Expulsando a los nueves

La extracción de nueves es cualquiera de tres procedimientos aritméticos: ^[1]

• Suma de los dígitos decimales de un número entero positivo , ignorando opcionalmente cualquier 9 o dígito que sume 9 o un múltiplo de 9. El resultado de este procedimiento es un número que es menor que el original siempre que el original tenga más de un dígito, deja el mismo resto que el original después de la división por nueve y puede obtenerse del original restándole un múltiplo de 9. El nombre del procedimiento deriva de esta última propiedad.
• Aplicación repetida de este procedimiento a los resultados obtenidos en aplicaciones anteriores hasta obtener un número de un solo dígito. Este número de un solo dígito se denomina " raíz digital " del original. Si un número es divisible por 9, su raíz digital es 9. En caso contrario, su raíz digital es el residuo que queda después de ser dividido por 9.
• Prueba de cordura en la que se utilizan los procedimientos mencionados anteriormente para comprobar si hay errores en los cálculos aritméticos. La prueba se lleva a cabo aplicando a las raíces digitales de los operandos la misma secuencia de operaciones aritméticas que a los propios operandos. Si no se cometen errores en los cálculos, las raíces digitales de las dos resultantes serán las mismas. Por tanto, si son diferentes, se deben haber cometido uno o más errores en los cálculos.

Para "eliminar nueves" de un solo número, sus dígitos decimales se pueden sumar simplemente para obtener la llamada suma de dígitos . La suma de dígitos de 2946, por ejemplo, es 2 + 9 + 4 + 6 = 21. Como 21 = 2946 − 325 × 9, el efecto de tomar la suma de dígitos de 2946 es "eliminar" 325 lotes de 9 de él. Si se ignora el dígito 9 al sumar los dígitos, el efecto es "eliminar" un 9 más para obtener el resultado 12.

En términos más generales, al sumar dígitos para descartar los nueves, se puede ignorar cualquier conjunto de dígitos que sumen 9 o un múltiplo de 9. En el número 3264, por ejemplo, los dígitos 3 y 6 suman 9. Por lo tanto, si ignoramos estos dos dígitos y sumamos los otros dos, obtenemos 2 + 4 = 6. Como 6 = 3264 − 362 × 9, este cálculo ha dado como resultado descartar 362 grupos de 9 de 3264.

Para un número arbitrario, , normalmente representado por la secuencia de dígitos decimales, , la suma de los dígitos es . La diferencia entre el número original y la suma de sus dígitos es${\displaystyle 10^{n}d_{n}+10^{n-1}d_{n-1}+\cdots +d_{0}}$${\displaystyle d_{n}d_{n-1}\dots d_{0}}$${\displaystyle d_{n}+d_{n-1}+\cdots +d_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&10^{n}d_{n}+10^{n-1}d_{n-1}+\cdots +d_{0}-\left(d_{n}+d_{n-1}+\cdots +d_{0}\right)\\={}&\left(10^{n}-1\right)d_{n}+\left(10^{n-1}-1\right)d_{n-1}+\cdots +9d_{1}.\end{aligned}}}$

Debido a que los números de la forma siempre son divisibles por 9 (ya que ), reemplazar el número original por la suma de sus dígitos tiene el efecto de expulsar${\displaystyle 10^{i}-1}$${\displaystyle 10^{i}-1=9\times \left(10^{i-1}+10^{i-2}+\cdots +1\right)}$

${\displaystyle {\frac {10^{n}-1}{9}}d_{n}+{\frac {10^{n-1}-1}{9}}d_{n-1}+\cdots +d_{1}}$

lotes de 9.

Si se aplica repetidamente el procedimiento descrito en el párrafo anterior al resultado de cada aplicación anterior, el resultado final será un número de un solo dígito del que se habrán "extraído" todos los nueves, con la posible excepción de uno. El número de un solo dígito resultante se denomina raíz digital del original. La excepción se produce cuando el número original tiene una raíz digital de 9, cuya suma de dígitos es él mismo, y por lo tanto no se eliminará al realizar más sumas de dígitos.

