Mecánica relativista

En física , la mecánica relativista se refiere a la mecánica compatible con la relatividad especial (RE) y la relatividad general (RG). Proporciona una descripción no mecánica cuántica de un sistema de partículas, o de un fluido , en casos en los que las velocidades de los objetos en movimiento son comparables a la velocidad de la luz c . Como resultado, la mecánica clásica se extiende correctamente a partículas que viajan a altas velocidades y energías, y proporciona una inclusión consistente del electromagnetismo con la mecánica de partículas. Esto no era posible en la relatividad galileana, donde se permitiría que las partículas y la luz viajaran a cualquier velocidad, incluso más rápido que la luz. Los fundamentos de la mecánica relativista son los postulados de la relatividad especial y la relatividad general. La unificación de la RE con la mecánica cuántica es la mecánica cuántica relativista , mientras que los intentos de la RG son la gravedad cuántica , un problema sin resolver en la física .

Al igual que en la mecánica clásica, la disciplina se puede dividir en " cinemática ", la descripción del movimiento mediante la especificación de posiciones , velocidades y aceleraciones , y " dinámica ", una descripción completa que considera energías , momentos y momentos angulares y sus leyes de conservación , y fuerzas que actúan sobre partículas o que son ejercidas por partículas. Sin embargo, hay una sutileza: lo que parece estar "en movimiento" y lo que está "en reposo" (lo que se denomina " estática " en la mecánica clásica) depende del movimiento relativo de los observadores que miden en marcos de referencia .

Algunas definiciones y conceptos de la mecánica clásica se trasladan a la RE, como la fuerza como la derivada temporal del momento ( segunda ley de Newton ), el trabajo realizado por una partícula como la integral lineal de la fuerza ejercida sobre la partícula a lo largo de una trayectoria y la potencia como la derivada temporal del trabajo realizado. Sin embargo, hay una serie de modificaciones significativas en las definiciones y fórmulas restantes. La RE afirma que el movimiento es relativo y que las leyes de la física son las mismas para todos los experimentadores independientemente de sus marcos de referencia inerciales . Además de modificar las nociones de espacio y tiempo , la RE obliga a reconsiderar los conceptos de masa , momento y energía, todos los cuales son construcciones importantes en la mecánica newtoniana . La RE muestra que estos conceptos son todos aspectos diferentes de la misma cantidad física de la misma manera que muestra que el espacio y el tiempo están interrelacionados. En consecuencia, otra modificación es el concepto de centro de masa de un sistema, que es fácil de definir en la mecánica clásica pero mucho menos obvio en la relatividad; consulte el centro de masa relativista para obtener más detalles.

Las ecuaciones se vuelven más complicadas en el formalismo de cálculo vectorial tridimensional más familiar , debido a la no linealidad en el factor de Lorentz , que explica con precisión la dependencia de la velocidad relativista y el límite de velocidad de todas las partículas y campos. Sin embargo, tienen una forma más simple y elegante en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones , que incluye el espacio de Minkowski plano (SR) y el espacio-tiempo curvo (GR), porque los vectores tridimensionales derivados del espacio y los escalares derivados del tiempo se pueden recopilar en cuatro vectores , o tensores de cuatro dimensiones . El tensor de momento angular de seis componentes a veces se llama bivector porque en el punto de vista 3D son dos vectores (uno de ellos, el momento angular convencional, es un vector axial ).

La cuatrivelocidad relativista, es decir el cuatrivector que representa la velocidad en la relatividad, se define de la siguiente manera:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {U} }}={\frac {d{\boldsymbol {\mathbf {X} }}}{d\tau }}=\left({\frac {cdt}{d \tau }},{\frac {d\mathbf {x} }{d\tau }}\right)}$

En lo anterior, el tiempo propio del camino a través del espacio-tiempo , llamado línea del mundo, seguido de la velocidad del objeto que lo anterior representa, y${\estilo de visualización {\tau}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {X}}=(ct,\mathbf {x})}$

es la posición de cuatro ; las coordenadas de un evento . Debido a la dilatación del tiempo , el tiempo propio es el tiempo entre dos eventos en un marco de referencia donde tienen lugar en la misma ubicación. El tiempo propio está relacionado con el tiempo de coordenadas t por:

${\displaystyle {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {v} )}}}$

¿Dónde está el factor de Lorentz ?${\displaystyle {\gamma }(\mathbf {v} )}$

${\displaystyle \gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} /c^{2}}}}\,\rightleftharpoons \,\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}.}$

(se puede citar cualquiera de las dos versiones) por lo que sigue:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {U} }}=\gamma (\mathbf {v} )(c,\mathbf {v} )}$

Los tres primeros términos, a excepción del factor de , son la velocidad vista por el observador en su propio marco de referencia. La se determina por la velocidad entre el marco de referencia del observador y el marco del objeto, que es el marco en el que se mide su tiempo propio. Esta cantidad es invariante bajo la transformación de Lorentz, por lo que para verificar lo que ve un observador en un marco de referencia diferente, simplemente se multiplica el cuatrivector de velocidad por la matriz de transformación de Lorentz entre los dos marcos de referencia.${\displaystyle {\gamma (\mathbf {v} )}}$${\displaystyle {\gamma (\mathbf {v} )}}$${\displaystyle \mathbf {v}}$

La masa de un objeto medida en su propio marco de referencia se denomina masa en reposo o masa invariante y, a veces, se escribe . Si un objeto se mueve con velocidad en algún otro marco de referencia, la cantidad a menudo se denomina "masa relativista" del objeto en ese marco. ^[1] Algunos autores utilizan para denotar masa en reposo, pero para mayor claridad, este artículo seguirá la convención de utilizar para la masa relativista y para la masa en reposo. ^[2]$estilo de visualización m_{0}}$${\displaystyle \mathbf {v}}$${\displaystyle m=\gamma(\mathbf{v})m_{0}}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización m}$$estilo de visualización m_{0}}$

Lev Okun ha sugerido que el concepto de masa relativista "no tiene justificación racional hoy en día" y que ya no debería enseñarse. ^[3] Otros físicos, incluidos Wolfgang Rindler y TR Sandin, sostienen que el concepto es útil. ^[4] Véase masa en relatividad especial para obtener más información sobre este debate.

Una partícula cuya masa en reposo es cero se denomina sin masa . Se cree que los fotones y los gravitones no tienen masa, y los neutrinos casi.

Hay un par de formas (equivalentes) de definir el momento y la energía en la relatividad especial. Un método utiliza las leyes de conservación . Para que estas leyes sigan siendo válidas en la relatividad especial, deben ser ciertas en todos los marcos de referencia posibles. Sin embargo, si uno hace algunos experimentos mentales simples utilizando las definiciones newtonianas de momento y energía, se ve que estas cantidades no se conservan en la relatividad especial. Se puede rescatar la idea de conservación haciendo algunas pequeñas modificaciones a las definiciones para tener en cuenta las velocidades relativistas . Son estas nuevas definiciones las que se toman como las correctas para el momento y la energía en la relatividad especial.

El cuadrimpulso de un objeto es sencillo, idéntico en forma al cuadrimpulso clásico, pero reemplazando 3 vectores por 4 vectores:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {P} }}=m_{0}{\boldsymbol {\mathbf {U} }}=(E/c,\mathbf {p} )}$

La energía y el momento de un objeto con masa invariante , que se mueve con velocidad con respecto a un marco de referencia dado, están dados respectivamente por$estilo de visualización m_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {v}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}c^{2}\\\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {v} )m_{0 }\mathbf {v} \end{alineado}}}$

El factor proviene de la definición de la cuadrivelocidad descrita anteriormente. La apariencia de puede expresarse de una manera alternativa, que se explicará en la siguiente sección.${\estilo de visualización \gamma}$${\estilo de visualización \gamma}$

La energía cinética, , se define como${\estilo de visualización K}$

${\displaystyle K=(\gamma -1)m_{0}c^{2}=E-m_{0}c^{2}\,,}$

y la velocidad en función de la energía cinética viene dada por

${\displaystyle v=c{\sqrt {1-\left({\frac {m_{0}c^{2}}{K+m_{0}c^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {c{\sqrt {K(K+2m_{0}c^{2})}}}{K+m_{0}c^{2}}}={\frac {c{\sqrt {(E-m_{0}c^{2})(E+m_{0}c^{2})}}}{E}}={\frac {pc^{2}}{E}}\,.}$

