Impedancia característica

La impedancia característica o impedancia de sobretensión (generalmente escrita Z ₀ ) de una línea de transmisión uniforme es la relación entre las amplitudes de voltaje y corriente de una onda que viaja en una dirección a lo largo de la línea en ausencia de reflexiones en la otra dirección. De manera equivalente, se puede definir como la impedancia de entrada de una línea de transmisión cuando su longitud es infinita. La impedancia característica está determinada por la geometría y los materiales de la línea de transmisión y, para una línea uniforme, no depende de su longitud. La unidad SI de impedancia característica es el ohmio .

La impedancia característica de una línea de transmisión sin pérdidas es puramente real , sin componente reactivo . La energía suministrada por una fuente en un extremo de dicha línea se transmite a través de la línea sin disiparse en la propia línea. Una línea de transmisión de longitud finita (con o sin pérdidas) que termina en un extremo con una impedancia igual a la impedancia característica aparece ante la fuente como una línea de transmisión infinitamente larga y no produce reflexiones.

La impedancia característica de una línea de transmisión infinita a una frecuencia angular dada es la relación entre el voltaje y la corriente de una onda sinusoidal pura de la misma frecuencia que viaja a lo largo de la línea. Esta relación también se aplica a las líneas de transmisión finitas hasta que la onda llega al final de la línea. Generalmente, una onda se refleja de vuelta a lo largo de la línea en la dirección opuesta. Cuando la onda reflejada llega a la fuente, se refleja nuevamente, sumándose a la onda transmitida y cambiando la relación entre el voltaje y la corriente en la entrada, lo que hace que la relación voltaje-corriente ya no sea igual a la impedancia característica. Esta nueva relación que incluye la energía reflejada se denomina impedancia de entrada .${\displaystyle Z(\omega )}$${\estilo de visualización \omega}$

La impedancia de entrada de una línea infinita es igual a la impedancia característica, ya que la onda transmitida nunca se refleja desde el extremo. Equivalentemente: La impedancia característica de una línea es aquella impedancia que, al terminar una longitud arbitraria de línea en su salida, produce una impedancia de entrada de valor igual . Esto es así porque no hay reflexión en una línea terminada en su propia impedancia característica.

Aplicando el modelo de línea de transmisión basado en las ecuaciones del telegrafista derivadas a continuación, ^{[1] [2]} la expresión general para la impedancia característica de una línea de transmisión es: donde$${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {{\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}\,}}}$$

Esta expresión se extiende a DC dejando tender a 0.${\estilo de visualización \omega}$

Una sobretensión de energía en una línea de transmisión finita verá una impedancia de antes de que regresen las reflexiones; por lo tanto, la impedancia de sobretensión es un nombre alternativo para la impedancia característica . Aunque se supone una línea infinita, dado que todas las cantidades son por unidad de longitud, las partes "por longitud" de todas las unidades se cancelan y la impedancia característica es independiente de la longitud de la línea de transmisión.${\estilo de visualización Z_{0}}$

Los fasores de voltaje y corriente en la línea están relacionados por la impedancia característica como: donde los subíndices (+) y (−) marcan las constantes separadas para las ondas que viajan hacia adelante (+) y hacia atrás (−).$${\displaystyle {\frac {V_{(+)}}{I_{(+)}}}=Z_{\text{0}}=-{\frac {V_{(-)}}{I_{(- )}}}}$$

Las ecuaciones diferenciales que describen la dependencia del voltaje y la corriente con respecto al tiempo y al espacio son lineales, de modo que una combinación lineal de soluciones es nuevamente una solución. Esto significa que podemos considerar soluciones con una dependencia del tiempo; hacerlo es funcionalmente equivalente a resolver los coeficientes de Fourier para las amplitudes de voltaje y corriente, a una frecuencia angular fija. Hacerlo hace que la dependencia del tiempo se elimine, dejando una ecuación diferencial ordinaria para los coeficientes, que serán fasores , dependientes solo de la posición (espacio). Además, los parámetros se pueden generalizar para que dependan de la frecuencia. ^[1]${\displaystyle \ e^{j\omega t}\ ;}$${\displaystyle \\omega ~.}$

