Con destino a Bogomol'nyi – Prasad – Sommerfield

Se ha sugerido que este artículo se fusione con el estado de BPS . ( Discutir ) Propuesto desde diciembre de 2024.

En el sector bosónico clásico de una teoría de campos supersimétrica , el límite de Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield (BPS) (nombrado en honor a Evgeny Bogomolny, MK Prasad y Charles Sommerfield ^{[1] [2]} ) proporciona un límite inferior para la energía de las configuraciones de campo estático, dependiendo de sus cargas topológicas o condiciones de contorno en el infinito espacial. Este límite se manifiesta como una serie de desigualdades para las soluciones de las ecuaciones de campo bosónico clásicas. La saturación de este límite, es decir, la energía de la configuración iguala el límite, conduce a un conjunto simplificado de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden conocidas como ecuaciones de Bogomolny. Las soluciones clásicas que saturan el límite BPS se denominan "estados BPS". Estos estados BPS no solo son soluciones importantes dentro de la teoría bosónica clásica, sino que también desempeñan un papel crucial en la teoría supersimétrica cuántica completa, a menudo correspondientes a estados estables y no perturbativos tanto en la teoría de campos como en la teoría de cuerdas. Su existencia y sus propiedades están profundamente conectadas con la supersimetría subyacente de la teoría, aunque el límite en sí mismo puede formularse únicamente dentro del sector bosónico.

En física teórica, específicamente en teorías con supersimetría extendida, el límite BPS es un límite inferior de la masa de un estado físico en términos de sus cargas. Los estados que saturan este límite se conocen como estados BPS y tienen propiedades especiales, como ser invariantes bajo cierta fracción de las transformaciones de supersimetría. El acrónimo BPS corresponde a Bogomol'nyi, Prasad y Sommerfield, quienes derivaron por primera vez el límite en el contexto de los monopolos magnéticos en la teoría de Yang-Mills en 1975.

La supersimetría es un marco teórico que relaciona a los bosones y fermiones, partículas con espín entero y semientero, respectivamente. La supersimetría extendida involucra múltiples generadores de supersimetría, denotados por , donde es un índice de espinor y etiqueta los diferentes generadores de supersimetría. El álgebra de supersimetría incluye anticonmutadores de estos generadores, que típicamente involucran al hamiltoniano (operador de energía) , operadores de momento y cargas centrales y . Las cargas centrales son operadores que conmutan con todos los demás operadores en el álgebra de supersimetría y típicamente son cargas topológicas . ^{[3] [4]}${\displaystyle Q_{\alpha }^{I}}$${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle I=1,\puntos ,N}$${\estilo de visualización H}$$Estilo de visualización P_{i}}$${\displaystyle Z^{I}}$$Estilo de visualización Z^{IJ}}$

El límite BPS surge de la positividad de la norma de estados en el espacio de Hilbert. Consideremos el siguiente anticonmutador del álgebra de supersimetría:

${\displaystyle \{Q_{\alpha }^{I},(Q_{\beta }^{J})^{\dagger }\}=\delta ^{IJ}\sigma _{\alpha \beta }^{\mu }P_{\mu }+\delta _{\alpha \beta }Z^{IJ}+\dots }$

donde son las matrices de Pauli (o sus generalizaciones de dimensiones superiores), es el cuadrimpulso y son las cargas centrales. Tomando el valor esperado de este anticonmutador en un estado físico , obtenemos:${\displaystyle \sigma ^{\mu }}$${\displaystyle P_{\mu}}$$Estilo de visualización Z^{IJ}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle \langle \psi |\{Q_{\alpha }^{I},(Q_{\beta }^{J})^{\dagger }\}|\psi \rangle =\langle \psi |Q_ {\alpha }^{I}(Q_{\beta }^{J})^{\dagger }|\psi \rangle +\langle \psi |(Q_{\beta }^{J})^{\dagger }Q_{\alpha }^{I}|\psi \rangle \geq 0}$

Como la norma de cualquier estado no es negativa, esto conduce a la desigualdad:

${\displaystyle M\geq |Z|}$

donde es la masa del estado (en el marco de reposo, donde ) y es una combinación lineal de las cargas centrales. Esta desigualdad es el límite de BPS .${\estilo de visualización M}$${\displaystyle P_{\mu}=(M,0,0,0)}$${\estilo de visualización Z}$

Los estados que satisfacen el límite BPS, es decir, , se denominan estados BPS . Tienen las siguientes propiedades importantes:$Estilo de visualización M=|Z|}$

• Multipletes cortos: los estados BPS forman representaciones irreducibles más cortas del álgebra de supersimetría en comparación con los estados genéricos. Esto se debe a que algunos de los generadores de supersimetría eliminan los estados BPS, lo que reduce la cantidad de estados en el multiplete.
• Estabilidad: Los estados BPS suelen ser estables frente a las correcciones cuánticas. Su masa está protegida de la renormalización, lo que significa que no cambia cuando se varían los parámetros de la teoría. Esta estabilidad hace que los estados BPS sean cruciales para estudiar los aspectos no perturbativos de las teorías supersimétricas.
• Preservación de la supersimetría: los estados BPS preservan una fracción de la supersimetría. Específicamente, si un estado satura el límite BPS, alguna combinación lineal de los generadores de supersimetría debe aniquilar el estado: para algún espinor . La cantidad de generadores de supersimetría independientes que aniquilan el estado determina la fracción de supersimetría preservada.${\displaystyle (Q_{\alpha }^{I}+\eta _{\alpha I}(Q_{\beta }^{J})^{\dagger })|\psi \rangle =0}$${\displaystyle \eta _{\alpha I}}$

Los límites y estados de BPS aparecen en varios contextos en la física teórica:

• Monopolos magnéticos: el límite BPS original se derivó para los monopolos magnéticos en la teoría de Yang-Mills. La masa del monopolo está limitada por su carga magnética.
• Solitones y D-branas: En la teoría de cuerdas, los estados BPS incluyen solitones como D-branas. La masa de una D-brana está determinada por su tensión, que está relacionada con su carga bajo los campos de Ramond-Ramond.
• Teorías de gauge supersimétricas: los estados BPS desempeñan un papel crucial en la comprensión de la dinámica de las teorías de gauge supersimétricas, como la teoría N=4 Super Yang-Mills. Proporcionan información sobre el comportamiento no perturbativo de estas teorías y están relacionados con el concepto de dualidad S.
• Agujeros negros: en la supergravedad y la teoría de cuerdas, los agujeros negros extremos pueden ser estados BPS. Su masa está relacionada con su carga y momento angular.

Los estados BPS y los estados BPS son herramientas poderosas para estudiar las teorías supersimétricas. Ofrecen una ventana al régimen no perturbativo de estas teorías y permiten realizar cálculos exactos de ciertas cantidades. Los estados BPS han desempeñado un papel crucial en el desarrollo de la teoría de cuerdas, la correspondencia AdS/CFT y nuestra comprensión de la física de los agujeros negros.

El concepto de límite BPS surgió por primera vez en el estudio de monopolos magnéticos en teorías de calibración no abelianas. En concreto, se demostró que la masa de un monopolo de 't Hooft-Polyakov y un dión de Julia-Zee está limitada desde abajo por una cantidad proporcional a su carga topológica. Las soluciones que saturan este límite se denominan monopolos BPS o diones BPS, y poseen propiedades especiales y desempeñan un papel importante tanto en la teoría clásica como en la cuántica de campos.

El monopolo de 't Hooft-Polyakov es una solución estática de energía finita en una teoría de calibración no abeliana, típicamente SU(2), que se rompe espontáneamente en U(1) por un campo escalar de Higgs en la representación adjunta. El lagrangiano para el sector bosónico viene dado por:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a\mu \nu }+{\frac {1}{ 2}}(D_{\mu }\phi )^{a}(D^{\mu }\phi )^{a}-V(\phi )}$

donde es el tensor de intensidad de campo, es la derivada covariante, es el campo de Higgs en la representación adjunta, y es el potencial de Higgs, a menudo tomado como , donde es el valor esperado de vacío del campo de Higgs.${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}}$${\displaystyle D_{\mu}}$${\displaystyle \phi ^{a}}$${\displaystyle V(\phi )}$${\displaystyle V(\phi )={\frac {\lambda }{4}}(|\phi |^{2}-v^{2})^{2}}$${\estilo de visualización v}$

