Lógica subjetiva

La lógica subjetiva es un tipo de lógica probabilística que tiene en cuenta explícitamente la incertidumbre epistémica y la confianza en las fuentes. En general, la lógica subjetiva es adecuada para modelar y analizar situaciones que implican incertidumbre y fuentes relativamente poco confiables. ^{[1] [2] [3]} Por ejemplo, se puede utilizar para modelar y analizar redes de confianza y redes bayesianas .

Los argumentos en lógica subjetiva son opiniones subjetivas sobre variables de estado que pueden tomar valores de un dominio (también conocido como espacio de estados ), donde un valor de estado puede considerarse como una proposición que puede ser verdadera o falsa. Una opinión binomial se aplica a una variable de estado binaria y se puede representar como una PDF (función de densidad de probabilidad) Beta . Una opinión multinomial se aplica a una variable de estado de múltiples valores posibles y se puede representar como una PDF (función de densidad de probabilidad) Dirichlet . A través de la correspondencia entre opiniones y distribuciones Beta/Dirichlet, la lógica subjetiva proporciona un álgebra para estas funciones. Las opiniones también están relacionadas con la representación de creencias en la teoría de creencias de Dempster-Shafer .

Un aspecto fundamental de la condición humana es que nadie puede determinar con absoluta certeza si una proposición sobre el mundo es verdadera o falsa. Además, siempre que se expresa la verdad de una proposición, lo hace un individuo y nunca puede considerarse que representa una creencia general y objetiva. Estas ideas filosóficas se reflejan directamente en el formalismo matemático de la lógica subjetiva.

Las opiniones subjetivas expresan creencias subjetivas sobre la verdad de los valores/proposiciones de estado con grados de incertidumbre epistémica , y pueden indicar explícitamente la fuente de la creencia cuando sea necesario. Una opinión generalmente se denota como donde es la fuente de la opinión y es la variable de estado a la que se aplica la opinión. La variable puede tomar valores de un dominio (también llamado espacio de estado), por ejemplo, denotado como . Se supone que los valores de un dominio son exhaustivos y mutuamente disjuntos, y se supone que las fuentes tienen una interpretación semántica común de un dominio. La fuente y la variable son atributos de una opinión. La indicación de la fuente se puede omitir cuando sea irrelevante.$Estilo de visualización: Omega _{X}^{A}$${\estilo de visualización A\,\!}$${\estilo de visualización X\,\!}$${\estilo de visualización X\,\!}$${\displaystyle \mathbb {X}}$

Sea un valor de estado en un dominio binario. Una opinión binomial sobre la verdad del valor de estado es el cuádruple ordenado donde:${\estilo de visualización x\,\!}$${\estilo de visualización x\,\!}$${\displaystyle \omega _{x}=(b_{x},d_{x},u_{x},a_{x})\,\!}$

${\displaystyle b_{x}\,\!}$:masa de creencias	Es la creencia que es verdadera.${\estilo de visualización x\,\!}$
${\displaystyle d_{x}\,\!}$:masa de incredulidad	Es la creencia que es falsa.${\estilo de visualización x\,\!}$
${\displaystyle u_{x}\,\!}$:masa de incertidumbre	es la cantidad de creencia no comprometida, también interpretada como incertidumbre epistémica.
${\displaystyle a_{x}\,\!}$: tasa base	es la probabilidad previa en ausencia de creencia o incredulidad.

Estos componentes satisfacen y . A continuación se enumeran las características de varias clases de opinión.${\displaystyle b_{x}+d_{x}+u_{x}=1\,\!}$${\displaystyle b_{x},d_{x},u_{x},a_{x}\en [0,1]\,\!}$

Una opinión	dónde${\displaystyle b_{x}=1\,\!}$	es una opinión absoluta que es equivalente a VERDADERO booleano,
	dónde${\displaystyle d_{x}=1\,\!}$	es una opinión absoluta que equivale a FALSO booleano,
	dónde${\displaystyle b_{x}+d_{x}=1\,\!}$	es una opinión dogmática que equivale a una probabilidad tradicional,
	dónde${\displaystyle b_{x}+d_{x}<1\,\!}$	es una opinión incierta que expresa grados de incertidumbre epistémica, y
	dónde${\displaystyle b_{x}+d_{x}=0\,\!}$	es una opinión vacía que expresa una incertidumbre epistémica total o una vacuidad total de creencia.

