Integrador simpléctico

En matemáticas , un integrador simpléctico ( SI ) es un esquema de integración numérica para sistemas hamiltonianos . Los integradores simplécticos forman la subclase de integradores geométricos que, por definición, son transformaciones canónicas . Se utilizan ampliamente en dinámica no lineal , dinámica molecular , métodos de elementos discretos , física de aceleradores , física del plasma , física cuántica y mecánica celeste .

Los integradores simplécticos están diseñados para la solución numérica de las ecuaciones de Hamilton , que se leen

${\displaystyle {\dot {p}}=-{\frac {\parcial H}{\parcial q}}\quad {\mbox{y}}\quad {\dot {q}}={\frac {\parcial H}{\parcial p}},}$

donde denota las coordenadas de posición, las coordenadas de momento y es el hamiltoniano. El conjunto de coordenadas de posición y momento se denomina coordenadas canónicas . (Consulte Mecánica hamiltoniana para obtener más información).${\estilo de visualización q}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización (q,p)}$

La evolución temporal de las ecuaciones de Hamilton es un simplectomorfismo , es decir, conserva la 2-forma simpléctica . Un esquema numérico es un integrador simpléctico si también conserva esta 2-forma.${\displaystyle dp\cuña dq}$

Los integradores simplécticos poseen, como cantidad conservada, un hamiltoniano que está ligeramente perturbado respecto del original. ^[1] En virtud de estas ventajas, el esquema SI se ha aplicado ampliamente a los cálculos de la evolución a largo plazo de sistemas hamiltonianos caóticos que van desde el problema de Kepler hasta las simulaciones clásicas y semiclásicas en dinámica molecular .

La mayoría de los métodos numéricos habituales, como el esquema primitivo de Euler y el esquema clásico de Runge-Kutta , no son integradores simplécticos.

Una clase ampliamente utilizada de integradores simplécticos se forma mediante los métodos de división.

Supongamos que el hamiltoniano es separable, lo que significa que puede escribirse en la forma

${\displaystyle H(p,q)=T(p)+V(q).}$

( 1 )

Esto sucede con frecuencia en la mecánica hamiltoniana, donde T es la energía cinética y V la energía potencial .

Para simplificar la notación, introduzcamos el símbolo para denotar las coordenadas canónicas, incluidas tanto las coordenadas de posición como las de momento. Entonces, el conjunto de ecuaciones de Hamilton dadas en la introducción se puede expresar en una sola expresión como${\displaystyle z=(q,p)}$

${\displaystyle {\punto {z}}=\{z,H(z)\},}$

( 2 )

donde es un corchete de Poisson . Además, al introducir un operador , que devuelve un corchete de Poisson del operando con el hamiltoniano , la expresión de la ecuación de Hamilton se puede simplificar aún más a${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$${\displaystyle D_{H}\cdot =\{\cdot ,H\}}$

${\displaystyle {\dot {z}}=D_{H}z.}$

La solución formal de este conjunto de ecuaciones se da como una matriz exponencial :

${\displaystyle z(\tau )=\exp(\tau D_{H})z(0).}$

( 3 )

Nótese la positividad de en la matriz exponencial.${\displaystyle \tau D_{H}}$

Cuando el hamiltoniano tiene la forma de ecuación ( 1 ), la solución ( 3 ) es equivalente a

${\displaystyle z(\tau )=\exp[\tau (D_{T}+D_{V})]z(0).}$

( 4 )

El esquema SI aproxima el operador de evolución temporal en la solución formal ( 4 ) mediante un producto de operadores como${\displaystyle \exp[\tau (D_{T}+D_{V})]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp[\tau (D_{T}+D_{V})]&=\prod _{i=1}^{k}\exp(c_{i}\tau D_{T})\exp(d_{i}\tau D_{V})+O(\tau ^{k+1})\\&=\exp(c_{1}\tau D_{T})\exp(d_{1}\tau D_{V})\dots \exp(c_{k}\tau D_{T})\exp(d_{k}\tau D_{V})+O(\tau ^{k+1}),\end{aligned}}}$