Por ejemplo, el número 12565 tiene una suma de dígitos de 1+2+5+6+5 = 19, que, a su vez, tiene una suma de dígitos de 1+9=10, que, a su vez, tiene una suma de dígitos de 1+0=1, un número de un solo dígito. La raíz digital de 12565 es, por lo tanto, 1, y su cálculo tiene el efecto de eliminar (12565 - 1)/9 = 1396 lotes de 9 de 12565.

Para comprobar el resultado de un cálculo aritmético eliminando nueves, cada número del cálculo se reemplaza por su raíz digital y se aplican los mismos cálculos a estas raíces digitales. La raíz digital del resultado de este cálculo se compara luego con la del resultado del cálculo original. Si no se ha cometido ningún error en los cálculos, estas dos raíces digitales deben ser iguales. A continuación se ofrecen ejemplos en los que se ha utilizado la eliminación de nueves para comprobar la suma , la resta , la multiplicación y la división .

En cada sumando , tacha todos los 9 y pares de dígitos que sumen 9, luego suma lo que quede. Estos nuevos valores se llaman excesos . Suma los dígitos sobrantes para cada sumando hasta que se alcance un dígito. Ahora procesa la suma y también los excesos para obtener un exceso final .

${\displaystyle {\bcancel {3}}\ \ 2\ {\bcancel {6}}\ 4\ }$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle {\bcancel {6}}}$	2 y 4 suman 6.
${\displaystyle {\bcancel {8}}{\bcancel {4}}{\bcancel {1}}{\bcancel {5}}}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle \ 0}$	8+1=9 y 4+5=9; no quedan dígitos.
${\displaystyle 2\ {\bcancel {9}}\ 4\ \ 6\ }$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle {\bcancel {3}}}$	2, 4 y 6 son 12; 1 y 2 son 3.
${\displaystyle {\underline {+{\bcancel {3}}\ 2\ \ 0\ {\bcancel {6}}}}}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle \ 2}$	2 y 0 son 2.
${\displaystyle {\bcancel {1}}\ 7\ {\bcancel {8}}\ 3\ \ 1\ }$		${\displaystyle {\bigg \Downarrow }}$	6, 0, 3 y 2 suman 11; 1 y 1 suman 2.
${\displaystyle \Downarrow }$
${\displaystyle {2}}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle 2}$	El exceso de la suma debe ser igual al exceso final de los sumandos.

${\displaystyle {\bcancel {5}}{\bcancel {6}}{\bcancel {4}}{\bcancel {3}}}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle 0(9)}$	Primero, tacha todos los 9 y los dígitos que suman 9 tanto en el minuendo como en el sustraendo (en cursiva).
${\displaystyle {\underline {-\ 2\ {\bcancel {8}}{\bcancel {9}}{\bcancel {1}}}}}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle -2}$	Sume los dígitos restantes para cada valor hasta llegar a un dígito.
${\displaystyle {\bcancel {2}}\ 7\ {\bcancel {5}}{\bcancel {2}}}$		${\displaystyle {\bigg \Downarrow }}$	Ahora siga el mismo procedimiento con la diferencia, llegando a un solo dígito.
${\displaystyle \Downarrow }$			Como restar 2 de cero da un número negativo, toma prestado un 9 del minuendo.
${\displaystyle {7}}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle 7}$	La diferencia entre los excesos del minuendo y del sustraendo debe ser igual al exceso de diferencia.

${\displaystyle {\bcancel {5}}{\bcancel {4}}\ 8\ }$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle 8}$	Primero, tacha todos los 9 y los dígitos que suman 9 en cada factor (en cursiva).
${\displaystyle {\underline {\ \ \ \ \ \ \times \ 6\ \ 2\ {\bcancel {9}}}}}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle 8}$	Sume los dígitos restantes de cada multiplicando hasta llegar a un dígito.
${\displaystyle {{\bcancel {3}}\ 4\ \ 4\ {\bcancel {6}}{\bcancel {9}}\ 2\ }}$		${\displaystyle {\bigg \Downarrow }}$	Multiplica los dos excesos y luego suma hasta llegar a un dígito.
${\displaystyle \Downarrow }$			Haz lo mismo con el producto , tachando los 9 y obteniendo un dígito.
${\displaystyle {1}}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle 1}$*	El exceso del producto debe ser igual al exceso final de los factores.