La probabilidad proyectada de una opinión binomial se define como .${\displaystyle \mathrm {P}_{x}=b_{x}+a_{x}u_{x}\,\!}$

Las opiniones binomiales se pueden representar en un triángulo equilátero como se muestra a continuación. Un punto dentro del triángulo representa un triple. Los ejes b , d , u van desde un borde hasta el vértice opuesto indicado por la etiqueta Creencia, Incredulidad o Incertidumbre. Por ejemplo, una opinión positiva fuerte se representa con un punto hacia el vértice Creencia inferior derecho. La tasa base, también llamada probabilidad previa, se muestra como un puntero rojo a lo largo de la línea base, y la probabilidad proyectada, , se forma proyectando la opinión sobre la base, paralela a la línea del proyector de tasa base. Las opiniones sobre tres valores/proposiciones X, Y y Z se visualizan en el triángulo de la izquierda, y sus PDF Beta (Funciones de densidad de probabilidad) equivalentes se visualizan en los gráficos de la derecha. También se muestran los valores numéricos y las descripciones cualitativas verbales de cada opinión.${\displaystyle (b_{x},d_{x},u_{x})\,\!}$${\displaystyle \mathrm {P} _ {x}\,\!}$

La PDF Beta normalmente se denota como donde y son sus dos parámetros de fuerza. La PDF Beta de una opinión binomial es la función donde es el peso previo no informativo, también llamado unidad de evidencia, ^[4] normalmente establecido en .${\displaystyle \mathrm {Beta} (p(x);\alpha ,\beta )\,\!}$${\estilo de visualización \alfa \,\!}$${\estilo de visualización \beta \,\!}$${\displaystyle \omega _{x}=(b_{x},d_{x},u_{x},a_{x})\,\!}$${\displaystyle \mathrm {Beta} (p(x);\alpha ,\beta ){\mbox{ donde }}{\begin{cases}\alpha &={\frac {Wb_{x}}{u_{x}}}+Wa_{x}\\\beta &={\frac {Wd_{x}}{u_{x}}}+W(1-a_{x})\end{cases}}\,\!}$${\estilo de visualización W}$${\estilo de visualización W=2}$

Sea una variable de estado que puede tomar valores de estado . Una opinión multinomial sobre es la tupla compuesta , donde es una distribución de masa de creencias sobre los posibles valores de estado de , es la masa de incertidumbre y es la distribución de probabilidad previa (tasa base) sobre los posibles valores de estado de . Estos parámetros satisfacen y así como .${\estilo de visualización X\,\!}$${\displaystyle x\in \mathbb {X} \,\!}$${\estilo de visualización X\,\!}$${\displaystyle \omega _{X}=(b_{X},u_{X},a_{X})\,\!}$${\displaystyle b_{X}\,\!}$${\estilo de visualización X\,\!}$${\displaystyle u_{X}\,\!}$${\displaystyle a_{X}\,\!}$${\estilo de visualización X\,\!}$${\displaystyle u_{X}+\sum b_{X}(x)=1\,\!}$${\displaystyle \suma a_{X}(x)=1\,\!}$${\displaystyle b_{X}(x),u_{X},a_{X}(x)\en [0,1]\,\!}$

Las opiniones trinomiales pueden visualizarse simplemente como puntos dentro de un tetraedro , pero las opiniones con dimensiones mayores que las trinomiales no se prestan a una visualización simple.

Las PDF de Dirichlet normalmente se denotan como donde es una distribución de probabilidad sobre los valores de estado de , y son los parámetros de fuerza. La PDF de Dirichlet de una opinión multinomial es la función donde los parámetros de fuerza están dados por , donde es el peso previo no informativo, también llamado unidad de evidencia, ^[4] normalmente establecido en el número de clases.${\displaystyle \mathrm {Dir} (p_{X};\alpha _{X})\,\!}$${\displaystyle p_{X}\,\!}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \alpha_{X}\,\!}$${\displaystyle \omega _{X}=(b_{X},u_{X},a_{X})\,\!}$${\displaystyle \mathrm {Dir} (p_{X};\alpha _{X})}$${\displaystyle \alpha _{X}(x)={\frac {Wb_{X}(x)}{u_{X}}}+Wa_{X}(x)\,\!}$${\estilo de visualización W}$

La mayoría de los operadores de la tabla siguiente son generalizaciones de la lógica binaria y de los operadores de probabilidad. Por ejemplo, la suma es simplemente una generalización de la suma de probabilidades. Algunos operadores solo son significativos para combinar opiniones binomiales, y otros también se aplican a la opinión multinomial. ^[5] La mayoría de los operadores son binarios, pero el complemento es unario y la abducción es ternaria. Consulte las publicaciones a las que se hace referencia para obtener detalles matemáticos de cada operador.