El momento espacial puede escribirse como , conservando la forma de la mecánica newtoniana con la masa relativista sustituida por la masa newtoniana. Sin embargo, esta sustitución falla para algunas cantidades, incluidas la fuerza y ​​la energía cinética. Además, la masa relativista no es invariante bajo las transformaciones de Lorentz, mientras que la masa en reposo sí lo es. Por esta razón, muchas personas prefieren usar la masa en reposo y explicarla explícitamente a través de la 4-velocidad o el tiempo de coordenadas.${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$${\displaystyle \gamma }$

Se puede obtener una relación simple entre energía, momento y velocidad a partir de las definiciones de energía y momento multiplicando la energía por , multiplicando el momento por y notando que las dos expresiones son iguales. Esto da como resultado${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle c^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {p} c^{2}=E\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} }$puede entonces eliminarse dividiendo esta ecuación por y elevando al cuadrado,${\displaystyle c}$

${\displaystyle (pc)^{2}=E^{2}(v/c)^{2}}$

dividiendo la definición de energía por y elevando al cuadrado,${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle E^{2}\left(1-(v/c)^{2}\right)=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

y sustituyendo:

${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

Esta es la relación energía-momento relativista .

Si bien la energía y el momento dependen del marco de referencia en el que se miden, la cantidad es invariable. Su valor es multiplicado por el cuadrado de la magnitud del vector de 4 momentos .${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}}$${\displaystyle -c^{2}}$

La masa invariante de un sistema puede escribirse como

${\displaystyle {m_{0}}_{\text{tot}}={\frac {\sqrt {E_{\text{tot}}^{2}-(p_{\text{tot}}c)^{2}}}{c^{2}}}}$

Debido a la energía cinética y la energía de enlace, esta cantidad es diferente de la suma de las masas en reposo de las partículas que componen el sistema. La masa en reposo no es una cantidad que se conserva en la relatividad especial, a diferencia de lo que ocurre en la física newtoniana. Sin embargo, incluso si un objeto cambia internamente, siempre que no intercambie energía o momento con su entorno, su masa en reposo no cambiará y se puede calcular con el mismo resultado en cualquier sistema de referencia.

La ecuación relativista de energía-momento es válida para todas las partículas, incluso para las partículas sin masa para las que m ₀ = 0. En este caso:

${\displaystyle E=pc}$

Cuando se sustituye en Ev  =  c ² p , esto da v  =  c : las partículas sin masa (como los fotones ) siempre viajan a la velocidad de la luz.

Obsérvese que la masa en reposo de un sistema compuesto generalmente será ligeramente diferente de la suma de las masas en reposo de sus partes, ya que, en su marco de referencia en reposo, su energía cinética aumentará su masa y su energía de enlace (negativa) disminuirá su masa. En particular, una "caja de luz" hipotética tendría masa en reposo aunque estuviera hecha de partículas que no la tienen, ya que sus momentos se cancelarían.

Si observamos la fórmula anterior para la masa invariante de un sistema, vemos que, cuando un único objeto masivo está en reposo ( v = 0 , p = 0 ), queda una masa distinta de cero: m ₀ = E / c ² . La energía correspondiente, que también es la energía total cuando una única partícula está en reposo, se denomina "energía en reposo". En los sistemas de partículas que se ven desde un marco inercial en movimiento, la energía total aumenta y también lo hace el momento. Sin embargo, para las partículas individuales la masa en reposo permanece constante, y para los sistemas de partículas la masa invariante permanece constante, porque en ambos casos, la energía y el momento aumentan se restan entre sí y se cancelan. Por lo tanto, la masa invariante de los sistemas de partículas es una constante calculada para todos los observadores, al igual que la masa en reposo de las partículas individuales.

