Integral de Paley-Wiener

En matemáticas , la integral de Paley-Wiener es una integral estocástica simple . Cuando se aplica al espacio de Wiener clásico , es menos general que la integral de Itō , pero las dos coinciden cuando se definen.

La integral recibe su nombre en honor a sus descubridores, Raymond Paley y Norbert Wiener .

Definición

Sea un espacio abstracto de Wiener con medida abstracta de Wiener en . Sea el adjunto de . (Hemos abusado un poco de la notación: estrictamente hablando, , pero como es un espacio de Hilbert , es isométrico isomorfo a su espacio dual , por el teorema de representación de Riesz .) i : yo mi {\displaystyle i:H\to E} gamma {\estilo de visualización \gamma} mi {\estilo de visualización E} yo : mi yo {\displaystyle j:E^{*}\to H} i {\estilo de visualización i} yo : mi yo {\displaystyle j:E^{*}\a H^{*}} yo {\estilo de visualización H} yo Estilo de visualización H*

Se puede demostrar que es una función inyectiva y tiene imagen densa en . [ cita requerida ] Además, se puede demostrar que cada funcional lineal también es integrable al cuadrado : de hecho, yo {\estilo de visualización j} yo {\estilo de visualización H} F mi {\displaystyle f\in E^{*}}

" F " yo 2 ( mi , gamma ; R ) = " yo ( F ) " yo {\displaystyle \|f\|_{L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}=\|j(f)\|_{H}}

Esto define una función lineal natural de a , bajo la cual pasa a la clase de equivalencia de en . Esto está bien definido ya que es inyectiva. Esta función es una isometría , por lo que es continua . yo ( mi ) estilo de visualización j(E^{*})} yo 2 ( mi , gamma ; R ) {\displaystyle L^{2}(E,\gamma;\mathbb {R})} yo ( F ) yo ( mi ) yo {\displaystyle j(f)\in j(E^{*})\subseteq H} [ F ] {\estilo de visualización [f]} F {\estilo de visualización f} yo 2 ( mi , gamma ; R ) {\displaystyle L^{2}(E,\gamma;\mathbb {R})} yo {\estilo de visualización j}

Sin embargo, dado que una función lineal continua entre espacios de Banach como y está determinada únicamente por sus valores en cualquier subespacio denso de su dominio, existe una extensión lineal continua única de la función natural anterior para todo . yo {\estilo de visualización H} yo 2 ( mi , gamma ; R ) {\displaystyle L^{2}(E,\gamma;\mathbb {R})} I : yo yo 2 ( mi , gamma ; R ) {\displaystyle I:H\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )} yo ( mi ) yo 2 ( mi , gamma ; R ) {\displaystyle j(E^{*})\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )} yo {\estilo de visualización H}

Esta isometría se conoce como el mapa de Paley-Wiener . , también denotado como , es una función en y se conoce como la integral de Paley-Wiener (con respecto a ). I : yo yo 2 ( mi , gamma ; R ) {\displaystyle I:H\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )} I ( yo ) {\displaystyle I(h)} h , x {\displaystyle \langle h,x\rangle ^{\sim }} E {\displaystyle E} h H {\displaystyle h\in H}

Es importante señalar que la integral de Paley-Wiener para un elemento particular es una función en . La notación no denota realmente un producto interno (ya que y pertenecen a dos espacios diferentes), pero es un abuso conveniente de la notación en vista del teorema de Cameron-Martin . Por esta razón, muchos autores [ cita requerida ] prefieren escribir o en lugar de usar la notación más compacta pero potencialmente confusa . h H {\displaystyle h\in H} E {\displaystyle E} h , x {\displaystyle \langle h,x\rangle ^{\sim }} h {\displaystyle h} x {\displaystyle x} h , ( x ) {\displaystyle \langle h,-\rangle ^{\sim }(x)} I ( h ) ( x ) {\displaystyle I(h)(x)} h , x {\displaystyle \langle h,x\rangle ^{\sim }}

Véase también

Otras integrales estocásticas:

Referencias

  • Park, Chull; Skoug, David (1988), "Una nota sobre las integrales estocásticas de Paley-Wiener-Zygmund", Actas de la American Mathematical Society , 103 (2): 591–601, doi : 10.1090/S0002-9939-1988-0943089-8 , JSTOR  2047184
  • Elworthy, David (2008), MA482 Análisis estocástico (PDF) , Notas de clase, Universidad de Warwick(Sección 6)
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Paley–Wiener_integral&oldid=1136990186"