Masa en relatividad especial

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La palabra " masa " tiene dos significados en la relatividad especial : la masa invariante (también llamada masa en reposo) es una cantidad invariante que es la misma para todos los observadores en todos los sistemas de referencia , mientras que la masa relativista depende de la velocidad del observador. Según el concepto de equivalencia masa-energía , la masa invariante es equivalente a la energía en reposo , mientras que la masa relativista es equivalente a la energía relativista (también llamada energía total).

El término "masa relativista" no suele emplearse en física nuclear y de partículas, y los autores de relatividad especial suelen evitarlo para referirse a la energía relativista del cuerpo. ^[1] Por el contrario, suele preferirse "masa invariante" a la energía en reposo. La inercia medible y la deformación del espacio-tiempo por parte de un cuerpo en un marco de referencia determinado están determinadas por su masa relativista, no solo por su masa invariante. Por ejemplo, los fotones tienen masa en reposo cero, pero contribuyen a la inercia (y al peso en un campo gravitatorio) de cualquier sistema que los contenga.

El concepto se generaliza en masa en la relatividad general .

El término masa en la relatividad especial se refiere generalmente a la masa en reposo del objeto, que es la masa newtoniana medida por un observador que se mueve junto con el objeto. La masa invariante es otro nombre para la masa en reposo de partículas individuales. La masa invariante más general (calculada con una fórmula más complicada) corresponde vagamente a la "masa en reposo" de un "sistema". Por lo tanto, la masa invariante es una unidad natural de masa utilizada para sistemas que se observan desde su marco de referencia del centro del momento (marco COM), como cuando se pesa cualquier sistema cerrado (por ejemplo, una botella de gas caliente), lo que requiere que la medición se realice en el marco del centro del momento donde el sistema no tiene momento neto. En tales circunstancias, la masa invariante es igual a la masa relativista (que se analiza a continuación), que es la energía total del sistema dividida por c ² (la velocidad de la luz al cuadrado).

Sin embargo, el concepto de masa invariante no requiere sistemas de partículas ligadas. Por lo tanto, también puede aplicarse a sistemas de partículas no ligadas en movimiento relativo a alta velocidad. Por ello, se suele emplear en física de partículas para sistemas que consisten en partículas de alta energía muy separadas. Si tales sistemas se derivaran de una sola partícula, entonces el cálculo de la masa invariante de tales sistemas, que es una cantidad que nunca cambia, proporcionará la masa en reposo de la partícula original (porque se conserva a lo largo del tiempo).

A menudo resulta conveniente en los cálculos que la masa invariante de un sistema sea la energía total del sistema (dividida por c ² ) en el marco COM (donde, por definición, el momento del sistema es cero). Sin embargo, dado que la masa invariante de cualquier sistema también es la misma cantidad en todos los marcos inerciales, es una cantidad que a menudo se calcula a partir de la energía total en el marco COM, y luego se utiliza para calcular las energías y los momentos del sistema en otros marcos donde los momentos no son cero, y la energía total del sistema será necesariamente una cantidad diferente que en el marco COM. Al igual que con la energía y el momento, la masa invariante de un sistema no se puede destruir ni cambiar, y por lo tanto se conserva, siempre que el sistema esté cerrado a todas las influencias. (El término técnico es sistema aislado , lo que significa que se dibuja un límite idealizado alrededor del sistema y no se permite que pase masa o energía a través de él).

La masa relativista es la suma total de la cantidad de energía en un cuerpo o sistema (dividida por c ² ). Por lo tanto, la masa en la fórmula es la masa relativista. Para una partícula de masa en reposo distinta de cero m que se mueve a una velocidad relativa al observador, se encuentra$${\displaystyle E=m_{\text{rel}}c^{2}}$$${\estilo de visualización v}$$${\displaystyle m_{\text{rel}}={\frac {m}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}$$