Para sistemas de partículas, la ecuación de energía-momento requiere sumar los vectores de momento de las partículas:

${\displaystyle E^{2}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$

El sistema inercial en el que los momentos de todas las partículas suman cero se denomina sistema del centro del momento . En este sistema especial, la ecuación relativista de energía-momento tiene p = 0 y, por lo tanto, da la masa invariante del sistema simplemente como la energía total de todas las partes del sistema dividida por c ²

${\displaystyle m_{0,\,{\rm {system}}}=\sum _{n}E_{n}/c^{2}}$

Esta es la masa invariante de cualquier sistema que se mide en un marco donde tiene un momento total cero, como una botella de gas caliente en una balanza. En un sistema de este tipo, la masa que pesa la balanza es la masa invariante y depende de la energía total del sistema. Por lo tanto, es mayor que la suma de las masas en reposo de las moléculas, pero también incluye todas las energías totales del sistema. Al igual que la energía y el momento, la masa invariante de los sistemas aislados no se puede cambiar mientras el sistema permanezca totalmente cerrado (no se permite que entre ni salga masa ni energía), porque la energía relativista total del sistema permanece constante mientras nada pueda entrar o salir de él.

Un aumento en la energía de un sistema de este tipo, que se produce al trasladar el sistema a un marco inercial que no es el marco del centro del momento , provoca un aumento en la energía y el momento sin un aumento en la masa invariante. E = m ₀ c ² , sin embargo, se aplica solo a sistemas aislados en su marco del centro del momento donde el momento suma cero.

Si tomamos esta fórmula al pie de la letra, vemos que en la relatividad, la masa es simplemente energía con otro nombre (y medida en unidades diferentes). En 1927, Einstein comentó sobre la relatividad especial: "Según esta teoría, la masa no es una magnitud inalterable, sino una magnitud que depende de la cantidad de energía (y, de hecho, es idéntica a ella)". ^[5]

En un sistema "totalmente cerrado" (es decir, un sistema aislado ), la energía total, el momento total y, por lo tanto, la masa invariante total se conservan. Sin embargo, la fórmula de Einstein para el cambio de masa se traduce a su forma más simple Δ E = Δ mc ² solo en sistemas no cerrados en los que se permite que la energía escape (por ejemplo, en forma de calor y luz) y, por lo tanto, la masa invariante se reduce. La ecuación de Einstein muestra que tales sistemas deben perder masa, de acuerdo con la fórmula anterior, en proporción a la energía que pierden hacia el entorno. A la inversa, si se pueden medir las diferencias de masa entre un sistema antes de que experimente una reacción que libera calor y luz, y el sistema después de la reacción cuando el calor y la luz han escapado, se puede estimar la cantidad de energía que escapa del sistema.

En las reacciones nucleares y químicas, dicha energía representa la diferencia de energías de enlace de los electrones en los átomos (en química) o entre nucleones en los núcleos (en las reacciones atómicas). En ambos casos, la diferencia de masa entre los reactivos y los productos (enfriados) mide la masa de calor y luz que escapará de la reacción y, por lo tanto (usando la ecuación) da la energía equivalente de calor y luz que puede emitirse si la reacción continúa.

En química, las diferencias de masa asociadas con la energía emitida son de alrededor de 10 ⁻⁹ de la masa molecular. ^[6] Sin embargo, en las reacciones nucleares las energías son tan grandes que están asociadas con diferencias de masa, que pueden estimarse de antemano, si se han pesado los productos y reactivos (los átomos pueden pesarse indirectamente utilizando masas atómicas, que siempre son las mismas para cada nucleido ). Por lo tanto, la fórmula de Einstein se vuelve importante cuando se han medido las masas de diferentes núcleos atómicos. Al observar la diferencia de masas, se puede predecir qué núcleos han almacenado energía que puede liberarse mediante ciertas reacciones nucleares , proporcionando información importante que fue útil en el desarrollo de la energía nuclear y, en consecuencia, de la bomba nuclear . Históricamente, por ejemplo, Lise Meitner pudo utilizar las diferencias de masa en los núcleos para estimar que había suficiente energía disponible para hacer de la fisión nuclear un proceso favorable. Las implicaciones de esta forma especial de la fórmula de Einstein la han convertido en una de las ecuaciones más famosas de toda la ciencia.

La ecuación E  =  m ₀ c ² se aplica únicamente a sistemas aislados en su marco de centro de momento . Se ha entendido erróneamente que significa que la masa puede convertirse en energía, después de lo cual la masa desaparece. Sin embargo, las explicaciones populares de la ecuación aplicada a los sistemas incluyen sistemas abiertos (no aislados) para los cuales se permite que escape el calor y la luz, cuando de lo contrario habrían contribuido a la masa ( masa invariante ) del sistema.

