Heterocedasticidad condicional autorregresiva

En econometría , el modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva ( ARCH ) es un modelo estadístico para datos de series temporales que describe la varianza del término de error o innovación actual como una función de los tamaños reales de los términos de error de los períodos de tiempo anteriores; ^[1] a menudo la varianza está relacionada con los cuadrados de las innovaciones anteriores. El modelo ARCH es apropiado cuando la varianza de error en una serie temporal sigue un modelo autorregresivo (AR); si se supone un modelo de promedio móvil autorregresivo (ARMA) para la varianza de error, el modelo es un modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada ( GARCH ). ^[2]

Los modelos ARCH se emplean comúnmente para modelar series temporales financieras que presentan volatilidad variable en el tiempo y agrupamiento de volatilidad , es decir, períodos de oscilaciones intercalados con períodos de relativa calma. A veces se considera que los modelos de tipo ARCH pertenecen a la familia de modelos de volatilidad estocástica , aunque esto es estrictamente incorrecto ya que en el momento t la volatilidad está completamente predeterminada (determinista) dados los valores anteriores. ^[3]

Para modelar una serie temporal mediante un proceso ARCH, denotemos los términos de error (residuos de retorno, con respecto a un proceso medio), es decir, los términos de la serie. Estos se dividen en una parte estocástica y una desviación estándar dependiente del tiempo que caracteriza el tamaño típico de los términos de modo que${\displaystyle ~\epsilon _ {t}~}$${\displaystyle ~\epsilon _ {t}~}$$estilo de visualización z_{t}}$$estilo de visualización sigma _{t}$

${\displaystyle ~\epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t}~}$

La variable aleatoria es un proceso de ruido blanco intenso . La serie está modelada por$estilo de visualización z_{t}}$$Estilo de visualización: sigma _{t}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{tq}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{ti}^{2}}$,

donde y .${\displaystyle ~\alpha _ {0}>0~}$${\displaystyle \alpha _ {i}\geq 0,~i>0}$

Un modelo ARCH( q ) se puede estimar utilizando mínimos cuadrados ordinarios . Engle (1982) propuso un método para probar si los residuos presentan heterocedasticidad variable en el tiempo utilizando la prueba del multiplicador de Lagrange . Este procedimiento es el siguiente:$estilo de visualización {\epsilon_{t}}$

1. Estimar el modelo autorregresivo de mejor ajuste AR( q ) .${\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{tq}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{ti}+\epsilon _{t}}$
2. Obtenga los cuadrados del error y regreselos a una constante y a valores q rezagados:${\displaystyle {\sombrero {\epsilon }}^{2}}$

   ${\displaystyle {\hat {\epsilon }}_{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}{\hat {\epsilon }}_{ti}^{2}}$

   donde q es la longitud de los rezagos ARCH.

3. La hipótesis nula es que, en ausencia de componentes ARCH, tenemos para todos . La hipótesis alternativa es que, en presencia de componentes ARCH, al menos uno de los coeficientes estimados debe ser significativo. En una muestra de T residuos bajo la hipótesis nula de que no hay errores ARCH, el estadístico de prueba T'R² sigue una distribución con q grados de libertad, donde es el número de ecuaciones en el modelo que ajusta los residuos frente a los rezagos (es decir, ). Si T'R² es mayor que el valor de la tabla de Chi-cuadrado, rechazamos la hipótesis nula y concluimos que hay un efecto ARCH en el modelo ARMA . Si T'R² es menor que el valor de la tabla de Chi-cuadrado, no rechazamos la hipótesis nula.${\displaystyle \alpha _{i}=0}$${\displaystyle i=1,\cpuntos ,q}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \chi ^{2}}$${\estilo de visualización T'}$${\displaystyle T'=Tq}$

Si se supone un modelo de promedio móvil autorregresivo (ARMA) para la varianza del error, el modelo es un modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada (GARCH). ^[2]