En el marco del centro de momento , la masa relativista es igual a la masa en reposo. En otros marcos, la masa relativista (de un cuerpo o sistema de cuerpos) incluye una contribución de la energía cinética "neta" del cuerpo (la energía cinética del centro de masa del cuerpo), y es mayor cuanto más rápido se mueve el cuerpo. Por lo tanto, a diferencia de la masa invariante, la masa relativista depende del marco de referencia del observador . Sin embargo, para marcos de referencia individuales dados y para sistemas aislados, la masa relativista también es una cantidad conservada. La masa relativista es también el factor de proporcionalidad entre la velocidad y el momento,${\estilo de visualización v=0}$$${\displaystyle \mathbf {p} =m_{\text{rel}}\mathbf {v} .}$$

La segunda ley de Newton sigue siendo válida en la forma$${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d(m_{\text{rel}}\mathbf {v} )}{dt}}.}$$

Cuando un cuerpo emite luz de frecuencia y longitud de onda como un fotón de energía , la masa del cuerpo disminuye en , ^[2] que algunos ^{[3] [4]} interpretan como la masa relativista del fotón emitido ya que también cumple . Aunque algunos autores presentan la masa relativista como un concepto fundamental de la teoría, se ha argumentado que esto es incorrecto ya que los fundamentos de la teoría se relacionan con el espacio-tiempo. Existe desacuerdo sobre si el concepto es útil pedagógicamente. ^{[5] [3] [6]} Explica de manera simple y cuantitativa por qué un cuerpo sujeto a una aceleración constante no puede alcanzar la velocidad de la luz, y por qué la masa de un sistema que emite un fotón disminuye. ^[3] En la química cuántica relativista , la masa relativista se utiliza para explicar la contracción orbital de los electrones en elementos pesados. ^{[7] [8]} La noción de masa como propiedad de un objeto de la mecánica newtoniana no guarda una relación precisa con el concepto en relatividad. ^[9] La masa relativista no se menciona en la física nuclear y de partículas, ^[1] y una encuesta de libros de texto introductorios en 2005 mostró que solo 5 de 24 textos usaban el concepto, ^[10] aunque todavía prevalece en las divulgaciones.${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle E=h\nu =hc/\lambda }$${\displaystyle E/c^{2}=h/\lambda c}$ ${\displaystyle p=m_{\text{rel}}c=h/\lambda }$

Si una caja estacionaria contiene muchas partículas, su peso aumenta en su sistema de referencia en reposo cuanto más rápido se mueven las partículas. Cualquier energía en la caja (incluida la energía cinética de las partículas) se suma a la masa, de modo que el movimiento relativo de las partículas contribuye a la masa de la caja. Pero si la propia caja se está moviendo (su centro de masa se está moviendo), queda la cuestión de si la energía cinética del movimiento general debe incluirse en la masa del sistema. La masa invariante se calcula excluyendo la energía cinética del sistema en su conjunto (calculada utilizando la velocidad única de la caja, es decir, la velocidad del centro de masa de la caja), mientras que la masa relativista se calcula incluyendo la masa invariante más la energía cinética del sistema que se calcula a partir de la velocidad del centro de masa.

Tanto la masa relativista como la masa en reposo son conceptos tradicionales de la física, pero la masa relativista corresponde a la energía total. La masa relativista es la masa del sistema tal como se mediría en una balanza, pero en algunos casos (como en el recuadro anterior) este hecho sigue siendo cierto sólo porque el sistema, en promedio, debe estar en reposo para ser pesado (debe tener un momento neto cero, es decir, la medición se realiza en su marco de centro de momento ). Por ejemplo, si un electrón en un ciclotrón se mueve en círculos con una velocidad relativista, la masa del sistema ciclotrón+electrón aumenta por la masa relativista del electrón, no por la masa en reposo del electrón. Pero lo mismo es cierto también para cualquier sistema cerrado, como un electrón-y-caja, si el electrón rebota a alta velocidad dentro de la caja. Es sólo la falta de momento total en el sistema (la suma de los momentos del sistema es cero) lo que permite "pesar" la energía cinética del electrón. Si se detuviera y pesara el electrón , o si se enviara de algún modo una balanza tras él, no se movería con respecto a la balanza y, nuevamente, las masas relativistas y en reposo serían las mismas para el electrón individual (y serían menores). En general, las masas relativistas y en reposo son iguales solo en sistemas que no tienen momento neto y el centro de masas del sistema está en reposo; de lo contrario, pueden ser diferentes.