Operadores lógicos subjetivos, notaciones y operadores lógicos proposicionales/binarios correspondientes

Operador lógico subjetivo	Notación del operador	Operador lógico proposicional/binario
Adición [6]	${\displaystyle \omega _{x\cup y}^{A}=\omega _{x}^{A}+\omega _{y}^{A}\,\!}$	Unión
Resta [6]	${\displaystyle \omega _{x\backslash y}^{A}=\omega _{x}^{A}-\omega _{y}^{A}\,\!}$	Diferencia
Multiplicación [7]	${\displaystyle \omega _{x\land y}^{A}=\omega _{x}^{A}\cdot \omega _{y}^{A}\,\!}$	Conjunción / Y
División [7]	${\displaystyle \omega _{x{\overline {\land }}y}^{A}=\omega _{x}^{A}/\omega _{y}^{A}\,\!}$	Inconjunción / UN-AND
Comultiplicación [7]	${\displaystyle \omega _{x\lor y}^{A}=\omega _{x}^{A}\sqcup \omega _{y}^{A}\,\!}$	Disyunción / OR
Codivisión [7]	${\displaystyle \omega _{x{\overline {\lor }}y}^{A}=\omega _{x}^{A}\;{\overline {\sqcup }}\;\omega _{y }^{A}\,\!}$	Indisyunción / UN-OR
Complemento [2] [3]	${\displaystyle \omega _{\overline {x}}^{A}\;\;=\lno \omega _{x}^{A}\,\!}$	NO
Deducción [1]	${\displaystyle \omega _{Y\|X}^{A}=\omega _{Y|X}^{A}\circledcirc \omega _{X}^{A}\,\!}$	Modus ponens
Teorema de Bayes subjetivo [1] [8]	${\displaystyle \omega _{X{\tilde {|}}Y}^{A}=\omega _{Y|X}^{A}\;{\widetilde {\phi \,}}\;a_{ INCÓGNITA}\,\!}$	Contraposición
Secuestro [1]	${\displaystyle \omega _{X{\widetilde {\|}}Y}^{A}=\omega _{Y|X}^{A}\;{\widetilde {\circledcirc }}\;(a_{X},\omega _{Y}^{A})\,\!}$	Modus operandi
Transitividad / descuento [1]	${\displaystyle \omega _{X}^{A;B}=\omega _{B}^{A}\otimes \omega _{X}^{B}\,\!}$	n / A
Fusión acumulativa [1]	${\displaystyle \omega _{X}^{A\diamond B}=\omega _{X}^{A}\oplus \omega _{X}^{B}\,\!}$	n / A
Fusión de restricciones [1]	${\displaystyle \omega _{X}^{A\&B}=\omega _{X}^{A}\;\odot \;\omega _{X}^{B}\,\!}$	n / A

La combinación transitiva de fuentes se puede denotar en forma compacta o expandida. Por ejemplo, la ruta de confianza transitiva desde analista/fuente a través de fuente hasta la variable se puede denotar en forma compacta o expandida. Aquí, expresa que tiene cierta confianza/desconfianza en fuente , mientras que expresa que tiene una opinión sobre el estado de variable que se da como consejo a . La forma expandida es la más general y corresponde directamente a la forma en que se forman las expresiones de lógica subjetiva con operadores.${\displaystyle A\,\!}$${\displaystyle B\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle [A;B,X]\,\!}$${\displaystyle [A;B]:[B,X]\,\!}$${\displaystyle [A;B]\,\!}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle [B,X]\,\!}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$

En caso de que las opiniones de los argumentos sean equivalentes a VERDADERO o FALSO booleano, el resultado de cualquier operador lógico subjetivo siempre será igual al del operador lógico proposicional/binario correspondiente. De manera similar, cuando las opiniones de los argumentos sean equivalentes a probabilidades tradicionales, el resultado de cualquier operador lógico subjetivo siempre será igual al del operador de probabilidad correspondiente (cuando exista).

En caso de que las opiniones del argumento contengan grados de incertidumbre, los operadores que involucran multiplicación y división (incluyendo deducción, abducción y el teorema de Bayes) producirán opiniones derivadas que siempre tienen probabilidad proyectada correcta pero posiblemente con varianza aproximada cuando se ven como PDF Beta/Dirichlet. ^[1] Todos los demás operadores producen opiniones donde las probabilidades proyectadas y la varianza son siempre analíticamente correctas.

Las diferentes fórmulas lógicas que tradicionalmente son equivalentes en la lógica proposicional no necesariamente tienen opiniones iguales. Por ejemplo, en general, aunque la distributividad de la conjunción sobre la disyunción, expresada como , se cumple en la lógica proposicional binaria. Esto no es una sorpresa ya que los operadores de probabilidad correspondientes también son no distributivos. Sin embargo, la multiplicación es distributiva sobre la suma, como se expresa por . Las leyes de De Morgan también se satisfacen como, por ejemplo, expresado por .${\displaystyle \omega _{x\land (y\lor z)}\neq \omega _{(x\land y)\lor (x\land z)}\,\!}$${\displaystyle x\land (y\lor z)\Leftrightarrow (x\land y)\lor (x\land z)\,\!}$${\displaystyle \omega _{x\land (y\cup z)}=\omega _{(x\land y)\cup (x\land z)}\,\!}$${\displaystyle \omega _{\overline {x\land y}}=\omega _{{\overline {x}}\lor {\overline {y}}}\,\!}$