^* 8 por 8 es 64; 6 y 4 son 10; 1 y 0 son 1.

${\displaystyle {\bcancel {27}}{\bcancel {54}}62}$	${\displaystyle \div }$	${\displaystyle 877}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle 314}$	${\displaystyle r.}$	${\displaystyle 84}$	Tacha todos los 9 y dígitos que suman 9 en el divisor , cociente y resto .
${\displaystyle \Downarrow }$		${\displaystyle \Downarrow }$		${\displaystyle \Downarrow }$		${\displaystyle \Downarrow }$	Sume todos los dígitos no cruzados de cada valor hasta alcanzar un dígito para cada valor.
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle (4}$	${\displaystyle \times }$	${\displaystyle 8)}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 3}$	El exceso de dividendos debe ser igual al exceso final de los otros valores. En otras palabras, realiza el mismo procedimiento que en una multiplicación, sólo que al revés. 8x4=32 que es 5, 5+3 = 8. Y 8=8.

El método funciona porque los números originales son "decimales" (base 10), se elige que el módulo difiera en 1 y la eliminación es equivalente a tomar una suma de dígitos . En general, dos enteros "grandes", x e y , expresados ​​en cualquier módulo menor como x' e y' (por ejemplo, módulo 7) siempre tendrán la misma suma, diferencia o producto que sus originales. Esta propiedad también se conserva para la "suma de dígitos" donde la base y el módulo difieren en 1.

Si un cálculo era correcto antes de la extracción, la extracción en ambos lados conservará la exactitud. Sin embargo, es posible que dos números enteros previamente desiguales sean idénticos módulo 9 (en promedio, una novena parte de las veces).

La operación no funciona con fracciones, ya que un número fraccionario dado no tiene una representación única.

Un truco para aprender a sumar con nueves es sumar diez al dígito y contar hacia atrás uno. Como estamos sumando 1 al dígito de las decenas y restando uno al dígito de las unidades, la suma de los dígitos debería permanecer igual. Por ejemplo, 9 + 2 = 11 con 1 + 1 = 2. Al sumar 9 a sí mismo, esperaríamos que la suma de los dígitos fuera 9 de la siguiente manera: 9 + 9 = 18, (1 + 8 = 9) y 9 + 9 + 9 = 27, (2 + 7 = 9). Veamos una multiplicación simple: 5 × 7 = 35, (3 + 5 = 8). Ahora considere (7 + 9) × 5 = 16 × 5 = 80, (8 + 0 = 8) o 7 × (9 + 5) = 7 × 14 = 98, (9 + 8 = 17), (1 + 7 = 8).

Cualquier número entero no negativo se puede escribir como 9×n + a, donde 'a' es un dígito de 0 a 8, y 'n' es algún número entero no negativo. Por lo tanto, utilizando la regla distributiva, (9×n + a)×(9×m + b)= 9×9×n×m + 9(am + bn) + ab. Como los dos primeros factores se multiplican por 9, sus sumas terminarán siendo 9 o 0, dejándonos con 'ab'. En nuestro ejemplo, 'a' era 7 y 'b' era 5. Esperaríamos que en cualquier sistema base, el número anterior a esa base se comportara igual que el nueve.

Si bien es sumamente útil, la eliminación de nueves no detecta todos los errores cometidos al realizar cálculos. Por ejemplo, el método de eliminación de nueves no reconocería el error en un cálculo de 5 × 7 que produjera cualquiera de los resultados erróneos 8, 17, 26, etc. (es decir, cualquier resultado congruente con 8 módulo 9). En particular, la eliminación de nueves no detecta errores de transposición , como 1324 en lugar de 1234. En otras palabras, el método solo detecta resultados erróneos cuya raíz digital es uno de los 8 dígitos que es diferente al del resultado correcto.