La energía de una configuración de campo estático viene dada por:

${\displaystyle E=\int d^{3}x\left[{\frac {1}{2}}B_{i}^{a}B_{i}^{a}+{\frac {1}{2}}(D_{i}\phi )^{a}(D_{i}\phi )^{a}+V(\phi )\right]}$

¿Dónde está el campo magnético?${\displaystyle B_{i}^{a}={\frac {1}{2}}\epsilon _ijk}F_{jk}^{a}}$

En el límite donde el autoacoplamiento del Higgs tiende a cero (el límite BPS), se puede demostrar que la energía está limitada por la carga magnética:${\estilo de visualización \lambda}$

${\displaystyle E\geq |Q_{M}|v}$

donde es la carga magnética, con . Esta desigualdad es el límite BPS para el monopolo.${\displaystyle Q_{M}={\frac {1}{4\pi }}\int dS_{i}B_{i}^{a}{\hat {\phi }}^{a}}$${\displaystyle {\sombrero {\phi }}^{a}=\phi ^{a}/|\phi |}$

El límite BPS está saturado cuando se satisfacen las siguientes ecuaciones de Bogomolny:

${\displaystyle B_{i}^{a}=\pm D_{i}\phi ^{a}}$

Las soluciones de estas ecuaciones de primer orden son los monopolos BPS, que tienen la energía mínima para una carga magnética dada. La elección del signo en la ecuación de Bogomolny determina si el monopolo es un monopolo regular o un antimonopolo.

El dión de Julia-Zee es una generalización del monopolo de 't Hooft-Polyakov que también lleva carga eléctrica. Esto se logra añadiendo un término proporcional al lagrangiano, donde es el ángulo de vacío y es el tensor de intensidad de campo dual. Este término introduce un acoplamiento entre los campos eléctrico y magnético.${\displaystyle \theta F_{\mu \nu }^{a}{\tilde {F}}^{a\mu \nu }}$${\estilo de visualización \theta}$${\displaystyle {\tilde {F}}^{a\mu \nu }}$

La energía de una configuración de dión estática está limitada por:

${\displaystyle E\geq {\sqrt {Q_{M}^{2}v^{2}+Q_{E}^{2}}}}$

donde es la carga eléctrica. Este es el límite BPS para el dión. El límite está saturado cuando se satisfacen las siguientes ecuaciones generalizadas de Bogomolny:$Estilo de visualización QE$

${\displaystyle B_{i}^{a}=\pm D_{i}\phi ^{a}}$${\displaystyle E_{i}^{a}=\mp {\frac {Q_{E}}{Q_{M}v}}D_{i}\phi ^{a}}$

donde es el campo eléctrico. Las soluciones de estas ecuaciones son los diones BPS, que tienen la energía mínima para cargas eléctricas y magnéticas dadas.${\displaystyle E_{i}^{a}=F_{0i}^{a}}$

Los monopolos y diones BPS son importantes porque son soluciones estables de energía finita que saturan un límite de energía clásico. Su existencia y propiedades están estrechamente relacionadas con la topología del grupo de calibración y el campo de Higgs. Además, estas soluciones clásicas tienen contrapartes cuánticas, y el límite BPS desempeña un papel crucial en la comprensión del espectro de la teoría cuántica. En las extensiones supersimétricas de la teoría, los estados BPS corresponden a representaciones cortas del álgebra de supersimetría y están protegidos de las correcciones cuánticas.

