo se equilibraría exactamente si se colocaran pesos en los vértices, siendo la relación de los pesos en A y B α :  β , la relación de los pesos en B y C β  : γ y, por lo tanto, la relación de los pesos en A y C α  : γ .

En coordenadas trilineales , un punto con coordenadas x  : y  : z tiene distancias perpendiculares al lado BC (frente al vértice A ) y al lado CA (frente al vértice B ) en la razón x  : y , distancias al lado CA y al lado AB (frente a C ) en la razón y  : z , y por lo tanto distancias a los lados BC y AB en la razón x  : z .

Dado que toda la información se expresa en términos de proporciones (los números individuales indicados por α, β, γ, x, y y z no tienen significado por sí mismos), un análisis triangular utilizando coordenadas baricéntricas o trilineales se aplica independientemente del tamaño del triángulo.

• Relación cruzada
• Relación de dilución
• Relación desplazamiento-longitud
• Cantidad adimensional
• Ratio financiero
• Cambio de pliegue
• Intervalo (música)
• Razón de probabilidades
• Notación de partes por
• Relación precio-rendimiento
• Proporcionalidad (matemáticas)
• Distribución de proporciones
• Estimador de ratios
• Tasa (matemáticas)
• Proporción (Twitter)
• Relación de tasas
• Riesgo relativo
• Regla de tres (matemáticas)
• Escala (mapa)
• Escala (ratio)
• Proporción de sexos
• Razón superparticular
• Pendiente

• "Ratio" The Penny Cyclopædia vol. 19, La Sociedad para la Difusión del Conocimiento Útil (1841) Charles Knight and Co., Londres pp. 307ff
• "Proporción" Nueva Enciclopedia Internacional, vol. 19 2.ª ed. (1916) Dodd Mead & Co. pp270-271
• "Razón y proporción" Fundamentos de matemáticas prácticas, George Wentworth, David Eugene Smith, Herbert Druery Harper (1922) Ginn and Co. pp. 55ff
• Los trece libros de los Elementos de Euclides, vol. 2, trad. Sir Thomas Little Heath (1908). Cambridge Univ. Press. 1908. pp. 112 y siguientes.{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: otros ( enlace )
• DE Smith, Historia de las matemáticas, vol. 2 , Ginn and Company (1925), págs. 477 y siguientes. Reimpreso en 1958 por Dover Publications.

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