Ecuación lineal

En matemáticas , una ecuación lineal es una ecuación que puede expresarse en la forma donde son las variables (o incógnitas ), y son los coeficientes , que suelen ser números reales . Los coeficientes pueden considerarse parámetros de la ecuación y pueden ser expresiones arbitrarias , siempre que no contengan ninguna de las variables. Para obtener una ecuación con sentido, se requiere que los coeficientes no sean todos cero.${\displaystyle a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle b,a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

Alternativamente, se puede obtener una ecuación lineal igualando a cero un polinomio lineal sobre algún campo , del cual se toman los coeficientes.

Las soluciones de dicha ecuación son los valores que, cuando se sustituyen por las incógnitas, hacen que la igualdad sea verdadera.

En el caso de una sola variable, existe exactamente una solución (siempre que ). A menudo, el término ecuación lineal se refiere implícitamente a este caso particular, en el que la variable se denomina sensatamente incógnita .${\displaystyle a_{1}\neq 0}$

En el caso de dos variables, cada solución puede interpretarse como las coordenadas cartesianas de un punto del plano euclidiano . Las soluciones de una ecuación lineal forman una línea en el plano euclidiano y, a la inversa, cada línea puede considerarse como el conjunto de todas las soluciones de una ecuación lineal en dos variables. Este es el origen del término lineal para describir este tipo de ecuación. De manera más general, las soluciones de una ecuación lineal en n variables forman un hiperplano (un subespacio de dimensión n − 1 ) en el espacio euclidiano de dimensión n .

Las ecuaciones lineales aparecen con frecuencia en todas las matemáticas y sus aplicaciones en física e ingeniería , en parte porque los sistemas no lineales suelen aproximarse bien mediante ecuaciones lineales.

En este artículo se considera el caso de una única ecuación con coeficientes del cuerpo de los números reales , para la que se estudian las soluciones reales. Todo su contenido se aplica a soluciones complejas y, de forma más general, a ecuaciones lineales con coeficientes y soluciones en cualquier cuerpo . Para el caso de varias ecuaciones lineales simultáneas, véase sistema de ecuaciones lineales .

Una ecuación lineal en una variable x se puede escribir como con . ${\displaystyle ax+b=0,}$${\displaystyle a\neq 0}$

La solución es .${\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}}$

Una ecuación lineal en dos variables x e y se puede escribir como donde a y b no son ambos 0. [ ^1]${\displaystyle ax+by+c=0,}$

Si a y b son números reales, tiene infinitas soluciones.

Si b ≠ 0 , la ecuación

${\displaystyle ax+by+c=0}$

es una ecuación lineal en la variable única y para cada valor de x . Por lo tanto, tiene una solución única para y , que viene dada por

${\displaystyle y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.}$

Esto define una función . El gráfico de esta función es una línea con pendiente e intersección con el eje y . Las funciones cuyo gráfico es una línea generalmente se denominan funciones lineales en el contexto del cálculo . Sin embargo, en álgebra lineal , una función lineal es una función que asigna una suma a la suma de las imágenes de los sumandos. Entonces, para esta definición, la función anterior es lineal solo cuando c = 0 , es decir, cuando la línea pasa por el origen. Para evitar confusiones, las funciones cuyo gráfico es una línea arbitraria a menudo se denominan funciones afines , y las funciones lineales tales que c = 0 a menudo se denominan aplicaciones lineales .${\displaystyle -{\frac {a}{b}}}$ ${\displaystyle -{\frac {c}{b}}.}$

Cada solución ( x , y ) de una ecuación lineal

${\displaystyle ax+by+c=0}$

puede considerarse como las coordenadas cartesianas de un punto en el plano euclidiano . Con esta interpretación, todas las soluciones de la ecuación forman una línea , siempre que a y b no sean ambas cero. A la inversa, cada línea es el conjunto de todas las soluciones de una ecuación lineal.

La frase "ecuación lineal" tiene su origen en esta correspondencia entre líneas y ecuaciones: una ecuación lineal en dos variables es una ecuación cuyas soluciones forman una línea.

Si b ≠ 0 , la recta es la gráfica de la función de x que se ha definido en la sección anterior. Si b = 0 , la recta es una recta vertical (es decir, una recta paralela al eje y ) de la ecuación que no es la gráfica de una función de x .${\displaystyle x=-{\frac {c}{a}},}$

De manera similar, si a ≠ 0 , la línea es la gráfica de una función de y , y, si a = 0 , se tiene una línea horizontal de ecuación${\displaystyle y=-{\frac {c}{b}}.}$

Existen varias formas de definir una recta. En las siguientes subsecciones se da una ecuación lineal de la recta en cada caso.