La masa invariante es proporcional al valor de la energía total en un marco de referencia, el marco donde el objeto en su conjunto está en reposo (como se define a continuación en términos de centro de masa). Es por eso que la masa invariante es la misma que la masa en reposo para partículas individuales. Sin embargo, la masa invariante también representa la masa medida cuando el centro de masa está en reposo para sistemas de muchas partículas. Este marco especial donde esto ocurre también se llama marco del centro de momento , y se define como el marco inercial en el que el centro de masa del objeto está en reposo (otra forma de decirlo es que es el marco en el que los momentos de las partes del sistema se suman a cero). Para los objetos compuestos (hechos de muchos objetos más pequeños, algunos de los cuales pueden estar en movimiento) y los conjuntos de objetos no ligados (algunos de los cuales también pueden estar en movimiento), solo se requiere que el centro de masa del sistema esté en reposo, para que la masa relativista del objeto sea igual a su masa en reposo.

Una partícula denominada sin masa (como un fotón o un gravitón teórico) se mueve a la velocidad de la luz en cada sistema de referencia. En este caso, no hay ninguna transformación que lleve a la partícula al reposo. La energía total de dichas partículas se hace cada vez más pequeña en sistemas que se mueven cada vez más rápido en la misma dirección. Por lo tanto, no tienen masa en reposo, porque nunca se pueden medir en un sistema en el que están en reposo. Esta propiedad de no tener masa en reposo es lo que hace que estas partículas se denominen "sin masa". Sin embargo, incluso las partículas sin masa tienen una masa relativista, que varía con su energía observada en varios sistemas de referencia.

La masa invariante es la relación entre el momento cuatridimensional (la generalización cuatridimensional del momento clásico ) y la velocidad cuatridimensional : ^[11] y también es la relación entre la aceleración cuatridimensional y la fuerza cuatridimensional cuando la masa en reposo es constante. La forma cuatridimensional de la segunda ley de Newton es:$${\displaystyle p^{\mu }=mv^{\mu }}$$$${\displaystyle F^{\mu }=mA^{\mu }.}$$

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Las expresiones relativistas para E y p obedecen a la relación energía-momento relativista : ^[12] donde m es la masa en reposo, o la masa invariante para sistemas, y E es la energía total.$${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=\left(mc^{2}\right)^{2}}$$

La ecuación también es válida para los fotones, que tienen m = 0 : y por lo tanto$${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=0}$$$${\displaystyle E=pc}$$

El momento de un fotón es una función de su energía, pero no es proporcional a la velocidad, que siempre es c .

Para un objeto en reposo, el momento p es cero, por lo tanto tenga en cuenta que la fórmula solo es verdadera para partículas o sistemas con momento cero.$${\displaystyle E=mc^{2}.}$$

La masa en reposo sólo es proporcional a la energía total en el marco de reposo del objeto.

Cuando el objeto está en movimiento, la energía total está dada por$${\displaystyle E={\sqrt {\left(mc^{2}\right)^{2}+(pc)^{2}}}}$$

Para hallar la forma del momento y la energía en función de la velocidad, se puede observar que el cuadri-velocidad, que es proporcional a , es el único cuadri-vector asociado con el movimiento de la partícula, de modo que si hay un cuadri-momento conservado , debe ser proporcional a este vector. Esto permite expresar la relación entre energía y momento como una relación resultante entre E y v :${\displaystyle \left(c,{\vec {v}}\right)}$${\displaystyle \left(E,{\vec {p}}c\right)}$$${\displaystyle pc=E{\frac {v}{c}},}$$$${\displaystyle E^{2}=\left(mc^{2}\right)^{2}+E^{2}{\frac {v^{2}}{c^{2}}},}$$

Esto da como resultado y$${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$$${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}$$

Estas expresiones se pueden escribir como donde el factor$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}&=mc^{2},\\E&=\gamma mc^{2},\\p&=mv\gamma ,\end{aligned}}}$$${\textstyle \gamma ={1}/{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}$