Dejar y$${\displaystyle V(x,t)\equiv V(x)\ e^{+j\omega t}}$$$${\displaystyle I(x,t)\equiv I(x)\ e^{+j\omega t}}$$

Tome la dirección positiva para y en el bucle en el sentido de las agujas del reloj.${\estilo de visualización \ V\}$${\displaystyle \ yo\}$

Encontramos que y o donde$${\displaystyle \ \nombredeloperador {d} V=-\left(R+j\ \omega L\right)I\ \nombredeloperador {d} x=-Z'\ I\ \nombredeloperador {d} x}$$$${\displaystyle \ \operatorname {d} I=-\left(G+j\ \omega C\right)V\ \operatorname {d} x=-Y'\ V\ \operatorname {d} x}$$$${\displaystyle \ {\frac {\ \operatorname {d} V\ }{\ \operatorname {d} x\ }}=-Z'\ I\qquad {\text{ and }}\qquad {\frac {\ \operatorname {d} I\ }{\ \operatorname {d} x\ }}=-Y'\ V}$$$${\displaystyle \ Z'\equiv R+j\ \omega L\qquad {\text{ and }}\qquad Y'\equiv G+j\ \omega C~.}$$

Estas dos ecuaciones de primer orden se desacoplan fácilmente mediante una segunda diferenciación, con los resultados: y$${\displaystyle \ {\frac {\ \operatorname {d} ^{2}V\ }{\ \operatorname {d} x^{2}}}=Z'Y'\ V\ }$$$${\displaystyle \ {\frac {\ \operatorname {d} ^{2}I\ }{\ \operatorname {d} x^{2}}}=Z'Y'\ I\ }$$

Tenga en cuenta que tanto y satisfacen la misma ecuación.${\displaystyle \ V\ }$${\displaystyle \ I\ }$

Dado que es independiente de y puede representarse mediante una única constante (el signo menos se incluye para mayor comodidad posterior). Es decir: entonces${\displaystyle \ Z'Y'\ }$${\displaystyle \ x\ }$${\displaystyle \ t\ ,}$${\displaystyle \ -k^{2}~.}$$${\displaystyle \ -k^{2}\equiv Z'\,Y'\ }$$$${\displaystyle \ jk=\pm {\sqrt {Z'\,Y'\ }}\ }$$

Podemos escribir la ecuación anterior como, que es correcta para cualquier línea de transmisión en general. Y para las líneas de transmisión típicas, que se construyen cuidadosamente a partir de cables con baja resistencia de pérdida y pequeña conductancia de fuga de aislamiento , utilizadas para frecuencias altas, la reactancia inductiva y la admitancia capacitiva serán grandes, por lo que la constante está muy cerca de ser un número real:$${\displaystyle \ k=\pm \omega {\sqrt {\left(L-j\ {\frac {\ R\ }{\omega }}\right)\left(C-j\ {\frac {\ G\ }{\omega }}\right)\ }}=\pm \omega {\sqrt {L\ C\ }}{\sqrt {\left(1-j\ {\frac {R}{\ \omega L\ }}\right)\left(1-j\ {\frac {G}{\ \omega C\ }}\right)\ }}\ }$$${\displaystyle \ R\ }$${\displaystyle \ G\ ;}$${\displaystyle \ \omega L\ }$${\displaystyle \ \omega C\ }$${\displaystyle \ k\ }$$${\displaystyle \ k\approx \pm \omega {\sqrt {LC\;}}~.}$$