Una línea no vertical se puede definir por su pendiente m y su intersección con el eje y y ₀ (la coordenada y de su intersección con el eje y ). En este caso, su ecuación lineal se puede escribir

${\displaystyle y=mx+y_{0}.}$

Si además la recta no es horizontal, se puede definir por su pendiente y su intersección con el eje x = x ₀ . En este caso, su ecuación se puede escribir

${\displaystyle y=m(x-x_{0}),}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle y=mx-mx_{0}.}$

Estas formas se basan en el hábito de considerar una línea no vertical como el gráfico de una función . ^[2] Para una línea dada por una ecuación

${\displaystyle ax+by+c=0,}$

Estas formas se pueden deducir fácilmente de las relaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=-{\frac {a}{b}},\\x_{0}&=-{\frac {c}{a}},\\y_{0}&=-{\frac {c}{b}}.\end{aligned}}}$

Una línea no vertical se puede definir por su pendiente m y las coordenadas de cualquier punto de la línea. En este caso, una ecuación lineal de la línea es${\displaystyle x_{1},y_{1}}$

${\displaystyle y=y_{1}+m(x-x_{1}),}$

o

${\displaystyle y=mx+y_{1}-mx_{1}.}$

Esta ecuación también se puede escribir

${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}$

para enfatizar que la pendiente de una línea se puede calcular a partir de las coordenadas de dos puntos cualesquiera.

Una línea que no es paralela a un eje y no pasa por el origen corta los ejes en dos puntos diferentes. Los valores de intersección x ₀ e y ₀ de estos dos puntos son distintos de cero, y la ecuación de la línea es ^[3]

${\displaystyle {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1.}$

(Es fácil verificar que la línea definida por esta ecuación tiene x ₀ e y ₀ como valores de intersección).

Dados dos puntos diferentes ( x ₁ , y ₁ ) y ( x ₂ , y ₂ ) , existe exactamente una línea que pasa por ellos. Hay varias formas de escribir una ecuación lineal de esta línea.

Si x ₁ ≠ x ₂ , la pendiente de la línea es Por lo tanto, una forma punto-pendiente es ^[3]${\displaystyle {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

${\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}).}$

Despejando denominadores se obtiene la ecuación

${\displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0,}$

lo cual es válido también cuando x ₁ = x ₂ (para verificar esto basta verificar que los dos puntos dados satisfacen la ecuación).

Esta forma no es simétrica en los dos puntos dados, pero se puede obtener una forma simétrica reagrupando los términos constantes:

${\displaystyle (y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0}$

(intercambiando los dos puntos cambia el signo del lado izquierdo de la ecuación).

La forma de dos puntos de la ecuación de una línea se puede expresar simplemente en términos de un determinante . Hay dos formas comunes de hacerlo.

La ecuación es el resultado de expandir el determinante en la ecuación.${\displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\end{vmatrix}}=0.}$

La ecuación se puede obtener desarrollando con respecto a su primera fila el determinante de la ecuación.${\displaystyle (y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0.}$

Además de ser muy simple y mnemotécnica, esta forma tiene la ventaja de ser un caso especial de la ecuación más general de un hiperplano que pasa por n puntos en un espacio de dimensión n – 1. Estas ecuaciones se basan en la condición de dependencia lineal de los puntos en un espacio proyectivo .

Siempre se puede suponer que una ecuación lineal con más de dos variables tiene la forma

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.}$

El coeficiente b , a menudo denotado como a ₀ , se denomina término constante (a veces, término absoluto en libros antiguos ^{[4] [5]} ). Dependiendo del contexto, el término coeficiente puede reservarse para a i _con i > 0 .

Cuando se trata de variables, es común utilizar y en lugar de variables indexadas.${\displaystyle n=3}$${\displaystyle x,\;y}$${\displaystyle z}$

Una solución de dicha ecuación es una n -tupla tal que al sustituir cada elemento de la tupla por la variable correspondiente la ecuación se transforma en una verdadera igualdad.

Para que una ecuación tenga sentido, el coeficiente de al menos una variable debe ser distinto de cero. Si todas las variables tienen un coeficiente cero, entonces, como se mencionó para una variable, la ecuación es inconsistente (para b ≠ 0 ) porque no tiene solución, o todas las n -tuplas son soluciones.

Las n -tuplas que son soluciones de una ecuación lineal en n variables son las coordenadas cartesianas de los puntos de un hiperplano ( n − 1) -dimensional en un espacio euclidiano n -dimensional (o espacio afín si los coeficientes son números complejos o pertenecen a cualquier cuerpo). En el caso de tres variables, este hiperplano es un plano .

Si se da una ecuación lineal con a _j ≠ 0 , entonces la ecuación se puede resolver para x _j , obteniendo

${\displaystyle x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.}$

Si los coeficientes son números reales , esto define una función de valor real de n variables reales .

• Ecuación lineal sobre un anillo
• Ecuación algebraica
• Coordenadas de línea
• Desigualdad lineal
• Ecuación no lineal

• Barnett, RA; Ziegler, MR; Byleen, KE (2008), Matemáticas universitarias para empresas, economía, ciencias biológicas y ciencias sociales (11.ª ed.), Upper Saddle River, NJ: Pearson, ISBN 978-0-13-157225-6
• Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precálculo: un curso conciso , Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
• Wilson, WA; Tracey, JI (1925), Geometría analítica (edición revisada), DC Heath

• "Ecuación lineal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]