( 5 )

donde y son números reales, es un entero, que se denomina orden del integrador, y donde . Nótese que cada uno de los operadores y proporciona una función simpléctica , por lo que su producto que aparece en el lado derecho de ( 5 ) también constituye una función simpléctica.${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle k}$${\textstyle \sum _{i=1}^{k}c_{i}=\sum _{i=1}^{k}d_{i}=1}$${\displaystyle \exp(c_{i}\tau D_{T})}$${\displaystyle \exp(d_{i}\tau D_{V})}$

Dado que para todos , podemos concluir que${\displaystyle D_{T}^{2}z=\{\{z,T\},T\}=\{({\dot {q}},0),T\}=(0,0)}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle D_{T}^{2}=0.}$

( 6 )

Utilizando una serie de Taylor , se puede expresar como${\displaystyle \exp(aD_{T})}$

${\displaystyle \exp(aD_{T})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(aD_{T})^{n}}{n!}},}$

( 7 )

donde es un número real arbitrario. Combinando ( 6 ) y ( 7 ), y utilizando el mismo razonamiento que hemos utilizado para , obtenemos${\displaystyle a}$${\displaystyle D_{V}}$${\displaystyle D_{T}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\exp(aD_{T})&=1+aD_{T},\\\exp(aD_{V})&=1+aD_{V}.\end{cases}}}$

( 8 )

En términos concretos, da el mapeo${\displaystyle \exp(c_{i}\tau D_{T})}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}q+\tau c_{i}{\frac {\partial T}{\partial p}}(p)\\p\end{pmatrix}},}$

y da${\displaystyle \exp(d_{i}\tau D_{V})}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}q\\p-\tau d_{i}{\frac {\partial V}{\partial q}}(q)\\\end{pmatrix}}.}$

Tenga en cuenta que ambos mapas son prácticamente computables.

La forma simplificada de las ecuaciones (en orden de ejecución) son:

${\displaystyle q_{i+1}=q_{i}+c_{i}{\frac {p_{i+1}}{m}}t}$

${\displaystyle p_{i+1}=p_{i}+d_{i}F(q_{i})t}$

Téngase en cuenta que debido a las definiciones adoptadas anteriormente (en la versión del operador de la explicación), el índice se recorre en orden decreciente al recorrer los pasos ( para un esquema de cuarto orden).${\displaystyle i}$${\displaystyle i=4,3,2,1}$

Después de convertir a coordenadas lagrangianas:

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}+c_{i}v_{i+1}t}$

${\displaystyle v_{i+1}=v_{i}+d_{i}a(x_{i})t}$

¿Dónde está el vector de fuerza en , es el vector de aceleración en , y es la cantidad escalar de masa?${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle m}$

A continuación se presentan varios integradores simplécticos. Una forma ilustrativa de utilizarlos es considerar una partícula con posición y momento .${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$

Para aplicar un paso de tiempo con valores a la partícula, realice los siguientes pasos (nuevamente, como se indicó anteriormente, con el índice en orden decreciente):${\displaystyle c_{1,2,3},d_{1,2,3}}$${\displaystyle i=3,2,1}$

Iterativamente:

• Actualice la posición de la partícula sumándole su velocidad (previamente actualizada) multiplicada por${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle c_{i}}$
• Actualice la velocidad de la partícula sumándole su aceleración (en la posición actualizada) multiplicada por${\displaystyle i}$${\displaystyle d_{i}}$

El método de Euler simpléctico es el integrador de primer orden con coeficientes y${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle c_{1}=d_{1}=1.}$

Tenga en cuenta que el algoritmo anterior no funciona si se necesita reversibilidad temporal. El algoritmo debe implementarse en dos partes, una para los pasos de tiempo positivos y otra para los pasos de tiempo negativos.

