Relación reflexiva

Relación binaria que relaciona cada elemento consigo mismo
 Relaciones binarias transitivas
Simétrico Antisimétrico Conectado Bien fundado Tiene uniones Tiene cumpleReflexivoIrreflexivo Asimétrico
Total, SemiconnexAnti-
reflexivo
Relación de equivalencia Marca verdeY Marca verdeY
Pedido anticipado (cuasi pedido) Marca verdeY
Orden parcial Marca verdeY Marca verdeY
Pedido anticipado total Marca verdeY Marca verdeY
Pedido total Marca verdeY Marca verdeY Marca verdeY
Preordenamiento de pozos Marca verdeY Marca verdeY Marca verdeY
Bien-cuasi-ordenamiento Marca verdeY Marca verdeY
Buen orden Marca verdeY Marca verdeY Marca verdeY Marca verdeY
Enrejado Marca verdeY Marca verdeY Marca verdeY Marca verdeY
Unión de semirrejilla Marca verdeY Marca verdeY Marca verdeY
Conocer-semilattice Marca verdeY Marca verdeY Marca verdeY
Orden parcial estricta Marca verdeY Marca verdeY Marca verdeY
Orden débil estricta Marca verdeY Marca verdeY Marca verdeY
Orden total estricta Marca verdeY Marca verdeY Marca verdeY Marca verdeY
Simétrico Antisimétrico Conectado Bien fundado Tiene uniones Tiene cumpleReflexivoIrreflexivo Asimétrico
Definiciones, para todos y a , b {\estilo de visualización a,b} S : {\displaystyle S\neq \varnothing :} a R b b R a {\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}} a R b  y  b R a a = b {\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ y }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}} a b a R b  o  b R a {\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ o }}&bRa\end{aligned}}} mín. S existe {\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{existe}}\end{aligned}}} a b existe {\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{existe}}\end{aligned}}} a b existe {\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{existe}}\end{aligned}}} a R a {\estilo de visualización aRa} no  a R a {\displaystyle {\text{no }}aRa} a R b no  b R a {\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{no }}bRa\end{aligned}}}
Marca verdeYindica que la propiedad de la columna siempre es verdadera para el término de la fila (a la izquierda), mientras que indica que la propiedad no está garantizada en general (puede cumplirse o no). Por ejemplo, que toda relación de equivalencia es simétrica, pero no necesariamente antisimétrica, se indica con en la columna "Simétrica" ​​y en la columna "Antisimétrica", respectivamente.Marca verdeY

Todas las definiciones requieren tácitamente que la relación homogénea sea transitiva : para todo si y entonces La definición de un término puede requerir propiedades adicionales que no están enumeradas en esta tabla. R {\estilo de visualización R} a , b , do , {\estilo de visualización a,b,c,} a R b Estilo de visualización aRb b R do {\estilo de visualización bRc} a R do . {\estilo de visualización aRc.}

En matemáticas , una relación binaria en un conjunto es reflexiva si relaciona cada elemento de un conjunto consigo mismo. [1] [2] R {\estilo de visualización R} incógnita {\estilo de visualización X} incógnita {\estilo de visualización X}

Un ejemplo de una relación reflexiva es la relación " es igual a " en el conjunto de los números reales , ya que todo número real es igual a sí mismo. Se dice que una relación reflexiva tiene la propiedad reflexiva o que posee reflexividad . Junto con la simetría y la transitividad , la reflexividad es una de las tres propiedades que definen las relaciones de equivalencia .

Definiciones

Se dice que una relación en el conjunto es reflexiva si para cada , . R {\estilo de visualización R} incógnita {\estilo de visualización X} incógnita incógnita {\displaystyle x\en X} ( incógnita , incógnita ) R {\displaystyle (x,x)\en R}

De manera equivalente, dejando denotar la relación de identidad en , la relación es reflexiva si . I incógnita := { ( incógnita , incógnita )   :   incógnita incógnita } {\displaystyle \operatorname {I} _{X}:=\{(x,x)~:~x\en X\}} incógnita {\estilo de visualización X} R {\estilo de visualización R} I incógnita R {\displaystyle \operatorname {I} _{X}\subseteq R}

El cierre reflexivo de es la unión que puede definirse de manera equivalente como la relación reflexiva más pequeña (con respecto a ) en que es un superconjunto de Una relación es reflexiva si y solo si es igual a su cierre reflexivo. R {\estilo de visualización R} R I incógnita , {\displaystyle R\cup \nombre del operador {I} _{X},} {\displaystyle \subseteq} incógnita {\estilo de visualización X} R . {\estilo de visualización R.} R {\estilo de visualización R}