Históricamente, la confusión sobre la conversión de masa en energía se ha visto facilitada por la confusión entre masa y " materia ", donde la materia se define como partículas fermiónicas . En esta definición, la radiación electromagnética y la energía cinética (o calor) no se consideran "materia". En algunas situaciones, la materia puede, de hecho, convertirse en formas de energía no materiales (véase más arriba), pero en todas estas situaciones, las formas de energía materiales y no materiales aún conservan su masa original.

En los sistemas aislados (cerrados a todo intercambio de masa y energía), la masa nunca desaparece en el marco del centro del momento, porque la energía no puede desaparecer. En cambio, esta ecuación, en contexto, significa solamente que cuando se agrega o se escapa energía de un sistema en el marco del centro del momento, se medirá que el sistema ganó o perdió masa, en proporción a la energía agregada o eliminada. Por lo tanto, en teoría, si una bomba atómica se colocara en una caja lo suficientemente fuerte como para soportar su explosión y se detonase en una balanza, la masa de este sistema cerrado no cambiaría y la balanza no se movería. Solamente cuando se abriera una "ventana" transparente en la caja llena de plasma superfuerte y se permitiera que la luz y el calor escaparan en un haz, y que los componentes de la bomba se enfriaran, el sistema perdería la masa asociada con la energía de la explosión. En una bomba de 21 kilotones, por ejemplo, se crea aproximadamente un gramo de luz y calor. Si se permitiera que este calor y esta luz escaparan, los restos de la bomba perderían un gramo de masa, al enfriarse. En este experimento mental, la luz y el calor se llevan el gramo de masa y, por lo tanto, depositarían este gramo de masa en los objetos que los absorben. ^[7]

En la mecánica relativista, el momento de masa variable en el tiempo

${\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {v} \right)}$

y momento angular 3 orbital

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }$

de una partícula puntual se combinan en un bivector de cuatro dimensiones en términos de la 4-posición X y el 4-momento P de la partícula: ^{[8] [9]}

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} }$

donde ∧ denota el producto exterior . Este tensor es aditivo: el momento angular total de un sistema es la suma de los tensores de momento angular para cada constituyente del sistema. Por lo tanto, para un conjunto de partículas discretas, se suman los tensores de momento angular sobre las partículas o se integra la densidad de momento angular sobre la extensión de una distribución de masa continua.

Cada uno de los seis componentes forma una cantidad conservada cuando se agrega con los componentes correspondientes de otros objetos y campos.

En relatividad especial, la segunda ley de Newton no se cumple en la forma F = m a , pero sí si se expresa como

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$

donde p = γ( v ) m ₀ v es el momento definido anteriormente y m ₀ es la masa invariante . Por lo tanto, la fuerza está dada por

${\displaystyle \mathbf {F} =\gamma ^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\ \mathrm {where} \ \gamma =\gamma (\mathbf {v} )}$

Derivación

A partir de ${\displaystyle \mathbf {F} =m_{0}{\frac {d(\gamma (\mathbf {v} )\,\mathbf {v} )}{dt}}=m_{0}\left({\frac {d\gamma (\mathbf {v} )}{dt}}\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} ){\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right).}$ Realizando las derivadas se obtiene ${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} \right)\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} .}$ Si la aceleración se separa en la parte paralela a la velocidad ( a ∥ ) y la parte perpendicular a ella ( a ⊥ ) , de modo que: ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }\,,\quad \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\perp }=0\,,\quad \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel }\,,}$ Uno consigue ${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel }\right)\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,(\mathbf {a} _{\perp }+\mathbf {a} _{\parallel })\,.}$ Por construcción a ∥ y v son paralelas, por lo que ( v · a ∥ ) v es un vector con magnitud v 2 a ∥ en la dirección de v (y por lo tanto a ∥ ) que permite el reemplazo: ${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel })\mathbf {v} =v^{2}\mathbf {a} _{\parallel }}$ entonces ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}v^{2}}{c^{2}}}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,(\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp })\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{\gamma (\mathbf {v} )^{2}}}\right)\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}+1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\end{aligned}}\,}$

Por consiguiente, en algunos textos antiguos, γ( v ) ³ m ₀ se denomina masa longitudinal y γ( v ) m ₀ se denomina masa transversal , que numéricamente es la misma que la masa relativista . Véase masa en relatividad especial .