El método de Verlet es el integrador de segundo orden con coeficientes y${\displaystyle k=2}$

${\displaystyle c_{1}=0,\qquad c_{2}=1,\qquad d_{1}=d_{2}={\tfrac {1}{2}}.}$

Dado que el algoritmo anterior es simétrico en el tiempo, el algoritmo consta de tres pasos, y los pasos 1 y 3 son exactamente iguales, por lo que la versión de tiempo positivo se puede utilizar para el tiempo negativo.${\displaystyle c_{1}=0}$

Ronald Ruth descubrió un integrador simpléctico de tercer orden (con ) en 1983. ^[2] Una de las muchas soluciones está dada por${\displaystyle k=3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=1,&c_{2}&=-{\tfrac {2}{3}},&c_{3}&={\tfrac {2}{3}},\\d_{1}&=-{\tfrac {1}{24}},&d_{2}&={\tfrac {3}{4}},&d_{3}&={\tfrac {7}{24}}.\end{aligned}}}$

En 1983, Ruth también descubrió un integrador de cuarto orden (con ) y lo distribuyó de forma privada a la comunidad de aceleradores de partículas de la época. Forest lo describió en un animado artículo de revisión. ^[3] Este integrador de cuarto orden fue publicado en 1990 por Forest y Ruth y también lo descubrieron de forma independiente otros dos grupos en esa misma época. ^{[4] [5] [6]}${\displaystyle k=4}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=c_{4}={\frac {1}{2(2-2^{1/3})}},&c_{2}&=c_{3}={\frac {1-2^{1/3}}{2(2-2^{1/3})}},\\d_{1}&=d_{3}={\frac {1}{2-2^{1/3}}},&d_{2}&=-{\frac {2^{1/3}}{2-2^{1/3}}},\quad d_{4}=0.\end{aligned}}}$

Para determinar estos coeficientes, se puede utilizar la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff . Yoshida, en particular, ofrece una derivación elegante de coeficientes para integradores de orden superior. Más tarde, Blanes y Moan ^{[7] desarrollaron} métodos de Runge–Kutta particionados para la integración de sistemas con hamiltonianos separables con constantes de error muy pequeñas.

Los hamiltonianos generales no separables también pueden integrarse explícita y simplécticamente.

Para ello, Tao introdujo una restricción que une dos copias del espacio de fases para permitir una división explícita de dichos sistemas. ^[8] La idea es que, en lugar de , se simula , cuya solución concuerda con la de en el sentido de que .${\displaystyle H(Q,P)}$${\displaystyle {\bar {H}}(q,p,x,y)=H(q,y)+H(x,p)+\omega \left(\left\|q-x\right\|_{2}^{2}/2+\left\|p-y\right\|_{2}^{2}/2\right)}$${\displaystyle H(Q,P)}$${\displaystyle q(t)=x(t)=Q(t),p(t)=y(t)=P(t)}$

El nuevo hamiltoniano es ventajoso para la integración simpléctica explícita, porque se puede dividir en la suma de tres subhamiltonianos, , , y . Se pueden obtener explícitamente soluciones exactas de los tres subhamiltonianos: ambas soluciones corresponden a desplazamientos de posición y momento no coincidentes, y corresponden a una transformación lineal. Para simular simplécticamente el sistema, simplemente se componen estos mapas de solución.${\displaystyle H_{A}=H(q,y)}$${\displaystyle H_{B}=H(x,p)}$${\displaystyle H_{C}=\omega \left(\left\|q-x\right\|_{2}^{2}/2+\left\|p-y\right\|_{2}^{2}/2\right)}$${\displaystyle H_{A},H_{B}}$${\displaystyle H_{C}}$

En las últimas décadas, el integrador simpléctico en la física del plasma se ha convertido en un tema de investigación activo, ^[9] porque las aplicaciones sencillas de los métodos simplécticos estándar no se adaptan a la necesidad de simulaciones de plasma a gran escala habilitadas por el hardware informático de escala peta a exa. Se deben diseñar algoritmos simplécticos especiales de manera habitual, aprovechando las estructuras especiales del problema de física en investigación. Un ejemplo de ello es la dinámica de partículas cargadas en un campo electromagnético. Con la estructura simpléctica canónica, el hamiltoniano de la dinámica es cuya -dependencia y -dependencia no son separables, y los métodos simplécticos explícitos estándar no se aplican. Sin embargo, para simulaciones a gran escala en cúmulos masivamente paralelos, se prefieren los métodos explícitos. Para superar esta dificultad, podemos explorar la forma específica en que la -dependencia y la -dependencia están enredadas en este hamiltoniano, y tratar de diseñar un algoritmo simpléctico solo para este o este tipo de problema. Primero, notamos que la -dependencia es cuadrática, por lo tanto, el método de Euler simpléctico de primer orden implícito en es en realidad explícito. Esto es lo que se utiliza en el algoritmo simpléctico canónico de partículas en celdas (PIC). ^[10] Para construir métodos explícitos de orden superior, observamos además que la -dependencia y la -dependencia en esto son separables por producto, se pueden construir algoritmos simplécticos explícitos de segundo y tercer orden utilizando funciones generadoras, ^[11] y también se pueden construir integradores simplécticos explícitos de orden arbitrario para campos electromagnéticos dependientes del tiempo utilizando técnicas de Runge-Kutta. ^[12]$${\displaystyle H({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {x}})={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {p}}-{\boldsymbol {A}}\right)^{2}+\phi ,}$$${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$${\textstyle H({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {x}})}$

