Categoría Lusternik-Schnirelmann

En matemáticas , la categoría de Lyusternik–Schnirelmann (o categoría de Lusternik–Schnirelmann , LS-categoría ) de un espacio topológico es el invariante de homotopía definido como el número entero más pequeño tal que existe una cobertura abierta de con la propiedad de que cada función de inclusión es nula homotópica . Por ejemplo, si es una esfera, toma el valor dos.${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización k}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}_{1\leq i\leq k}}$${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle U_{i}\hookrightarrow X}$${\estilo de visualización X}$

En ocasiones se adopta una normalización diferente del invariante, que es una unidad menor que la definición anterior. Esta normalización ha sido adoptada en la monografía definitiva de Cornea, Lupton, Oprea y Tanré (véase más adelante).

En general, no es fácil calcular este invariante, que fue introducido inicialmente por Lazar Lyusternik y Lev Schnirelmann en relación con los problemas variacionales . Tiene una estrecha relación con la topología algebraica , en particular con la longitud de copa . En la normalización moderna, la longitud de copa es un límite inferior para la categoría LS.

Era, como se definió originalmente para el caso de una variedad , el límite inferior para el número de puntos críticos que una función de valor real en podía poseer (esto debe compararse con el resultado en la teoría de Morse que muestra que la suma de los números de Betti es un límite inferior para el número de puntos críticos de una función de Morse).${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$

El invariante se ha generalizado en varias direcciones diferentes (acciones grupales, foliaciones , complejos simpliciales , etc.).

• Conjetura de Ganea
• Categoría sistólica

• Ralph H. Fox , Sobre la categoría de Lusternik-Schnirelmann, Annals of Mathematics 42 (1941), 333–370.
• Floris Takens , El número mínimo de puntos críticos de una función en variedades compactas y la categoría de Lusternik-Schnirelmann , Inventiones Mathematicae 6 (1968), 197–244.
• Tudor Ganea , Algunos problemas sobre invariantes de homotopía numérica , Lecture Notes in Math. 249 (Springer, Berlín, 1971), págs. 13-22 MR 0339147
• Ioan James , Sobre la categoría, en el sentido de Lusternik-Schnirelmann, Topología 17 (1978), 331–348.
• Mónica Clapp y Dieter Puppe, Invariantes del tipo Lusternik-Schnirelmann y la topología de conjuntos críticos , Transactions of the American Mathematical Society 298 (1986), no. 2, 603–620.
• Octav Cornea, Gregory Lupton, John Oprea, Daniel Tanré, categoría Lusternik-Schnirelmann , Encuestas y monografías matemáticas, 103. American Mathematical Society , Providence, RI, 2003 ISBN 0-8218-3404-5