En ese caso, el modelo GARCH ( p , q ) (donde p es el orden de los términos GARCH y q es el orden de los términos ARCH ), siguiendo la notación del artículo original, viene dado por${\estilo de visualización ~\sigma ^{2}}$${\displaystyle ~\épsilon ^{2}}$

${\displaystyle y_{t}=x'_{t}b+\epsilon _{t}}$

${\displaystyle \epsilon _{t}|\psi _{t-1}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{t}^{2})}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\omega +\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{tq}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}+\cdots +\beta _{p}\sigma _{tp}^{2}=\omega +\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{ti}^{2}+\sum _{i=1}^{p}\beta _{i}\sigma _{ti}^{2}}$

En general, cuando se prueba la heterocedasticidad en modelos econométricos, la mejor prueba es la prueba de White . Sin embargo, cuando se trabaja con datos de series temporales , esto implica probar los errores ARCH y GARCH.

El modelo de media móvil ponderada exponencialmente (EWMA) es un modelo alternativo en una clase separada de modelos de suavizado exponencial. Como alternativa al modelo GARCH, tiene algunas propiedades atractivas, como una mayor ponderación de las observaciones más recientes, pero también desventajas, como un factor de decaimiento arbitrario que introduce subjetividad en la estimación.

La longitud de retardo p de un proceso GARCH( p , q ) se establece en tres pasos:

1. Estimar el modelo AR( q ) que mejor se ajuste

   ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{tq}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{ti}+\epsilon _{t}}$.

2. Calcular y graficar las autocorrelaciones de por${\displaystyle \épsilon ^{2}}$

   ${\displaystyle \rho ={{\suma _{t=i+1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})({\hat {\epsilon }}_{t-1}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t-1}^{2})} \sobre {\suma _{t=1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})^{2}}}}$

3. La desviación estándar asintótica, es decir, para muestras grandes, de es . Los valores individuales que son mayores que esto indican errores GARCH. Para estimar el número total de rezagos, utilice la prueba de Ljung-Box hasta que el valor de estos sea menor que, digamos, 10% significativo. La estadística Q de Ljung-Box sigue una distribución con n grados de libertad si los residuos al cuadrado no están correlacionados. Se recomienda considerar hasta T/4 valores de n . La hipótesis nula establece que no hay errores ARCH o GARCH. Rechazar la nula significa, por tanto, que tales errores existen en la varianza condicional .${\displaystyle \rho (i)}$${\displaystyle 1/{\sqrt {T}}}$${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle \epsilon _ {t}^{2}}$

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GARCH(1,1) asimétrico no lineal ( NAGARCH ) es un modelo con la especificación: ^{[6] [7]}

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}}$,

donde y , lo que garantiza la no negatividad y estacionariedad del proceso de varianza.${\displaystyle ~\alpha \geq 0,~\beta \geq 0,~\omega >0}$${\displaystyle ~\alpha (1+~\theta ^{2})+~\beta <1}$

En el caso de los rendimientos de las acciones, el parámetro suele estimarse como positivo; en este caso, refleja un fenómeno conocido comúnmente como "efecto de apalancamiento", que significa que los rendimientos negativos aumentan la volatilidad futura en una cantidad mayor que los rendimientos positivos de la misma magnitud. ^{[6] [7]}${\estilo de visualización ~\theta}$

Este modelo no debe confundirse con el modelo NARCH, junto con la extensión NGARCH, introducido por Higgins y Bera en 1992. ^[8]

La heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada integrada (IGARCH) es una versión restringida del modelo GARCH, donde los parámetros persistentes suman uno e importan una raíz unitaria en el proceso GARCH. ^[9] La condición para esto es

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1}$.