Cuando se trabaja en unidades donde c = 1 , conocido como el sistema de unidades naturales , todas las ecuaciones relativistas se simplifican y las cantidades energía , momento y masa tienen la misma dimensión natural: ^[13]

$${\displaystyle m^{2}=E^{2}-p^{2}.}$$

La ecuación se escribe a menudo de esta manera porque la diferencia es la longitud relativista del cuatrivector de energía y momento , una longitud que está asociada con la masa en reposo o la masa invariante en los sistemas. Donde m > 0 y p = 0 , esta ecuación expresa nuevamente la equivalencia masa-energía E = m .${\displaystyle E^{2}-p^{2}}$

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La masa en reposo de un sistema compuesto no es la suma de las masas en reposo de las partes, a menos que todas las partes estén en reposo. La masa total de un sistema compuesto incluye la energía cinética y la energía de campo del sistema.

La energía total E de un sistema compuesto se puede determinar sumando las energías de sus componentes. El momento total del sistema, una cantidad vectorial, también se puede calcular sumando los momentos de todos sus componentes. Dada la energía total E y la longitud (magnitud) p del vector de momento total , la masa invariante viene dada por:${\displaystyle {\vec {p}}}$${\displaystyle {\vec {p}}}$$${\displaystyle m={\frac {\sqrt {E^{2}-(pc)^{2}}}{c^{2}}}}$$

En el sistema de unidades naturales donde c = 1 , para sistemas de partículas (ya sea ligadas o no) la masa invariante total del sistema se da de manera equivalente por lo siguiente:$${\displaystyle m^{2}=\left(\sum E\right)^{2}-\left\|\sum {\vec {p}}\ \right\|^{2}}$$

En este caso, los momentos de las partículas se suman primero como vectores y luego se utiliza el cuadrado de su magnitud total resultante ( norma euclidiana ). Esto da como resultado un número escalar, que se resta del valor escalar del cuadrado de la energía total.${\displaystyle {\vec {p}}}$

Para un sistema de este tipo, en el marco especial del centro de momento donde los momentos suman cero, nuevamente la masa del sistema (llamada masa invariante) corresponde a la energía total del sistema o, en unidades donde c = 1 , es idéntica a ella. Esta masa invariante para un sistema sigue siendo la misma cantidad en cualquier marco inercial, aunque la energía total del sistema y el momento total son funciones del marco inercial particular que se elija, y variarán de tal manera entre marcos inerciales que mantendrán la masa invariante igual para todos los observadores. La masa invariante funciona, por lo tanto, para los sistemas de partículas en la misma capacidad que la "masa en reposo" para las partículas individuales.

Nótese que la masa invariante de un sistema aislado (es decir, uno cerrado tanto a la masa como a la energía) también es independiente del observador o del marco inercial, y es una cantidad constante y conservada para sistemas aislados y observadores individuales, incluso durante reacciones químicas y nucleares. El concepto de masa invariante se utiliza ampliamente en física de partículas , porque la masa invariante de los productos de desintegración de una partícula es igual a su masa en reposo . Esto se utiliza para realizar mediciones de la masa de partículas como el bosón Z o el quark top .

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La energía total es una cantidad aditiva que se conserva (para observadores individuales) en los sistemas y en las reacciones entre partículas, pero la masa en reposo (en el sentido de ser una suma de las masas en reposo de las partículas) puede no conservarse a través de un evento en el que las masas en reposo de las partículas se convierten en otros tipos de energía, como la energía cinética. Encontrar la suma de las masas en reposo de las partículas individuales requeriría múltiples observadores, uno para cada sistema inercial en reposo de las partículas, y estos observadores ignoran la energía cinética de las partículas individuales. Las leyes de conservación requieren un solo observador y un solo sistema inercial.

En general, en el caso de sistemas aislados y observadores individuales, la masa relativista se conserva (cada observador la ve constante a lo largo del tiempo), pero no es invariante (es decir, distintos observadores ven valores diferentes). Sin embargo, la masa invariante se conserva e invariante (todos los observadores individuales ven el mismo valor, que no cambia con el tiempo).

