La paradoja de la caja de Bertrand
La paradoja de la caja de Bertrand es una paradoja verídica de la teoría de probabilidad elemental . Fue planteada por primera vez por Joseph Bertrand en su obra de 1889 Calcul des Probabilités .
Hay tres casillas:
- una caja que contiene dos monedas de oro,
- una caja que contiene dos monedas de plata,
- Una caja que contiene una moneda de oro y una moneda de plata.
Una moneda extraída al azar de una de las tres cajas resulta ser de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra moneda de la misma caja también sea de oro?
Una paradoja verídica es una paradoja cuya solución correcta parece contraintuitiva. Puede parecer intuitivo que la probabilidad de que la moneda restante sea oro sea 1/2 , pero la probabilidad es en realidad 2/3 . [1] Bertrand demostró que si 1/2Si fuera correcto, resultaría en una contradicción, por lo que1/2 No puede ser correcto.
Este sencillo pero contraintuitivo acertijo se utiliza como ejemplo estándar en la enseñanza de la teoría de la probabilidad. La solución ilustra algunos principios básicos, incluidos los axiomas de Kolmogorov .
Solución
El problema se puede replantear describiendo las cajas como si cada una tuviera un cajón en cada uno de los dos lados. Cada cajón contiene una moneda. Una caja tiene una moneda de oro en cada lado ( GG ), otra una moneda de plata en cada lado ( SS ) y la otra una moneda de oro en un lado y una moneda de plata en el otro ( GS ). Se elige una caja al azar, se abre un cajón al azar y se encuentra una moneda de oro dentro. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda del otro lado sea de oro?
El siguiente razonamiento parece dar una probabilidad de 1/2:
- Originalmente, las tres casillas tenían la misma probabilidad de ser elegidas.
- La caja elegida no puede ser la caja SS .
- Entonces debe ser la casilla GG o GS .
- Las dos posibilidades restantes son igualmente probables. Por lo tanto, la probabilidad de que la caja sea GG y la otra moneda también sea de oro es 1/2.
El razonamiento del 2/3 es el siguiente:
- Originalmente, las seis monedas tenían la misma probabilidad de ser elegidas.
- La moneda elegida no puede ser del cajón S de la caja GS , ni de ninguno de los cajones de la caja SS .
- Por lo tanto, debe provenir del cajón G de la caja GS , o de cualquiera de los cajones de la caja GG .
- Las tres posibilidades restantes son igualmente probables, por lo que la probabilidad de que el cajón sea de la caja GG es 2/3.
El propósito de Bertrand al construir este ejemplo fue demostrar que no siempre es adecuado simplemente contar los casos, sino que se deben sumar las probabilidades de que los casos produzcan el resultado observado.
Datos experimentales
Se realizó una encuesta a estudiantes de primer año de Psicología que tomaban un curso introductorio de probabilidad para evaluar sus soluciones al problema similar de las tres cartas. En el problema de las tres cartas, se colocan tres cartas en un sombrero. Una carta es roja por ambos lados, una es blanca por ambos lados y una es blanca por un lado y roja por el otro. Si una carta extraída del sombrero es roja por un lado, la probabilidad de que el otro lado también sea rojo es 2/3 .
Participaron 53 estudiantes y se les preguntó cuál era la probabilidad de que el otro lado fuera rojo. 35 respondieron incorrectamente con 1/2 ; solo 3 estudiantes respondieron correctamente con 2/3 . [2]
Problemas relacionados
Otras paradojas verídicas de probabilidad incluyen:
- Paradoja del niño o la niña
- Problema de Monty Hall
- Problema de los tres prisioneros
- Problema de los dos sobres
- Problema de la Bella Durmiente
Los problemas de Monty Hall y de los Tres Prisioneros son matemáticamente idénticos a la paradoja de la Caja de Bertrand. La construcción de la paradoja del Niño o la Niña es similar, básicamente añadiendo una cuarta caja con una moneda de oro y una moneda de plata. Su respuesta es controvertida, basada en cómo se supone que se eligió el "cajón".
Referencias
- ^ "La paradoja de la caja de Bertrand". Referencia de Oxford .
- ^ Bar-Hillel, Maya ; Falk, Ruma (1982). "Algunos acertijos sobre probabilidades condicionales". Cognición . 11 (2): 109–22. doi :10.1016/0010-0277(82)90021-X. PMID 7198956. S2CID 44509163.
- Nickerson, Raymond (2004). Cognición y azar: la psicología del razonamiento probabilístico , Lawrence Erlbaum. Cap. 5, "Algunos problemas instructivos: Tres cartas", págs. 157-160. ISBN 0-8058-4898-3
- Michael Clark, Paradojas de la A a la Z , pág. 16;
- Howard Margolis, Wason, Monty Hall y los incumplimientos adversos.
Enlaces externos
- Estimación de la probabilidad con cajas y nombres aleatorios, una simulación