Con esta definición, la parte dependiente de la posición o de la posición aparecerá como en las soluciones exponenciales de la ecuación, similar a la parte dependiente del tiempo , por lo que la solución se lee donde y son las constantes de integración para las ondas que se mueven hacia adelante (+) y hacia atrás (−), como en la sección anterior. Cuando recombinamos la parte dependiente del tiempo, obtenemos la solución completa:${\displaystyle \ k\ ,}$${\displaystyle \ x}$${\displaystyle \ \pm j\ k\ x\ }$${\displaystyle \ +j\ \omega \ t\ }$$${\displaystyle V(x)=v_{(+)}\ e^{-jkx}+v_{(-)}\ e^{+jkx}}$$${\displaystyle \ v_{(+)}\ }$${\displaystyle \ v_{(-)}\ }$$${\displaystyle \ V(x,t)~=~V(x)\ e^{+j\omega t}~=~v_{(+)}\ e^{-jkx+j\omega t}+v_{(-)}e^{+jkx+j\omega t}~.}$$

Como la ecuación para tiene la misma forma, tiene una solución de la misma forma: donde y son nuevamente constantes de integración .${\displaystyle \ I\ }$$${\displaystyle \ I(x)=i_{(+)}\ e^{-jkx}+i_{(-)}\ e^{+jkx}\ ,}$$${\displaystyle \ i_{(+)}\ }$${\displaystyle \ i_{(-)}\ }$

Las ecuaciones anteriores son la solución de onda para y . Para que sean compatibles, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales originales, una de las cuales es${\displaystyle V}$${\displaystyle I}$$${\displaystyle \ {\frac {\ \operatorname {d} V\ }{\ \operatorname {d} x\ }}=-Z'I~.}$$

Sustituyendo las soluciones de y en la ecuación anterior, obtenemos o${\displaystyle \ V\ }$${\displaystyle \ I\ }$$${\displaystyle \ {\frac {\operatorname {d} }{\ \operatorname {d} x\ }}\left[v_{(+)}\ e^{-j\ k\ x}+v_{(-)}\ e^{+j\ k\ x}\right]=-(R+j\ \omega L)\left[\ i_{(+)}\ e^{-j\ k\ x}+i_{(-)}\ e^{+j\ k\ x}\right]}$$$${\displaystyle \ -j\ k\ v_{(+)}\ e^{-j\ k\ x}+jk\ v_{(-)}\ e^{+j\ k\ x}=-(R+j\omega L)\ i_{(+)}\ e^{-jkx}-\left(R+j\ \omega L\right)\ i_{(-)}\ e^{+jkx}}$$

Aislando potencias distintas de y combinando potencias idénticas, vemos que para que la ecuación anterior se cumpla para todos los valores posibles de debemos tener:${\displaystyle \ e\ }$${\displaystyle \ x\ }$

Para los coeficientes de :${\displaystyle \ e^{-j\ k\ x}\ }$$${\displaystyle \ -j\ k\ v_{(+)}=-\left(R+j\ \omega L\right)\ i_{(+)}\ }$$

Para los coeficientes de :${\displaystyle \ e^{+j\ k\ x}\ }$$${\displaystyle \ +j\ k\ v_{(-)}=-\left(R+j\ \omega L\right)\ i_{(-)}\ }$$

Por lo tanto, para que las soluciones sean válidas se requieren${\textstyle \ j\ k={\sqrt {\left(R+j\ \omega L\right)\left(G+j\ \omega C\right)\ }}\ }$$${\displaystyle \ {\begin{aligned}+{\frac {v_{(+)}}{i_{(+)}}}&={\frac {\ R+j\ \omega L\ }{j\ k}}={\sqrt {{\frac {\ R+j\ \omega L\ }{G+j\ \omega C}}\ }}\equiv Z_{0}\\[1ex]-{\frac {v_{(-)}}{i_{(-)}}}&={\frac {\ R+j\ \omega L\ }{j\ k}}={\sqrt {{\frac {\ R+j\ \omega L\ }{G+j\ \omega C}}\ }}\equiv Z_{0}\end{aligned}}\ }$$$${\displaystyle \ v_{(+)}=+Z_{0}\ i_{(+)}\quad {\text{ and }}\quad v_{(-)}=-Z_{0}\ i_{(-)}\ }$$