La métrica de Reissner-Nordström describe la geometría del espacio-tiempo alrededor de un agujero negro con simetría esférica y carga eléctrica. La métrica se caracteriza por dos parámetros: la masa y la carga eléctrica del agujero negro. La masa ADM, un concepto de la relatividad general que define la masa-energía total de un espacio-tiempo asintóticamente plano, es simplemente para la solución de Reissner-Nordström.${\displaystyle M}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle M}$

Los horizontes de sucesos del agujero negro de Reissner-Nordström se encuentran en las coordenadas radiales donde el componente métrico se desvanece. Esto nos lleva a la ecuación:${\displaystyle g_{tt}}$

${\displaystyle r^{2}-2Mr+Q^{2}=0}$

Las soluciones vienen dadas por:

${\displaystyle r_{\pm }=M\pm {\sqrt {M^{2}-Q^{2}}}}$

Cuando , hay dos horizontes: un horizonte de sucesos externo y un horizonte de Cauchy interno . Cuando , no hay horizontes y la singularidad está desnuda, lo que generalmente se considera no físico. El caso crítico, donde , se conoce como el agujero negro extremal de Reissner-Nordström y, en este caso, los dos horizontes coinciden:${\displaystyle M>|Q|}$${\displaystyle r_{+}}$${\displaystyle r_{-}}$${\displaystyle M<|Q|}$${\displaystyle M=|Q|}$

${\displaystyle r_{+}=r_{-}=M=|Q|}$

En el contexto de las teorías de supergravedad (extensiones supersimétricas de la relatividad general), los agujeros negros extremales de Reissner-Nordström pueden interpretarse como estados BPS. Esta conexión surge del hecho de que la condición de extremalidad puede verse como una saturación de una desigualdad clásica, análoga al límite BPS en las teorías de campos supersimétricos.${\displaystyle M=|Q|}$

En la relatividad general, se imponen varias condiciones de energía al tensor de tensión-energía para garantizar un comportamiento físicamente razonable de la materia y la energía. Una de esas condiciones es la condición de energía débil , que establece que para cualquier vector temporal , se cumple la siguiente desigualdad:${\displaystyle T_{\mu \nu }}$${\displaystyle V^{\mu }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }\geq 0}$

Esto significa básicamente que la densidad de energía medida por cualquier observador no es negativa. Para el campo electromagnético, que es la fuente de la carga del agujero negro de Reissner-Nordström, la condición de energía débil se traduce en:

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left(E^{2}+B^{2}\right)\geq 0}$

donde y son las intensidades del campo eléctrico y magnético.${\displaystyle E}$${\displaystyle B}$

Para la solución de Reissner-Nordström, la energía total, que es la masa del ADM , se puede descomponer en contribuciones del campo gravitacional y del campo electromagnético. Se puede demostrar que la contribución electromagnética es exactamente igual a , el valor absoluto de la carga. La condición de energía débil implica entonces que la contribución gravitacional debe ser no negativa. Esto conduce a la desigualdad:${\displaystyle M}$${\displaystyle |Q|}$

${\displaystyle M\geq |Q|}$

Esta desigualdad es sorprendentemente similar al límite BPS, en el que la masa del ADM desempeña el papel de la energía y la carga eléctrica el de la carga central. El agujero negro extremal de Reissner-Nordström, con , satura esta desigualdad, lo que la convierte en un análogo clásico de un estado BPS.${\displaystyle M=|Q|}$

En el contexto de la supergravedad, el agujero negro extremal de Reissner-Nordström no es sólo un análogo, sino un verdadero estado BPS. El álgebra de supersimetría de esta teoría incluye cargas centrales que son proporcionales a las cargas eléctricas y magnéticas del agujero negro. El límite BPS se convierte entonces en:${\displaystyle N=2}$

${\displaystyle M\geq {\sqrt {Q^{2}+P^{2}}}}$

donde es la carga magnética (que es cero para la solución de Reissner-Nordström que estamos considerando). El agujero negro extremal, con , satura este límite y preserva la mitad de la supersimetría. Esto significa que algunas de las transformaciones de supersimetría dejan invariante la solución del agujero negro.${\displaystyle P}$${\displaystyle M=|Q|}$

El hecho de que los agujeros negros extremos puedan ser estados BPS tiene profundas implicaciones. Sugiere una conexión profunda entre la gravedad, la supersimetría y la naturaleza cuántica del espacio-tiempo. Los agujeros negros BPS son estables frente a las correcciones cuánticas y proporcionan información valiosa sobre la estructura microscópica de los agujeros negros y la naturaleza de la gravedad cuántica.

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• Carga central
• Monopolo magnético
• D-brana
• Agujero negro extremo