La reducción reflexiva o núcleo irreflexivo de es la relación más pequeña (con respecto a ) en que tiene el mismo cierre reflexivo que Es igual a La reducción reflexiva de puede, en cierto sentido, verse como una construcción que es el "opuesto" del cierre reflexivo de Por ejemplo, el cierre reflexivo de la desigualdad estricta canónica en los reales es la desigualdad no estricta habitual mientras que la reducción reflexiva de es R {\estilo de visualización R} {\displaystyle \subseteq} incógnita {\estilo de visualización X} R . {\estilo de visualización R.} R I incógnita = { ( incógnita , y ) R   :   incógnita y } . {\displaystyle R\setminus \operatorname {I} _{X}=\{(x,y)\in R~:~x\neq y\}.} R {\estilo de visualización R} R . {\estilo de visualización R.} < {\estilo de visualización <} R {\displaystyle \mathbb {R}} {\estilo de visualización \leq} {\estilo de visualización \leq} < . {\estilo de visualización <.}

Existen varias definiciones relacionadas con la propiedad reflexiva. La relación se denomina: R {\estilo de visualización R}

irreflexivo ,antirreflexivo oaliorelativo
[3] si no relaciona ningún elemento consigo mismo; es decir, si se cumple para ningún Una relación es irreflexiva si y solo si su complemento en es reflexivo. Una relación asimétrica es necesariamente irreflexiva. Una relación transitiva e irreflexiva es necesariamente asimétrica. incógnita R incógnita {\estilo de visualización xRx} incógnita incógnita . {\displaystyle x\en X.} incógnita × incógnita {\displaystyle X\veces X}
izquierda cuasi-reflexiva
Si siempre que son tales que entonces necesariamente [4] incógnita , y incógnita {\displaystyle x,y\en X} incógnita R y , {\estilo de visualización xRy,} incógnita R incógnita . {\estilo de visualización xRx.}
derecho cuasi-reflexivo
si siempre son tales que entonces necesariamente incógnita , y incógnita {\displaystyle x,y\en X} incógnita R y , {\estilo de visualización xRy,} y R y . {\displaystyle yRy.}
cuasi-reflexivo
si cada elemento que forma parte de alguna relación está relacionado consigo mismo. Explícitamente, esto significa que siempre que sean tales que entonces necesariamente y Equivalentemente, una relación binaria es cuasi-reflexiva si y solo si es cuasi-reflexiva izquierda y cuasi-reflexiva derecha. Una relación es cuasi-reflexiva si y solo si su cierre simétrico es cuasi-reflexivo izquierdo (o derecho). incógnita , y incógnita {\displaystyle x,y\en X} incógnita R y , {\estilo de visualización xRy,} incógnita R incógnita {\estilo de visualización xRx} y R y . {\displaystyle yRy.} R {\estilo de visualización R} R R yo {\displaystyle R\cup R^{\nombre del operador {T} }}
antisimétrico
si siempre son tales que entonces necesariamente incógnita , y incógnita {\displaystyle x,y\en X} incógnita R y  y  y R incógnita , {\displaystyle xRy{\text{ y }}yRx,} incógnita = y . {\displaystyle x=y.}
coreflexivo
si siempre que son tales que entonces necesariamente [5] Una relación es correflexiva si y sólo si su cierre simétrico es antisimétrico . incógnita , y incógnita {\displaystyle x,y\en X} incógnita R y , {\estilo de visualización xRy,} incógnita = y . {\displaystyle x=y.} R {\estilo de visualización R}

Una relación reflexiva en un conjunto no vacío no puede ser irreflexiva, ni asimétrica ( se llama asimétrica si implica no ), ni antitransitiva ( es antitransitiva si implica no ). incógnita {\estilo de visualización X} R {\estilo de visualización R} incógnita R y {\estilo de visualización xRy} y R incógnita {\estilo de visualización yRx} R {\estilo de visualización R} incógnita R y  y  y R el {\displaystyle xRy{\text{ y }}yRz} incógnita R el {\estilo de visualización xRz}

Ejemplos

Ejemplos de relaciones reflexivas incluyen:

Ejemplos de relaciones irreflexivas incluyen:

Un ejemplo de una relación irreflexiva, que significa que no relaciona ningún elemento consigo mismo, es la relación "mayor que" ( ) sobre los números reales . No toda relación que no sea reflexiva es irreflexiva; es posible definir relaciones donde algunos elementos están relacionados consigo mismos pero otros no (es decir, ni todos ni ninguno lo están). Por ejemplo, la relación binaria "el producto de y es par" es reflexiva sobre el conjunto de los números pares , irreflexiva sobre el conjunto de los números impares y ni reflexiva ni irreflexiva sobre el conjunto de los números naturales . incógnita > y {\displaystyle x>y} incógnita {\estilo de visualización x} y {\estilo de visualización y}

Un ejemplo de una relación cuasireflexiva es "tiene el mismo límite que" en el conjunto de secuencias de números reales: no toda secuencia tiene un límite y, por lo tanto, la relación no es reflexiva, pero si una secuencia tiene el mismo límite que alguna secuencia, entonces tiene el mismo límite que ella misma. Un ejemplo de una relación cuasireflexiva izquierda es una relación euclidiana izquierda , que siempre es cuasireflexiva izquierda pero no necesariamente cuasireflexiva derecha y, por lo tanto, no necesariamente cuasireflexiva. R {\estilo de visualización R}

Un ejemplo de una relación correflexiva es la relación entre números enteros en la que cada número impar está relacionado consigo mismo y no existen otras relaciones. La relación de igualdad es el único ejemplo de una relación reflexiva y correflexiva, y cualquier relación correflexiva es un subconjunto de la relación de identidad. La unión de una relación correflexiva y una relación transitiva en el mismo conjunto siempre es transitiva.

Número de relaciones reflexivas

El número de relaciones reflexivas en un conjunto de elementos es [6] norte {\estilo de visualización n} 2 norte 2 norte . {\displaystyle 2^{n^{2}-n}.}

Número de relaciones binarias de n elementos de diferentes tipos
ElementosCualquierTransitivoReflexivoSimétricoHacer un pedidoOrden parcialPedido anticipado totalPedido totalRelación de equivalencia
0111111111
1221211111
216134843322
3512171646429191365
465.5363.9944.0961.024355219752415
norte2 y 22n ( n −1 )2n ( n +1) / 2nk =
0
k ! S ( n , k )
¡no !nk =
0
S ( n , k )
OEISA002416A006905A053763A006125A000798A001035A000670A000142A000110

Téngase en cuenta que S ( n , k ) se refiere a números de Stirling del segundo tipo .

Lógica filosófica

Los autores de lógica filosófica suelen utilizar una terminología diferente. Las relaciones reflexivas en el sentido matemático se denominan totalmente reflexivas en lógica filosófica, y las relaciones cuasi-reflexivas se denominan reflexivas . [7] [8]

Notas

  1. ^ Levy 1979, pág. 74
  2. ^ Schmidt 2010
  3. ^ Este término se debe a CS Peirce ; véase Russell 1920, pág. 32. Russell también introduce dos términos equivalentes que están contenidos en o implican diversidad .
  4. ^ La Enciclopedia Británica llama a esta propiedad cuasi-reflexividad.
  5. ^ Fonseca de Oliveira y Pereira Cunha Rodrigues 2004, p. 337
  6. ^ Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros A053763
  7. ^ Hausman, Kahane y Tidman 2013, págs. 327-328
  8. ^ Clarke y Behling 1998, pág. 187

Referencias

  • Clarke, DS; Behling, Richard (1998). Lógica deductiva: una introducción a las técnicas de evaluación y la teoría lógica . University Press of America. ISBN 0-7618-0922-8.
  • Fonseca de Oliveira, José Nuño; Pereira Cunha Rodrigues, César de Jesus (2004), "Transposición de relaciones: de funciones Maybe a tablas hash", Matemáticas de construcción de programas , Springer: 334–356
  • Hausman, Alan; Kahane, Howard; Tidman, Paul (2013). Lógica y filosofía: una introducción moderna . Wadsworth. ISBN 1-133-05000-X.
  • Levy, A. (1979), Teoría básica de conjuntos , Perspectivas en lógica matemática, Dover, ISBN 0-486-42079-5
  • Lidl, R.; Pilz, G. (1998), Álgebra abstracta aplicada , Textos de pregrado en matemáticas , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98290-6
  • Quine, WV (1951), Lógica matemática , Edición revisada, reimpresa en 2003, Harvard University Press, ISBN 0-674-55451-5
  • Russell, Bertrand (1920). Introducción a la filosofía matemática (PDF) (2.ª ed.). Londres: George Allen & Unwin, Ltd. (Edición corregida en línea, febrero de 2010)
  • Schmidt, Gunther (2010), Matemáticas relacionales , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7
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