Se puede ver que la constante definida en las ecuaciones anteriores tiene las dimensiones de la impedancia (relación entre voltaje y corriente) y es una función de las constantes primarias de la línea y la frecuencia de operación. Se denomina “impedancia característica” de la línea de transmisión y se denota convencionalmente por ^[2], que se cumple en general para cualquier línea de transmisión. Para líneas de transmisión que funcionan bien, con cualquiera de las dos y ambas muy pequeñas, o con muy altas, o todas las anteriores, obtenemos por lo tanto que la impedancia característica es típicamente muy cercana a ser un número real. Los fabricantes hacen cables comerciales para aproximarse a esta condición muy de cerca en un amplio rango de frecuencias.${\displaystyle \ Z_{0}\ ,}$${\displaystyle \ Z_{0}~.}$$${\displaystyle Z_{0}\quad =\quad {\sqrt {{\frac {\ R+j\ \omega L\ }{G+j\ \omega C}}\ }}\quad =\quad {\sqrt {\ {\frac {\ L\ }{C}}\ }}{\sqrt {{\frac {\ 1-j\ \left({\frac {R}{\ \omega L\ }}\right)\,}{\ 1-j\ \left({\frac {G}{\ \omega C\ }}\right)\ }}\ }}}$$${\displaystyle \ R\ }$${\displaystyle \ G\ }$${\displaystyle \ \omega \ }$$${\displaystyle Z_{0}\approx {\sqrt {{\frac {\ L\ }{C}}\ }}}$$

Consideremos una red en escalera infinita que consta de una impedancia en serie y una admitancia en derivación. Sea su impedancia de entrada Si se añade un nuevo par de impedancia y admitancia delante de la red, su impedancia de entrada permanece inalterada ya que la red es infinita. Por lo tanto, se puede reducir a una red finita con una impedancia en serie y dos impedancias en paralelo y Su impedancia de entrada está dada por la expresión ^{[3] [4] [5]}${\displaystyle \ Z\ }$${\displaystyle \ Y~.}$${\displaystyle \ Z_{\mathrm {IT} }~.}$${\displaystyle \ Z\ }$${\displaystyle \ Y\ }$${\displaystyle \ Z_{\mathrm {IT} }\ }$${\displaystyle \ Z\ }$${\displaystyle \ 1/Y\ }$${\displaystyle \ Z_{\text{IT}}~.}$

${\displaystyle \ Z_{\mathrm {IT} }=Z+\left({\frac {\ 1\ }{Y}}\parallel Z_{\mathrm {IT} }\right)\ }$

que también se conoce como su impedancia iterativa . Su solución es:

${\displaystyle \ Z_{\mathrm {IT} }={Z \over 2}\pm {\sqrt {{Z^{2} \over 4}+{Z \over Y}}}\ }$

Para una línea de transmisión, se puede ver como un caso límite de una red de escalera infinita con impedancia infinitesimal y admitancia en una relación constante. ^{[6] [4] [5]} Tomando la raíz positiva, esta ecuación se simplifica a:

${\displaystyle \ Z_{\mathrm {IT} }={\sqrt {{\frac {\ Z\ }{Y}}\ }}\ }$

Utilizando esta idea, existen muchas derivaciones similares en varios libros ^{[6] [4] [5]} y son aplicables tanto a líneas con pérdida como sin pérdida. ^[7]

