La paradoja de Parrondo

La paradoja de Parrondo , una paradoja en la teoría de juegos , ha sido descrita como: Una combinación de estrategias perdedoras se convierte en una estrategia ganadora . ^[1] Lleva el nombre de su creador, Juan Parrondo , quien descubrió la paradoja en 1996. Una descripción más explicativa es:

Existen pares de juegos, cada uno con mayor probabilidad de perder que de ganar, para los cuales es posible construir una estrategia ganadora jugando los juegos alternativamente.

Parrondo ideó la paradoja en relación con su análisis del trinquete browniano , un experimento mental sobre una máquina que supuestamente puede extraer energía de movimientos térmicos aleatorios popularizado por el físico Richard Feynman . Sin embargo, la paradoja desaparece cuando se analiza rigurosamente. ^[2] Las estrategias ganadoras que consisten en varias combinaciones de estrategias perdedoras se exploraron en biología antes de que se publicara la paradoja de Parrondo. ^[3]

Consideremos dos juegos, Juego A y Juego B , con las siguientes reglas:

1. En el juego A , pierdes $1 cada vez que juegas.
2. En el juego B , cuentas cuánto dinero te queda: si es un número par ganas $3, de lo contrario pierdes $5.

Digamos que empiezas con 100 dólares en el bolsillo. Si empiezas a jugar exclusivamente al juego A, obviamente perderás todo tu dinero en 100 rondas. Del mismo modo, si decides jugar exclusivamente al juego B, también perderás todo tu dinero en 100 rondas.

Sin embargo, considere jugar los juegos de forma alternativa, comenzando con el Juego B, seguido por el A, luego por el B, y así sucesivamente (BABABA...). Debería ser fácil ver que ganará constantemente un total de $2 por cada dos juegos.

Por lo tanto, aunque cada juego es una propuesta perdedora si se juega solo, debido a que los resultados del Juego B se ven afectados por el Juego A, la secuencia en la que se juegan los juegos puede afectar la frecuencia con la que el Juego B le permite ganar dinero y, posteriormente, el resultado es diferente del caso en el que cualquiera de los juegos se juega solo.

Consideremos un ejemplo en el que hay dos puntos A y B que tienen la misma altitud, como se muestra en la Figura 1. En el primer caso, tenemos un perfil plano que los conecta. Aquí, si dejamos algunas canicas redondas en el medio que se mueven de un lado a otro de manera aleatoria, rodarán aleatoriamente pero hacia ambos extremos con una probabilidad igual. Ahora consideremos el segundo caso en el que tenemos un perfil en forma de dientes de sierra entre los dos puntos. Aquí también, las canicas rodarán hacia cualquiera de los extremos dependiendo de la pendiente local. Ahora bien, si inclinamos todo el perfil hacia la derecha, como se muestra en la Figura 2, está bastante claro que ambos casos se inclinarán hacia B.

Consideremos ahora el juego en el que alternamos los dos perfiles eligiendo juiciosamente el tiempo entre la alternancia de un perfil al otro.

Cuando dejamos algunas canicas en el primer perfil en el punto E , se distribuyen en el plano mostrando movimientos preferenciales hacia el punto B . Sin embargo, si aplicamos el segundo perfil cuando algunas de las canicas han cruzado el punto C , pero ninguna ha cruzado el punto D , terminaremos teniendo la mayoría de las canicas de nuevo en el punto E (donde comenzamos inicialmente) pero algunas también en el valle hacia el punto A dado el tiempo suficiente para que las canicas rueden hacia el valle. Luego aplicamos nuevamente el primer perfil y repetimos los pasos (los puntos C , D y E ahora se desplazan un paso para referirse al valle final más cercano a A ). Si ninguna canica cruza el punto C antes de que la primera canica cruce el punto D , debemos aplicar el segundo perfil poco antes de que la primera canica cruce el punto D , para comenzar de nuevo.

Se deduce fácilmente que eventualmente tendremos canicas en el punto A , pero ninguna en el punto B. Por lo tanto, si definimos tener canicas en el punto A como una victoria y tener canicas en el punto B como una derrota, claramente ganamos al alternar (en momentos elegidos correctamente) entre jugar dos juegos perdedores.