La masa relativista corresponde a la energía, por lo que la conservación de la energía significa automáticamente que la masa relativista se conserva para cualquier observador y sistema inercial dados. Sin embargo, esta cantidad, al igual que la energía total de una partícula, no es invariante. Esto significa que, aunque se conserva para cualquier observador durante una reacción, su valor absoluto cambiará con el sistema del observador y para diferentes observadores en sistemas diferentes.

Por el contrario, la masa en reposo y las masas invariantes de los sistemas y partículas se conservan y también son invariantes. Por ejemplo: un recipiente cerrado de gas (cerrado también a la energía) tiene una "masa en reposo" del sistema en el sentido de que se puede pesar en una báscula en reposo, incluso cuando contiene componentes en movimiento. Esta masa es la masa invariante, que es igual a la energía relativista total del recipiente (incluida la energía cinética del gas) solo cuando se mide en el marco del centro del momento . Al igual que ocurre con las partículas individuales, la "masa en reposo" calculada de dicho recipiente de gas no cambia cuando está en movimiento, aunque su "masa relativista" sí cambia.

El recipiente puede incluso estar sometido a una fuerza que le dé una velocidad total, o bien (de manera equivalente) puede verse desde un marco inercial en el que tiene una velocidad total (es decir, técnicamente, un marco en el que su centro de masa tiene una velocidad). En este caso, su masa y energía relativistas totales aumentan. Sin embargo, en tal situación, aunque la energía relativista total y el momento total del recipiente aumentan, estos aumentos de energía y momento se restan en la definición de masa invariante , de modo que la masa invariante del recipiente en movimiento se calculará como el mismo valor que si se midiera en reposo, en una escala.

Todas las leyes de conservación en relatividad especial (para energía, masa y momento) requieren sistemas aislados, es decir, sistemas que estén totalmente aislados, sin que entre ni salga masa-energía a lo largo del tiempo. Si un sistema está aislado, tanto la energía total como el momento total del sistema se conservan a lo largo del tiempo para cualquier observador en cualquier sistema inercial, aunque sus valores absolutos variarán según los diferentes observadores en diferentes sistemas inerciales. La masa invariante del sistema también se conserva, pero no cambia con diferentes observadores. Esta es también la situación familiar con partículas individuales: todos los observadores calculan la misma masa en reposo de la partícula (un caso especial de la masa invariante) sin importar cómo se muevan (el sistema inercial que elijan), pero diferentes observadores ven diferentes energías totales y momentos para la misma partícula.

La conservación de la masa invariante también requiere que el sistema esté encerrado de modo que no pueda escapar calor ni radiación (y, por lo tanto, masa invariante). Como en el ejemplo anterior, un sistema físicamente encerrado o acotado no necesita estar completamente aislado de fuerzas externas para que su masa permanezca constante, porque para los sistemas acotados estas simplemente actúan para cambiar el marco inercial del sistema o del observador. Aunque tales acciones pueden cambiar la energía total o el momento del sistema acotado, estos dos cambios se cancelan, de modo que no hay cambio en la masa invariante del sistema. Este es exactamente el mismo resultado que con las partículas individuales: su masa en reposo calculada también permanece constante sin importar cuán rápido se muevan, o cuán rápido las vea moverse un observador.

Por otra parte, en el caso de sistemas no ligados, el "cierre" del sistema puede ser impuesto por una superficie idealizada, en la medida en que no se puede permitir que entre o salga masa-energía del volumen de prueba a lo largo del tiempo, si se quiere que se mantenga la conservación de la masa invariante del sistema durante ese tiempo. Si se permite que una fuerza actúe (realice trabajo) sólo sobre una parte de dicho sistema no ligado, esto es equivalente a permitir que entre o salga energía del sistema, y ​​se viola la condición de "cierre" a la masa-energía (aislamiento total). En este caso, la conservación de la masa invariante del sistema tampoco se mantendrá. Tal pérdida de masa en reposo en los sistemas cuando se elimina energía, de acuerdo con E = mc2 donde E es la energía eliminada y m es el cambio en la masa en reposo, refleja cambios de masa asociados con el movimiento de energía, no con la "conversión" de masa en energía ^.