Aquí, seguimos un enfoque publicado por Tim Healy. ^[8] La línea está modelada por una serie de segmentos diferenciales con elementos diferenciales en serie y elementos en derivación (como se muestra en la figura al principio del artículo). La impedancia característica se define como la relación entre el voltaje de entrada y la corriente de entrada de una longitud de línea semiinfinita. Llamamos a esto impedancia Es decir, la impedancia mirando hacia la línea de la izquierda es Pero, por supuesto, si bajamos por la línea una longitud diferencial, la impedancia hacia la línea sigue siendo Por lo tanto, podemos decir que la impedancia mirando hacia la línea en el extremo izquierdo es igual a en paralelo con y todo lo cual está en serie con y Por lo tanto:${\displaystyle \ \left(R\ \operatorname {d} x,\ L\ \operatorname {d} x\right)\ }$${\displaystyle \ \left(C\ \operatorname {d} x,\ G\ \operatorname {d} x\ \right)\ }$${\displaystyle \ Z_{0}~.}$${\displaystyle \ Z_{0}~.}$${\displaystyle \ \operatorname {d} x\ ,}$${\displaystyle \ Z_{0}~.}$${\displaystyle \ Z_{0}\ }$${\displaystyle \ C\ \operatorname {d} x\ }$${\displaystyle \ G\ \operatorname {d} x\ ,}$${\displaystyle \ R\ \operatorname {d} x\ }$${\displaystyle \ L\ \operatorname {d} x~.}$$${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{0}&=(R+j\ \omega L)\ \operatorname {d} x+{\frac {1}{\ (G+j\omega C)\ \operatorname {d} x+{\frac {1}{\ Z_{0}\ }}\ }}\\[1ex]Z_{0}&=(R+j\ \omega L)\ \operatorname {d} x+{\frac {\ Z_{0}\ }{Z_{0}\ (G+j\omega C)\ \operatorname {d} x+1\,}}\\[1ex]Z_{0}+Z_{0}^{2}\ (G+j\ \omega C)\ \operatorname {d} x&=(R+j\ \omega L)\ \operatorname {d} x+Z_{0}\ (G+j\ \omega C)\ \operatorname {d} x\ (R+j\ \omega L)\ \operatorname {d} x+Z_{0}\end{aligned}}}$$

Los términos añadidos se cancelan, quedando${\displaystyle \ Z_{0}\ }$$${\displaystyle \ Z_{0}^{2}\ (G+j\ \omega C)\ \operatorname {d} x=\left(R+j\ \omega L\right)\ \operatorname {d} x+Z_{0}\ \left(G+j\ \omega C\right)\ \left(R+j\ \omega L\right)\ \left(\operatorname {d} x\right)^{2}}$$

Los términos de primera potencia son los de orden más alto que quedan. Dividiendo el factor común de y dividiendo por el factor obtenemos${\displaystyle \ \operatorname {d} x\ }$${\displaystyle \ \operatorname {d} x\ ,}$${\displaystyle \ \left(G+j\ \omega C\right)\ ,}$$${\displaystyle \ Z_{0}^{2}={\frac {\left(R+j\ \omega L\right)}{\ \left(G+j\ \omega C\right)\ }}+Z_{0}\ \left(R+j\ \omega L\right)\ \operatorname {d} x~.}$$

En comparación con los factores que se han dividido, el último término, que todavía lleva un factor restante, es infinitesimal en relación con los otros términos, ahora finitos, por lo que podemos descartarlo. Eso nos lleva a${\displaystyle \ \operatorname {d} x\ }$${\displaystyle \ \operatorname {d} x\ ,}$$${\displaystyle \ Z_{0}=\pm {\sqrt {{\frac {\ R+j\ \omega L\ }{G+j\ \omega C}}\ }}~.}$$

Invertir el signo ± aplicado a la raíz cuadrada tiene el efecto de invertir la dirección del flujo de corriente.