Una alternativa más elegante y versátil es observar la siguiente estructura simpléctica no canónica del problema. Aquí hay una forma simpléctica no canónica no constante. No se sabe que exista un integrador simpléctico general para una estructura simpléctica no canónica no constante, explícita o implícita. Sin embargo, para este problema específico, se puede construir una familia de integradores simplécticos no canónicos explícitos de alto orden utilizando el método de división de He. ^[13] Dividiendo en 4 partes, encontramos por casualidad que para cada subsistema, por ejemplo, y el mapa de solución se puede escribir explícitamente y calcular exactamente. Luego, se pueden construir algoritmos simplécticos no canónicos explícitos de alto orden utilizando diferentes composiciones. Sea y denote los mapas de solución exactos para los 4 subsistemas. Un esquema simpléctico de primer orden es Un esquema simpléctico simétrico de segundo orden es, que es una división de Strang modificada habitualmente. Se puede construir un esquema de -ésimo orden a partir de un esquema de -ésimo orden utilizando el método de triple salto. El método de división de He es una de las técnicas clave utilizadas en los algoritmos de partículas en celda (PIC) geométricos que preservan la estructura. ^{[14] [15] [16] [17]}$${\displaystyle i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH,\ \ \ \Omega =d({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {A}})\wedge d{\boldsymbol {x}},\ \ \ H={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}+\phi .}$$${\textstyle \Omega }$${\textstyle H}$$${\displaystyle {\begin{aligned}H&=H_{x}+H_{y}+H_{z}+H_{\phi },\\H_{x}&={\frac {1}{2}}v_{x}^{2},\ \ H_{y}={\frac {1}{2}}v_{y}^{2},\ \ H_{z}={\frac {1}{2}}v_{z}^{2},\ \ H_{\phi }=\phi ,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH_{x}}$$$${\displaystyle i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH_{\phi },}$$${\textstyle \Theta _{x},\Theta _{y},\Theta _{z}}$${\textstyle \Theta _{\phi }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{1}\left(\Delta \tau \right)=\Theta _{x}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{y}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{z}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{\phi }\left(\Delta \tau \right)~.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{2}\left(\Delta \tau \right)&=\Theta _{x}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{y}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{z}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{\phi }\left(\Delta \tau \right)\\&\Theta _{z}\left(\Delta t/2\right)\Theta _{y}\left(\Delta t/2\right)\Theta _{x}\left(\Delta t/2\right)\!,\end{aligned}}}$$${\textstyle 2(l+1)}$${\textstyle 2l}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{2(l+1)}(\Delta \tau )&=\Theta _{2l}(\alpha _{l}\Delta \tau )\Theta _{2l}(\beta _{l}\Delta \tau )\Theta _{2l}(\alpha _{l}\Delta \tau )~,\\\alpha _{l}&=1/(2-2^{1/(2l+1)})~,\\\beta _{l}&=1-2\alpha _{l}~.\end{aligned}}}$$

• Deriva energética
• Integrador multisimpléctico
• Integrador variacional
• Integración de Verlet

• Leimkuhler, Ben; Reich, Sebastian (2005). Simulación de dinámica hamiltoniana . Cambridge University Press. ISBN 0-521-77290-7.
• Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2006). Integración numérica geométrica: algoritmos que preservan la estructura para ecuaciones diferenciales ordinarias (2.ª ed.). Springer. ISBN 978-3-540-30663-4.
• Kang, Feng; Qin, Mengzhao (2010). Algoritmos geométricos simplécticos para sistemas hamiltonianos . Springer.