De nuevo, en relatividad especial, no se requiere que la masa en reposo de un sistema sea igual a la suma de las masas en reposo de las partes (una situación que sería análoga a la conservación de la masa bruta en química). Por ejemplo, una partícula masiva puede desintegrarse en fotones que individualmente no tienen masa, pero que (como sistema) preservan la masa invariante de la partícula que los produjo. También una caja de partículas en movimiento que no interactúan (por ejemplo, fotones o un gas ideal) tendrá una masa invariante mayor que la suma de las masas en reposo de las partículas que la componen. Esto se debe a que la energía total de todas las partículas y campos en un sistema debe sumar, y esta cantidad, como se ve en el marco del centro del momento , y dividida por c ² , es la masa invariante del sistema.

En la relatividad especial, la masa no se "convierte" en energía, ya que todos los tipos de energía aún conservan su masa asociada. Ni la energía ni la masa invariante pueden destruirse en la relatividad especial, y cada una se conserva por separado a lo largo del tiempo en sistemas cerrados. Por lo tanto, la masa invariante de un sistema puede cambiar solo porque se permite que la masa invariante escape, tal vez en forma de luz o calor. Por lo tanto, cuando las reacciones (ya sean químicas o nucleares) liberan energía en forma de calor y luz, si no se permite que el calor y la luz escapen (el sistema está cerrado y aislado), la energía seguirá contribuyendo a la masa en reposo del sistema, y ​​la masa del sistema no cambiará. Solo si la energía se libera al medio ambiente se perderá la masa; esto se debe a que se ha permitido que la masa asociada salga del sistema, donde contribuye a la masa del entorno. ^[12]

Conceptos similares a lo que hoy se denomina "masa relativista" ya se habían desarrollado antes de la aparición de la relatividad especial. Por ejemplo, J. J. Thomson reconoció en 1881 que un cuerpo cargado es más difícil de poner en movimiento que un cuerpo sin carga, lo que fue desarrollado con más detalle por Oliver Heaviside (1889) y George Frederick Charles Searle (1897). De modo que la energía electrostática se comporta como si tuviera algún tipo de masa electromagnética , que puede aumentar la masa mecánica normal de los cuerpos. ^{[14] [15]}${\textstyle m_{\text{em}}={\frac {4}{3}}E_{\text{em}}/c^{2}}$

Luego, Thomson y Searle señalaron que esta masa electromagnética también aumenta con la velocidad. Esto fue elaborado más detalladamente por Hendrik Lorentz (1899, 1904) en el marco de la teoría del éter de Lorentz . Definió la masa como la relación entre la fuerza y ​​la aceleración, no como la relación entre el momento y la velocidad, por lo que necesitaba distinguir entre la masa paralela a la dirección del movimiento y la masa perpendicular a la dirección del movimiento (donde es el factor de Lorentz , v es la velocidad relativa entre el éter y el objeto, y c es la velocidad de la luz). Solo cuando la fuerza es perpendicular a la velocidad, la masa de Lorentz es igual a lo que ahora se llama "masa relativista". Max Abraham (1902) llamó masa longitudinal y masa transversal (aunque Abraham usó expresiones más complicadas que las relativistas de Lorentz). Entonces, según la teoría de Lorentz, ningún cuerpo puede alcanzar la velocidad de la luz porque la masa se vuelve infinitamente grande a esta velocidad. ^{[16] [17] [18]}${\displaystyle m_{\text{L}}=\gamma ^{3}m}$${\displaystyle m_{\text{T}}=\gamma m}$${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$${\displaystyle m_{\text{L}}}$ ${\displaystyle m_{\text{T}}}$