Una forma de extraer nueves conocida por los matemáticos griegos antiguos fue descrita por el obispo romano Hipólito (170-235) en La refutación de todas las herejías , y más brevemente por el filósofo neoplatónico sirio Jámblico (c.245-c.325) en su comentario sobre la Introducción a la aritmética de Nicómaco de Gerasa . ^[2] Sin embargo, tanto las descripciones de Hipólito como las de Jámblico se limitaron a una explicación de cómo se usaban sumas digitales repetidas de números griegos para calcular una "raíz" única ^[3] entre 1 y 9. Ninguno de ellos mostró conocimiento de cómo se podía usar el procedimiento para verificar los resultados de los cálculos aritméticos.

La obra más antigua que se conserva y que describe cómo se puede utilizar la eliminación de nueves para comprobar los resultados de los cálculos aritméticos es el Mahâsiddhânta , escrito alrededor de 950 por el matemático y astrónomo indio Aryabhata II (c.920–c.1000). ^[4] Escribiendo alrededor de 1020, el erudito persa Ibn Sina ( Avicena ) (c.980–1037) también dio detalles completos de lo que llamó el "método hindú" de comprobar los cálculos aritméticos mediante la eliminación de nueves. ^[5]

El procedimiento fue descrito por Fibonacci en su Liber Abaci . ^[6]

Este método se puede generalizar para determinar los restos de la división por ciertos números primos.

Dado que 3·3 = 9,

${\displaystyle n{\bmod {3}}=(n{\bmod {9}}){\bmod {3}}.}$

Así que podemos usar el resto de eliminar los nueves para obtener el resto de la división por tres.

La eliminación de noventa y nueves se realiza sumando grupos de dos dígitos en lugar de un solo dígito.

Dado que 11,9 = 99,

${\displaystyle n{\bmod {1}}1=(n{\bmod {9}}9){\bmod {1}}1.}$

Por lo tanto, podemos utilizar el resto de la eliminación de noventa y nueves para obtener el resto de la división por once. Esto se llama eliminación de onces . El mismo resultado también se puede calcular directamente sumando y restando alternativamente los dígitos que forman . Once divide si y solo si once divide esa suma. ^[7]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

La extracción de novecientos noventa y nueve se realiza sumando grupos de tres dígitos.

Dado que 37·27 = 999,

${\displaystyle n{\bmod {3}}7=(n{\bmod {9}}99){\bmod {3}}7.}$

Así que podemos usar el resto de eliminar novecientos noventa y nueve para obtener el resto de la división por treinta y siete.

• Datta, Bibhatibhusan ; Singh, Avadhesh Narayan (1962) [1935], Historia de las matemáticas hindúes: un libro de consulta, Bombay: Asia Publishing House
• Fuller, R. Buckminster (abril de 1982), Sinergética: exploraciones en la geometría del pensamiento (nueva edición), Nueva York, NY: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-065320-4
• Heath, Thomas (1921), Una historia de las matemáticas griegas, vol. I: De Tales a Euclides , Oxford: Oxford University Press
• Hipólito de Roma (1919) [c.230], La refutación de todas las herejías, traducido por MacMahon, JH, en Roberts & Donaldson (1919, pp. 9-153)
• Krantz, Steven G. (2010), Una historia episódica de las matemáticas: la cultura matemática a través de la resolución de problemas, The Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-766-3, LCCN2010921168 ​
• Long, Calvin T. (1972), Introducción elemental a la teoría de números (2.ª ed.), Lexington: DC Heath and Company , LCCN  77171950
• Roberts, Alexander ; Donaldson, James , eds. (1919), Los Padres antenicenos. Traducciones de los escritos de los Padres hasta el año 325 d. C., vol. V, reimpresión estadounidense de la edición de Edimburgo, Nueva York, NY: Charles Scribner's Sons

• Weisstein, Eric W. "Expulsando nueves". MathWorld .
• "Numerología" de R. Buckminster Fuller
• "Números paranormales" de Paul Niquette
• Grime, James. "Casting Out Nines" (vídeo) . YouTube . Brady Haran . Consultado el 13 de septiembre de 2017 .