Matriz cero

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , una matriz cero o matriz nula es una matriz cuyos elementos son todos cero . También sirve como identidad aditiva del grupo aditivo de matrices, y se denota con el símbolo o seguido de subíndices correspondientes a la dimensión de la matriz según lo considere adecuado el contexto. ^{[1] [2] [3]} Algunos ejemplos de matrices cero son${\displaystyle m\veces n}$${\estilo de visualización O}$${\estilo de visualización 0}$

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\ }$

El conjunto de matrices con entradas en un anillo K forma un anillo . La matriz cero en es la matriz con todas las entradas iguales a , donde es la identidad aditiva en K. ${\displaystyle m\veces n}$$Estilo de visualización K_ {m,n}}$${\displaystyle 0_{K_{m,n}}\,}$${\displaystyle K_{m,n}\,}$${\estilo de visualización 0_{K}\,}$${\estilo de visualización 0_{K}}$

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}_{m\times n}}$

La matriz cero es la identidad aditiva en . ^[4] Es decir, para todo lo que satisface la ecuación${\displaystyle K_{m,n}\,}$${\displaystyle A\en K_{m,n}\,}$

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A.}$

Existe exactamente una matriz cero de cualquier dimensión dada m × n (con entradas de un anillo dado), por lo que, cuando el contexto es claro, a menudo se hace referencia a la matriz cero. En general, el elemento cero de un anillo es único y se denota típicamente por 0 sin ningún subíndice que indique el anillo padre. Por lo tanto, los ejemplos anteriores representan matrices cero sobre cualquier anillo.

La matriz cero también representa la transformación lineal que envía todos los vectores al vector cero . ^[5] Es idempotente , lo que significa que cuando se multiplica por sí misma, el resultado es ella misma.

La matriz cero es la única matriz cuyo rango es 0.

En la regresión de mínimos cuadrados ordinarios , si hay un ajuste perfecto a los datos, la matriz aniquiladora es la matriz cero.

• Matriz identidad , la identidad multiplicativa para matrices
• Matriz de unos , una matriz donde todos los elementos son uno
• Matriz nilpotente
• Matriz de entrada única , una matriz donde todos los elementos menos uno son cero