Albert Einstein también utilizó inicialmente los conceptos de masa longitudinal y transversal en su artículo de electrodinámica de 1905 (equivalentes a los de Lorentz, pero con una definición de fuerza diferente debido a una desafortunada definición, que luego fue corregida), y en otro artículo de 1906. ^{[19] [20]} Sin embargo, más tarde abandonó los conceptos de masa dependiente de la velocidad (ver cita al final de la siguiente sección).${\displaystyle m_{\text{T}}}$

La expresión relativista precisa (que es equivalente a la de Lorentz) que relaciona la fuerza y ​​la aceleración de una partícula con masa en reposo distinta de cero que se mueve en la dirección x con velocidad v y factor de Lorentz asociado es${\displaystyle m}$${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\text{x}}&=m\gamma ^{3}a_{\text{x}}&=m_{\text{L}}a_{\text{x}},\\f_{\text{y}}&=m\gamma a_{\text{y}}&=m_{\text{T}}a_{\text{y}},\\f_{\text{z}}&=m\gamma a_{\text{z}}&=m_{\text{T}}a_{\text{z}}.\end{aligned}}}$$

En la relatividad especial, un objeto que tiene una masa en reposo distinta de cero no puede viajar a la velocidad de la luz. A medida que el objeto se acerca a la velocidad de la luz, su energía y su momento aumentan sin límite.

En los primeros años después de 1905, siguiendo a Lorentz y Einstein, los términos masa longitudinal y transversal todavía se utilizaban. Sin embargo, esas expresiones fueron reemplazadas por el concepto de masa relativista , expresión que fue definida por primera vez por Gilbert N. Lewis y Richard C. Tolman en 1909. ^[21] Definieron la energía y masa total de un cuerpo como y de un cuerpo en reposo con la relación$${\displaystyle m_{\text{rel}}={\frac {E}{c^{2}}},}$$$${\displaystyle m_{0}={\frac {E_{0}}{c^{2}}},}$$$${\displaystyle {\frac {m_{\text{rel}}}{m_{0}}}=\gamma .}$$

En 1912, Tolman profundizó más en este concepto y afirmó: "la expresión m ₀ (1 − v ² / c ² ) ^−1/2 es la más adecuada para la masa de un cuerpo en movimiento". ^{[22] [23] [24]}

En 1934, Tolman sostuvo que la fórmula relativista de la masa es válida para todas las partículas, incluidas las que se mueven a la velocidad de la luz, mientras que la fórmula sólo se aplica a las partículas más lentas que la luz (partículas con una masa en reposo distinta de cero). Tolman comentó sobre esta relación que "Además, tenemos, por supuesto, la verificación experimental de la expresión en el caso de electrones en movimiento... Por lo tanto, no dudaremos en aceptar la expresión como correcta en general para la masa de una partícula en movimiento". ^[25]${\displaystyle m_{\text{rel}}=E/c^{2}}$${\displaystyle m_{\text{rel}}=\gamma m_{0}}$

Cuando la velocidad relativa es cero, es simplemente igual a 1, y la masa relativista se reduce a la masa en reposo como se puede ver en las dos ecuaciones siguientes. A medida que la velocidad aumenta hacia la velocidad de la luz c , el denominador del lado derecho se acerca a cero y, en consecuencia, se acerca al infinito. Si bien la segunda ley de Newton sigue siendo válida en la forma , la forma derivada no es válida porque en general no es una constante ^[26] (consulte la sección anterior sobre masa transversal y longitudinal).${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d(m_{\text{rel}}\mathbf {v} )}{dt}},}$$${\displaystyle \mathbf {f} =m_{\text{rel}}\mathbf {a} }$${\displaystyle m_{\text{rel}}}$${\displaystyle {d(m_{\text{rel}}\mathbf {v} )}}$

Aunque Einstein utilizó inicialmente las expresiones masa "longitudinal" y "transversal" en dos artículos (ver sección anterior), en su primer artículo sobre (1905) trató a m como lo que ahora se llamaría la masa en reposo . ^[2] Einstein nunca derivó una ecuación para la "masa relativista", y en años posteriores expresó su desagrado por la idea: ^[27]${\displaystyle E=mc^{2}}$

