Dual (teoría de categorías)

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , la dualidad es una correspondencia entre las propiedades de una categoría C y las propiedades duales de la categoría opuesta C ^op . Dado un enunciado sobre la categoría C , al intercambiar la fuente y el destino de cada morfismo , así como al intercambiar el orden de composición de dos morfismos, se obtiene un enunciado dual correspondiente sobre la categoría opuesta C ^op . La dualidad, como tal, es la afirmación de que la verdad es invariante bajo esta operación sobre los enunciados. En otras palabras, si un enunciado es verdadero sobre C , entonces su enunciado dual es verdadero sobre C ^op . Además, si un enunciado es falso sobre C , entonces su dual tiene que ser falso sobre C ^op .

Dada una categoría concreta C , suele suceder que la categoría opuesta C ^op per se sea abstracta. C ^op no tiene por qué ser una categoría que surja de la práctica matemática. En este caso, se dice que otra categoría D también está en dualidad con C si D y C ^op son equivalentes como categorías .

En el caso en que C y su opuesto C ^op son equivalentes, dicha categoría es auto-dual. ^[1]

Definimos el lenguaje elemental de la teoría de categorías como el lenguaje de primer orden de dos tipos , con objetos y morfismos como tipos distintos, junto con las relaciones de un objeto que es la fuente o el destino de un morfismo y un símbolo para componer dos morfismos.

Sea σ cualquier enunciado en este lenguaje. Formamos el dual σ ^op de la siguiente manera:

1. Intercambie cada aparición de "fuente" en σ con "objetivo".
2. Intercambiar el orden de composición de los morfismos. Es decir, reemplazar cada ocurrencia de con${\estilo de visualización g\circ f}$${\estilo de visualización f\circ g}$

De manera informal, estas condiciones establecen que el dual de un enunciado se forma invirtiendo flechas y composiciones .

La dualidad es la observación de que σ es verdadera para alguna categoría C si y sólo si σ ^op es verdadera para C ^op . ^{[2] [3]}

• Un morfismo es un monomorfismo si implica . Realizando la operación dual, obtenemos el enunciado que implica Para un morfismo , esto es precisamente lo que significa que f sea un epimorfismo . En resumen, la propiedad de ser un monomorfismo es dual a la propiedad de ser un epimorfismo.${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$${\estilo de visualización g=h}$${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$${\displaystyle g=h.}$${\displaystyle f\colon B\a A}$

Aplicando la dualidad, esto significa que un morfismo en alguna categoría C es un monomorfismo si y sólo si el morfismo inverso en la categoría opuesta C ^op es un epimorfismo.

• Un ejemplo es el de invertir la dirección de las desigualdades en un orden parcial . Por lo tanto, si X es un conjunto y ≤ una relación de orden parcial, podemos definir una nueva relación de orden parcial ≤ _nueva mediante

x ≤ _nueva y si y sólo si y ≤ x .

Este ejemplo sobre órdenes es un caso especial, ya que los órdenes parciales corresponden a un cierto tipo de categoría en la que Hom( A , B ) puede tener como máximo un elemento. En aplicaciones a la lógica, esto parece una descripción muy general de la negación (es decir, las demostraciones se realizan en la dirección opuesta). Por ejemplo, si tomamos el opuesto de un retículo , encontraremos que los encuentros y las uniones tienen sus roles intercambiados. Esta es una forma abstracta de las leyes de De Morgan , o de la dualidad aplicada a los retículos.

• Límites y colímites son nociones duales.
• Las fibraciones y cofibraciones son ejemplos de nociones duales en topología algebraica y teoría de homotopía . En este contexto, la dualidad suele denominarse dualidad de Eckmann-Hilton .

• Functor adjunto
• Objeto dual
• Dualidad (matemáticas)
• Categoría opuesta
• Cuadrado de pulacion