El modelo heterocedástico condicional autorregresivo generalizado exponencial (EGARCH) de Nelson y Cao (1991) es otra forma del modelo GARCH. Formalmente, un EGARCH(p,q):

${\displaystyle \log \sigma _{t}^{2}=\omega +\sum _{k=1}^{q}\beta _{k}g(Z_{t-k})+\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\log \sigma _{t-k}^{2}}$

donde , es la varianza condicional , , , , y son coeficientes. puede ser una variable normal estándar o provenir de una distribución de error generalizada . La formulación para permite que el signo y la magnitud de tengan efectos separados sobre la volatilidad. Esto es particularmente útil en un contexto de fijación de precios de activos. ^{[10] [11]}${\displaystyle g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda (|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))}$${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle Z_{t}}$${\displaystyle g(Z_{t})}$${\displaystyle Z_{t}}$

Dado que puede ser negativo, no hay restricciones de signo para los parámetros.${\displaystyle \log \sigma _{t}^{2}}$

El modelo GARCH-in-mean (GARCH-M) agrega un término de heterocedasticidad a la ecuación de la media. Tiene la especificación:

${\displaystyle y_{t}=~\beta x_{t}+~\lambda ~\sigma _{t}+~\epsilon _{t}}$

El residuo se define como:${\displaystyle ~\epsilon _{t}}$

${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}~\times z_{t}}$

El modelo GARCH cuadrático (QGARCH) de Sentana (1995) se utiliza para modelar los efectos asimétricos de los shocks positivos y negativos.

En el ejemplo de un modelo GARCH(1,1), el proceso residual es${\displaystyle ~\sigma _{t}}$

${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$

¿Dónde está iid y${\displaystyle z_{t}}$

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=K+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}}$

Similar a QGARCH, el modelo GARCH de Glosten-Jagannathan-Runkle (GJR-GARCH) de Glosten, Jagannathan y Runkle (1993) también modela la asimetría en el proceso ARCH. La sugerencia es modelar donde es iid, y${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$${\displaystyle z_{t}}$

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}^{2}I_{t-1}}$

donde si , y si .${\displaystyle I_{t-1}=0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\geq 0}$${\displaystyle I_{t-1}=1}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}<0}$

El modelo Threshold GARCH (TGARCH) de Zakoian (1994) es similar al GJR GARCH. La especificación se basa en la desviación estándar condicional en lugar de la varianza condicional :

${\displaystyle ~\sigma _{t}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}+~\alpha _{1}^{+}~\epsilon _{t-1}^{+}+~\alpha _{1}^{-}~\epsilon _{t-1}^{-}}$

donde si , y si . Asimismo, si , y si .${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{+}=~\epsilon _{t-1}}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}>0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{+}=0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\leq 0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{-}=~\epsilon _{t-1}}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\leq 0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{-}=0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}>0}$

El modelo fGARCH de Hentschel , ^[12] también conocido como Familia GARCH , es un modelo ómnibus que anida una variedad de otros modelos GARCH simétricos y asimétricos populares, incluidos APARCH, GJR, AVGARCH, NGARCH, etc.

En 2004, Claudia Klüppelberg , Alexander Lindner y Ross Maller propusieron una generalización en tiempo continuo del proceso GARCH(1,1) en tiempo discreto. La idea es comenzar con las ecuaciones del modelo GARCH(1,1)

${\displaystyle \epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t},}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\sigma _{t-1}^{2}z_{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2},}$

y luego reemplazar el proceso de ruido blanco fuerte por los incrementos infinitesimales de un proceso de Lévy , y el proceso de ruido al cuadrado por los incrementos , donde${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle \mathrm {d} L_{t}}$ ${\displaystyle (L_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle z_{t}^{2}}$${\displaystyle \mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }}$

${\displaystyle [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }=\sum _{s\in [0,t]}(\Delta L_{t})^{2},\quad t\geq 0,}$

es la parte puramente discontinua del proceso de variación cuadrática de . El resultado es el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas :${\displaystyle L}$

${\displaystyle \mathrm {d} G_{t}=\sigma _{t-}\,\mathrm {d} L_{t},}$

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma _{t}^{2}=(\beta -\eta \sigma _{t}^{2})\,\mathrm {d} t+\varphi \sigma _{t-}^{2}\,\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} },}$

donde los parámetros positivos , y están determinados por , y . Ahora, dada alguna condición inicial , el sistema anterior tiene una solución única por caminos que luego se denomina modelo GARCH de tiempo continuo ( COGARCH ). ^[13]${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \beta _{1}}$${\displaystyle (G_{0},\sigma _{0}^{2})}$${\displaystyle (G_{t},\sigma _{t}^{2})_{t\geq 0}}$