Un tercer ejemplo de la paradoja de Parrondo se extrae del ámbito de los juegos de azar. Consideremos dos juegos, el Juego A y el Juego B, con las siguientes reglas. Para mayor comodidad, definamos que es nuestro capital en el momento t , inmediatamente antes de jugar un juego.$Estilo de visualización C_{t}$

1. Ganar un juego nos hace ganar $1 y perder requiere que entreguemos $1. De ello se deduce que si ganamos en el paso t y si perdemos en el paso t .${\displaystyle C_{t+1}=C_{t}+1}$${\displaystyle C_{t+1}=C_{t}-1}$
2. En el juego A , lanzamos una moneda sesgada, Moneda 1, con probabilidad de ganar , donde es una pequeña constante positiva. Claramente, este es un juego perdedor a largo plazo.${\displaystyle P_{1}=(1/2)-\epsilon }$${\displaystyle \épsilon}$
3. En el juego B , primero determinamos si nuestro capital es un múltiplo de algún entero . Si lo es, lanzamos una moneda sesgada, Moneda 2, con probabilidad de ganar . Si no lo es, lanzamos otra moneda sesgada, Moneda 3, con probabilidad de ganar . El rol del módulo proporciona la periodicidad como en los dientes de trinquete.${\estilo de visualización M}$${\displaystyle P_{2}=(1/10)-\epsilon }$${\displaystyle P_{3}=(3/4)-\epsilon }$${\estilo de visualización M}$

Está claro que, si jugamos al Juego A, casi con seguridad perderemos a largo plazo. Harmer y Abbott ^[1] muestran mediante simulación que si y el Juego B también es un juego perdedor casi con seguridad. De hecho, el Juego B es una cadena de Markov , y un análisis de su matriz de transición de estados (de nuevo con M=3) muestra que la probabilidad de estado estable de usar la moneda 2 es 0,3836, y la de usar la moneda 3 es 0,6164. ^[4] Como la moneda 2 se selecciona casi el 40% de las veces, tiene una influencia desproporcionada en el pago del Juego B, y da como resultado que sea un juego perdedor.${\estilo de visualización M=3}$${\displaystyle \epsilon =0,005,}$

Sin embargo, cuando estos dos juegos perdedores se juegan en una secuencia alternada (por ejemplo, dos juegos de A seguidos de dos juegos de B (AABBAABB...), la combinación de los dos juegos es, paradójicamente, un juego ganador . No todas las secuencias alternadas de A y B dan como resultado juegos ganadores. Por ejemplo, un juego de A seguido de un juego de B (ABABAB...) es un juego perdedor, mientras que un juego de A seguido de dos juegos de B (ABBABB...) es un juego ganador. Este ejemplo del lanzamiento de una moneda se ha convertido en la ilustración canónica de la paradoja de Parrondo: dos juegos, ambos perdedores cuando se juegan individualmente, se convierten en un juego ganador cuando se juegan en una secuencia alternada particular.

La aparente paradoja se ha explicado utilizando una serie de enfoques sofisticados, incluidas las cadenas de Markov, ^[5] trinquetes intermitentes, ^[6] recocido simulado , ^[7] y teoría de la información. ^[8] Una forma de explicar la aparente paradoja es la siguiente:

• Si bien el juego B es un juego perdedor bajo la distribución de probabilidad que resulta para el módulo cuando se juega individualmente ( módulo es el resto cuando se divide por ), puede ser un juego ganador bajo otras distribuciones, ya que hay al menos un estado en el que su expectativa es positiva.$Estilo de visualización C_{t}$${\estilo de visualización M}$$Estilo de visualización C_{t}$${\estilo de visualización M}$$Estilo de visualización C_{t}$${\estilo de visualización M}$
• Como la distribución de los resultados del Juego B depende del capital del jugador, los dos juegos no pueden ser independientes. Si lo fueran, jugarlos en cualquier secuencia también sería una pérdida.

El papel del ahora se pone claramente de manifiesto. Sirve únicamente para inducir una dependencia entre los juegos A y B, de modo que un jugador tenga más probabilidades de entrar en estados en los que el juego B tiene una expectativa positiva, lo que le permite superar las pérdidas del juego A. Con esta comprensión, la paradoja se resuelve por sí sola: los juegos individuales pierden sólo bajo una distribución que difiere de la que se encuentra realmente al jugar el juego compuesto. En resumen, la paradoja de Parrondo es un ejemplo de cómo la dependencia puede causar estragos en los cálculos probabilísticos realizados bajo un supuesto ingenuo de independencia. Una exposición más detallada de este punto, junto con varios ejemplos relacionados, se puede encontrar en Philips y Feldman. ^[9]${\estilo de visualización M}$