La lógica subjetiva permite un cálculo muy eficiente de modelos matemáticamente complejos. Esto es posible mediante la aproximación de las funciones analíticamente correctas. Si bien es relativamente simple multiplicar analíticamente dos PDF Beta en forma de una PDF Beta conjunta , cualquier cosa más compleja que eso rápidamente se vuelve intratable. Al combinar dos PDF Beta con algún operador/conectivo, el resultado analítico no siempre es una PDF Beta y puede involucrar series hipergeométricas . En tales casos, la lógica subjetiva siempre aproxima el resultado como una opinión que es equivalente a una PDF Beta.

La lógica subjetiva es aplicable cuando la situación a analizar se caracteriza por una considerable incertidumbre epistémica debido a un conocimiento incompleto. De esta manera, la lógica subjetiva se convierte en una lógica probabilística para probabilidades epistémicamente inciertas. La ventaja es que la incertidumbre se conserva a lo largo de todo el análisis y se hace explícita en los resultados, de modo que es posible distinguir entre conclusiones ciertas e inciertas.

El modelado de redes de confianza y redes bayesianas son aplicaciones típicas de la lógica subjetiva.

Las redes de confianza subjetiva se pueden modelar con una combinación de operadores de transitividad y fusión. Expresemos la arista de confianza de referencia de a , y expresemos la arista de creencia de a . Por ejemplo, una red de confianza subjetiva se puede expresar como se ilustra en la figura siguiente.${\displaystyle [A;B]\,\!}$${\displaystyle A\,\!}$${\displaystyle B\,\!}$${\displaystyle [B,X]\,\!}$${\displaystyle B\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle ([A;B]:[B,X])\diamond ([A;C]:[C,X])\,\!}$

Los índices 1, 2 y 3 indican el orden cronológico en el que se forman las aristas de confianza y el consejo. Por lo tanto, dado el conjunto de aristas de confianza con índice 1, el fideicomitente de origen recibe consejo de y , y por lo tanto puede derivar la creencia en la variable . Al expresar cada arista de confianza y arista de creencia como una opinión, es posible derivar la creencia en expresada como .${\displaystyle A\,\!}$${\displaystyle B\,\!}$${\displaystyle C\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle A\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle \omega _{X}^{A}=\omega _{X}^{[A;B]\diamond [A;C]}=(\omega _{B}^{A}\otimes \omega _{X}^{B})\oplus (\omega _{C}^{A}\otimes \omega _{X}^{C})\,\!}$

Las redes de confianza pueden expresar la confiabilidad de las fuentes de información y pueden utilizarse para determinar opiniones subjetivas sobre variables sobre las que las fuentes proporcionan información.

La lógica subjetiva basada en evidencia ( EBSL ) ^[4] describe un cálculo de red de confianza alternativo, donde la transitividad de las opiniones (descuento) se maneja aplicando pesos a la evidencia subyacente a las opiniones.

En la red bayesiana que se muestra a continuación, y son las variables padre y es la variable hija. El analista debe conocer el conjunto de opiniones condicionales conjuntas para poder aplicar el operador de deducción y derivar la opinión marginal sobre la variable . Las opiniones condicionales expresan una relación condicional entre las variables padre y la variable hija.${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle Y\,\!}$${\displaystyle Z\,\!}$${\displaystyle \omega _{Z|XY}}$${\displaystyle \omega _{Z\|XY}}$${\displaystyle Z}$

La opinión deducida se calcula como . La opinión de evidencia conjunta se puede calcular como el producto de opiniones de evidencia independientes sobre y , o como el producto conjunto de opiniones de evidencia parcialmente dependientes.${\displaystyle \omega _{Z\|XY}=\omega _{Z|XY}\circledcirc \omega _{XY}}$${\displaystyle \omega _{XY}}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle Y\,\!}$

La combinación de una red de confianza subjetiva y una red bayesiana subjetiva es una red subjetiva. La red de confianza subjetiva se puede utilizar para obtener de varias fuentes las opiniones que se utilizarán como opiniones de entrada para la red bayesiana subjetiva, como se ilustra en la figura siguiente.

Las redes bayesianas tradicionales no suelen tener en cuenta la fiabilidad de las fuentes. En las redes subjetivas, la confianza en las fuentes se tiene en cuenta explícitamente.

• Lógica subjetiva de Audun Jøsang
• Marco de experimentación de lógica subjetiva basado en operadores lógicos subjetivos en la evaluación de la confianza: un estudio empírico por F. Cerutti, LM Kaplan, TJ Norman, N. Oren y A. Toniolo