No conviene introducir el concepto de masa de un cuerpo en movimiento, para el que no se puede dar una definición clara. Es mejor no introducir ningún otro concepto de masa que la "masa en reposo" m . En lugar de introducir M, es mejor mencionar la expresión para el momento y la energía de un cuerpo en movimiento.${\textstyle M=m/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

—  Albert Einstein en carta a Lincoln Barnett , 19 de junio de 1948 (cita de LB Okun (1989), p. 42 ^[5] )

El concepto de masa relativista se utiliza ampliamente en textos de divulgación científica y en libros de texto de secundaria y de licenciatura. Autores como Okun y AB Arons han argumentado en contra de este concepto por considerarlo arcaico y confuso, y por no estar de acuerdo con la teoría relativista moderna. ^{[5] [28]} Arons escribió: ^[28]

Durante muchos años, la discusión de la dinámica se inició convencionalmente a partir de la derivación de la masa relativista, es decir, la relación masa-velocidad, y probablemente este sea todavía el modo dominante en los libros de texto. Sin embargo, más recientemente, se ha reconocido cada vez más que la masa relativista es un concepto problemático y dudoso. [Véase, por ejemplo, Okun (1989). ^[5] ]... El enfoque sólido y riguroso de la dinámica relativista es a través del desarrollo directo de esa expresión para el momento que asegura la conservación del momento en todos los marcos: en lugar de a través de la masa relativista.$${\displaystyle p={m_{0}v \over {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

C. Alder adopta una postura igualmente desdeñosa sobre la masa en la relatividad. Al escribir sobre dicho tema, dice que "su introducción en la teoría de la relatividad especial fue en gran medida un accidente histórico", destacando el conocimiento generalizado de E = mc2 y cómo la interpretación de la ^ecuación por parte del público ha influido en gran medida en la forma en que se enseña en la educación superior. ^[29] En cambio, supone que la diferencia entre la masa en reposo y la relativista debería enseñarse explícitamente, de modo que los estudiantes sepan por qué la masa debería considerarse invariante "en la mayoría de los debates sobre la inercia".

Muchos autores contemporáneos como Taylor y Wheeler evitan por completo utilizar el concepto de masa relativista:

El concepto de “masa relativista” está sujeto a malentendidos. Por eso no lo utilizamos. En primer lugar, aplica el nombre de masa (que pertenece a la magnitud de un 4-vector) a un concepto muy diferente, el componente temporal de un 4-vector. En segundo lugar, hace que el aumento de energía de un objeto con la velocidad o el momento parezca estar relacionado con algún cambio en la estructura interna del objeto. En realidad, el aumento de energía con la velocidad no se origina en el objeto sino en las propiedades geométricas del propio espacio-tiempo. ^[12]

Mientras que el espacio-tiempo tiene la geometría ilimitada del espacio de Minkowski, el espacio de velocidad está limitado por c y tiene la geometría de la geometría hiperbólica donde la masa relativista juega un papel análogo al de la masa newtoniana en las coordenadas baricéntricas de la geometría euclidiana . ^[30] La conexión de la velocidad con la geometría hiperbólica permite relacionar la masa relativista dependiente de 3 velocidades con el formalismo de Minkowski de 4 velocidades. ^[31]

• Pruebas de energía y momento relativistas

• Silagadze, ZK (2008), "Relatividad sin lágrimas", Acta Physica Polonica B , 39 (4): 811–885, arXiv : 0708.0929 , Bibcode : 2008AcPPB..39..811S
• Oas, Gary (2005), "Sobre el abuso y uso de la masa relativista", arXiv : physics/0504110
• Preguntas frecuentes sobre física de Usenet
  • "¿La masa cambia con la velocidad?", por Philip Gibbs et al., 2002, consultado el 10 de agosto de 2006
  • "¿Cuál es la masa de un fotón?", por Matt Austern et al., 1998, consultado el 27 de junio de 2007
• Max Jammer (1997), Conceptos de masa en la física clásica y moderna, Courier Dover Publications, págs. 177-178, ISBN 978-0-486-29998-3
• La masa como cantidad variable Archivado el 16 de julio de 2015 en Wayback Machine.