La paradoja de Parrondo se utiliza ampliamente en la teoría de juegos, y su aplicación a la ingeniería, la dinámica de poblaciones, ^[3] el riesgo financiero, etc., son áreas de investigación activa. Los juegos de Parrondo son de poca utilidad práctica, como por ejemplo para invertir en los mercados de valores ^[10], ya que los juegos originales requieren que el pago de al menos uno de los juegos que interactúan dependa del capital del jugador. Sin embargo, los juegos no necesitan restringirse a su forma original y el trabajo continúa en la generalización del fenómeno. Se han señalado similitudes con el bombeo de volatilidad y el problema de las dos envolventes ^[11] . Se han utilizado modelos simples de libros de texto de finanzas de retornos de valores para demostrar que las inversiones individuales con retornos medianos negativos a largo plazo pueden combinarse fácilmente en carteras diversificadas con retornos medianos positivos a largo plazo. ^[12] De manera similar, un modelo que se utiliza a menudo para ilustrar reglas de apuestas óptimas se ha utilizado para demostrar que dividir las apuestas entre múltiples juegos puede convertir un retorno mediano negativo a largo plazo en uno positivo. ^{[13] En biología evolutiva, tanto} la variación aleatoria de fase bacteriana ^[14] como la evolución de sensores menos precisos ^[15] se han modelado y explicado en términos de la paradoja. En ecología, la alternancia periódica de ciertos organismos entre comportamientos nómadas y coloniales se ha sugerido como una manifestación de la paradoja. ^[16] Ha habido una aplicación interesante en el modelado de la supervivencia multicelular como consecuencia de la paradoja ^[17] y algunas discusiones interesantes sobre su viabilidad. ^{[18] [19]} También se pueden encontrar aplicaciones de la paradoja de Parrondo en la teoría de la confiabilidad. ^[20]

En la literatura temprana sobre la paradoja de Parrondo, se debatió si la palabra "paradoja" era una descripción apropiada, dado que el efecto Parrondo puede entenderse en términos matemáticos. El efecto "paradójico" puede explicarse matemáticamente en términos de una combinación lineal convexa.

Sin embargo, Derek Abbott , un destacado investigador sobre el tema, proporciona la siguiente respuesta respecto al uso de la palabra "paradoja" en este contexto:

¿Es la paradoja de Parrondo realmente una "paradoja"? Los matemáticos se hacen esta pregunta a veces, mientras que los físicos no suelen preocuparse por estas cosas. Lo primero que hay que señalar es que la "paradoja de Parrondo" es sólo un nombre, al igual que la " paradoja de Braess " o la " paradoja de Simpson ". En segundo lugar, como es el caso de la mayoría de estas paradojas nombradas, todas son paradojas aparentes. La gente omite la palabra "aparente" en estos casos porque es un trabalenguas, y de todos modos es obvio. Así que nadie afirma que sean paradojas en sentido estricto. En sentido amplio, una paradoja es simplemente algo que es contraintuitivo. Los juegos de Parrondo ciertamente son contraintuitivos, al menos hasta que los hayas estudiado intensivamente durante unos meses. La verdad es que seguimos encontrando cosas nuevas y sorprendentes que nos deleitan a medida que investigamos estos juegos. Un matemático se quejó de que los juegos siempre le resultaron obvios y que, por lo tanto, no deberíamos utilizar la palabra "paradoja". O es un genio o nunca lo entendió realmente. En cualquier caso, no vale la pena discutir con gente así. ^[21]

• Convección granular
• Trinquete browniano
• Teoría de juegos
• Lista de paradojas
• Efecto trinquete
• Mecánica estadística

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• JMR Parrondo, los juegos paradójicos de Parrondo
• Artículo de Nature News sobre la paradoja de Parrondo
• La paradoja de Parrondo: una simulación
• La paradoja de Parrondo en Futility Closet
• La paradoja de Parrondo en Wolfram
• Simulador de Parrondo en línea
• La paradoja de Parrondo en Maplesoft
• Estrategias adaptativas óptimas y Parrondo
• Reed, Floyd A (1 de julio de 2007). "Epstasis de dos locus con selección sexualmente antagónica: una paradoja genética de Parrondo". Genética . 176 (3). Oxford: 1923–1929. doi :10.1534/genetics.106.069997. PMC  1931524 . PMID  17483431. S2CID  28986153.