El análisis de líneas sin pérdidas proporciona una aproximación precisa para líneas de transmisión reales que simplifica las matemáticas consideradas en el modelado de líneas de transmisión. Una línea sin pérdidas se define como una línea de transmisión que no tiene resistencia de línea ni pérdida dieléctrica . Esto implicaría que los conductores actúan como conductores perfectos y el dieléctrico actúa como un dieléctrico perfecto. Para una línea sin pérdidas, R y G son ambos cero, por lo que la ecuación para la impedancia característica derivada anteriormente se reduce a:$${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {{\frac {L}{C}}\,}}\,.}$$

En particular, ya no depende de la frecuencia. La expresión anterior es completamente real, ya que el término imaginario j se ha cancelado, lo que implica que es puramente resistiva. Para una línea sin pérdidas terminada en , no hay pérdida de corriente a través de la línea y, por lo tanto, el voltaje permanece igual a lo largo de la línea. El modelo de línea sin pérdidas es una aproximación útil para muchos casos prácticos, como líneas de transmisión de baja pérdida y líneas de transmisión con alta frecuencia. Para ambos casos, R y G son mucho más pequeños que ωL y ωC , respectivamente, y, por lo tanto, se pueden ignorar.${\displaystyle Z_{0}}$${\displaystyle Z_{0}}$${\displaystyle Z_{0}}$

Las soluciones de las ecuaciones de transmisión de líneas largas incluyen las partes incidentes y reflejadas del voltaje y la corriente: cuando la línea termina con su impedancia característica, las partes reflejadas de estas ecuaciones se reducen a 0 y las soluciones del voltaje y la corriente a lo largo de la línea de transmisión son totalmente incidentes. Sin una reflexión de la onda, la carga que está siendo suministrada por la línea se mezcla efectivamente con la línea, lo que hace que parezca una línea infinita. En una línea sin pérdidas, esto implica que el voltaje y la corriente permanecen iguales en todas partes a lo largo de la línea de transmisión. Sus magnitudes permanecen constantes a lo largo de la longitud de la línea y solo se rotan por un ángulo de fase.$${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {V_{r}+I_{r}Z_{c}}{2}}e^{\gamma x}+{\frac {V_{r}-I_{r}Z_{c}}{2}}e^{-\gamma x}\\[1ex]I&={\frac {V_{r}/Z_{c}+I_{r}}{2}}e^{\gamma x}-{\frac {V_{r}/Z_{c}-I_{r}}{2}}e^{-\gamma x}\end{aligned}}}$$

En la transmisión de energía eléctrica , la impedancia característica de una línea de transmisión se expresa en términos de la carga de impedancia de sobretensión ( SIL ), o carga natural, que es la carga de potencia a la que no se produce ni se absorbe potencia reactiva : donde es el voltaje RMS de línea a línea en voltios .$${\displaystyle {\mathit {SIL}}={\frac {{V_{\mathrm {LL} }}^{2}}{Z_{0}}}}$$${\displaystyle V_{\mathrm {LL} }}$

Si la carga se encuentra por debajo de su nivel de integridad de seguridad (SIL), la tensión en la carga será mayor que la tensión del sistema. Por encima de este nivel, la tensión de carga se reduce. El efecto Ferranti describe la ganancia de tensión hacia el extremo remoto de una línea de transmisión con carga muy ligera (o de extremo abierto). Los cables subterráneos normalmente tienen una impedancia característica muy baja, lo que da como resultado un nivel de integridad de seguridad que normalmente supera el límite térmico del cable.

La impedancia característica de los cables coaxiales (coax) se elige comúnmente en 50 Ω para aplicaciones de RF y microondas . El cable coaxial para aplicaciones de video suele ser de 75 Ω por su menor pérdida.

• Ley circuital de Ampère  : concepto en el electromagnetismo clásico
• Impedancia acústica característica  – Oposición que presenta un sistema a una presión acústicaPages displaying short descriptions of redirect targets
• La impedancia iterativa , la impedancia característica es un caso límite de esto.
• Ecuaciones de Maxwell  : ecuaciones que describen el electromagnetismo clásico
• Impedancia de onda  : Constante relacionada con la propagación de ondas electromagnéticas en un medio.
• Tela espacial  – Plano hipotético con resistividad de 376,7 ohmios por cuadrado.

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