Si uno invierte esto para calcular la aceleración a partir de la fuerza, se obtiene

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {1}{m_{0}\gamma (\mathbf {v} )}}\left(\mathbf {F} -{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} )\mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,.}$

La fuerza descrita en esta sección es la fuerza tridimensional clásica que no es un cuatrivector . Esta fuerza tridimensional es el concepto apropiado de fuerza, ya que es la fuerza que obedece a la tercera ley de movimiento de Newton . No debe confundirse con la llamada cuatrifuerza , que es simplemente la fuerza tridimensional en el marco comóvil del objeto transformado como si fuera un cuatrivector. Sin embargo, la densidad de la fuerza tridimensional (momento lineal transferido por unidad de cuatrivolumen ) es un cuatrivector ( densidad de peso +1) cuando se combina con el negativo de la densidad de potencia transferida.

El par que actúa sobre una partícula puntual se define como la derivada del tensor de momento angular dado anteriormente con respecto al tiempo propio: ^{[10] [11]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F} }$

o en componentes tensoriales:

${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }}$

donde F es la fuerza 4d que actúa sobre la partícula en el evento X. Al igual que con el momento angular, el torque es aditivo, por lo que para un objeto extendido se suma o integra sobre la distribución de masa.

El teorema de trabajo-energía dice ^{[12] que} el cambio en la energía cinética es igual al trabajo realizado sobre el cuerpo. En la relatividad especial:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K=W=[\gamma _{1}-\gamma _{0}]m_{0}c^{2}.\end{aligned}}}$

Derivación

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K=W&=\int _{\mathbf {x} _{0}}^{\mathbf {x} _{1}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} \\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d}{dt}}(\gamma m_{0}\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} dt\\&=\left.\gamma m_{0}\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} \right|_{t_{0}}^{t_{1}}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\gamma m_{0}\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}dt\\&=\left.\gamma m_{0}v^{2}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}-m_{0}\int _{v_{0}}^{v_{1}}\gamma v\,dv\\&=m_{0}\left(\left.\gamma v^{2}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}-c^{2}\int _{v_{0}}^{v_{1}}{\frac {2v/c^{2}}{2{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\,dv\right)\\&=\left.m_{0}\left({\frac {v^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+c^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\right)\right|_{t_{0}}^{t_{1}}\\&=\left.{\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}\\&=\left.{\gamma m_{0}c^{2}}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}\\&=\gamma _{1}m_{0}c^{2}-\gamma _{0}m_{0}c^{2}.\end{aligned}}}$

Si en el estado inicial el cuerpo estaba en reposo, por lo que v ₀  = 0 y γ ₀ ( v ₀ ) = 1, y en el estado final tiene velocidad v ₁  =  v , siendo γ ₁ ( v ₁ ) = γ( v ), la energía cinética es entonces;

${\displaystyle K=[\gamma (v)-1]m_{0}c^{2}\,,}$

un resultado que puede obtenerse directamente restando la energía en reposo m ₀ c ² de la energía relativista total γ( v ) m ₀ c ² .

El factor de Lorentz γ( v ) se puede expandir en una serie de Taylor o una serie binomial para ( v / c ) ² < 1, obteniendo:

${\displaystyle \gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)=1+{\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}+{\dfrac {3}{8}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{4}+{\dfrac {5}{16}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{6}+\cdots }$

y por consiguiente

${\displaystyle E-m_{0}c^{2}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}}{c^{2}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}}{c^{4}}}+\cdots ;}$

${\displaystyle \mathbf {p} =m_{0}\mathbf {v} +{\frac {1}{2}}{\frac {m_{0}v^{2}\mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}\mathbf {v} }{c^{4}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}\mathbf {v} }{c^{6}}}+\cdots .}$

Para velocidades mucho menores que la de la luz, se pueden ignorar los términos con c ² y mayores en el denominador. Estas fórmulas se reducen entonces a las definiciones estándar de la energía cinética y el momento newtonianos. Así es como debería ser, ya que la relatividad especial debe coincidir con la mecánica newtoniana a bajas velocidades.

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