A diferencia del modelo GARCH, el modelo GARCH de deriva cero (ZD-GARCH) de Li, Zhang, Zhu y Ling (2018) ^[14] permite el término de deriva en el modelo GARCH de primer orden. El modelo ZD-GARCH es modelar , donde es iid, y${\displaystyle ~\omega =0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$${\displaystyle z_{t}}$

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=~\alpha _{1}~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta _{1}~\sigma _{t-1}^{2}.}$

El modelo ZD-GARCH no requiere , y por lo tanto anida el modelo de promedio móvil ponderado exponencialmente (EWMA) en " RiskMetrics ". Dado que el término de deriva , el modelo ZD-GARCH siempre es no estacionario, y sus métodos de inferencia estadística son bastante diferentes de los del modelo GARCH clásico. Con base en los datos históricos, los parámetros y pueden estimarse mediante el método QMLE generalizado .${\displaystyle ~\alpha _{1}+~\beta _{1}=1}$${\displaystyle ~\omega =0}$${\displaystyle ~\alpha _{1}}$${\displaystyle ~\beta _{1}}$

Los procesos GARCH espaciales de Otto, Schmid y Garthoff (2018) ^[15] se consideran el equivalente espacial de los modelos de heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada temporal (GARCH). A diferencia del modelo ARCH temporal, en el que se conoce la distribución dada la información completa establecida para los períodos anteriores, la distribución no es sencilla en el entorno espacial y espaciotemporal debido a la interdependencia entre ubicaciones espaciales vecinas. El modelo espacial está dado por y${\displaystyle ~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})}$

${\displaystyle ~\sigma (s_{i})^{2}=~\alpha _{i}+\sum _{v=1}^{n}\rho w_{iv}\epsilon (s_{v})^{2},}$

donde denota la -ésima ubicación espacial y se refiere a la -ésima entrada de una matriz de ponderación espacial y para . La matriz de ponderación espacial define qué ubicaciones se consideran adyacentes.${\displaystyle ~s_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle ~w_{iv}}$${\displaystyle iv}$${\displaystyle w_{ii}=0}$${\displaystyle ~i=1,...,n}$

En otro orden de cosas, la comunidad de aprendizaje automático ha propuesto el uso de modelos de regresión de procesos gaussianos para obtener un esquema GARCH. ^[16] Esto da como resultado un esquema de modelado no paramétrico, que permite: (i) robustez avanzada al sobreajuste, ya que el modelo marginaliza sus parámetros para realizar inferencias, bajo una lógica de inferencia bayesiana; y (ii) capturar dependencias altamente no lineales sin aumentar la complejidad del modelo. ^{[ cita requerida ]}

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• Enders, W. (2004). "Modeling Volatility". Series temporales de econometría aplicada (segunda edición). John-Wiley & Sons. pp. 108–155. ISBN 978-0-471-45173-0.
• Engle, Robert F. (1982). "Heteroscedasticidad condicional autorregresiva con estimaciones de varianza de la inflación del Reino Unido". Econometrica . 50 (4): 987–1008. doi :10.2307/1912773. JSTOR  1912773. S2CID  18673159. (el artículo que despertó el interés general en los modelos ARCH)
• Engle, Robert F. (1995). ARCH: lecturas seleccionadas . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-877432-7.
• Engle, Robert F. (2001). "GARCH 101: El uso de modelos ARCH/GARCH en econometría aplicada". Revista de perspectivas económicas . 15 (4): 157–168. doi :10.1257/jep.15.4.157. JSTOR  2696523. (Una introducción breve y legible)
• Gujarati, DN (2003). Econometría básica . Págs. 856–862.
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