Difracción de Fraunhofer

En óptica , la ecuación de difracción de Fraunhofer se utiliza para modelar la difracción de ondas cuando ondas planas inciden sobre un objeto difractante y el patrón de difracción se observa a una distancia suficientemente larga (una distancia que satisface la condición de Fraunhofer) del objeto (en la región del campo lejano), y también cuando se observa en el plano focal de una lente de formación de imágenes . ^{[1] [2]} Por el contrario, el patrón de difracción creado cerca del objeto difractante y (en la región del campo cercano ) viene dado por la ecuación de difracción de Fresnel .

La ecuación recibió su nombre en honor a Joseph von Fraunhofer ^[3], aunque él no participó realmente en el desarrollo de la teoría. ^{[ cita requerida ]}

Este artículo explica dónde se puede aplicar la ecuación de Fraunhofer y muestra los patrones de difracción de Fraunhofer para varias aperturas. En la ecuación de difracción de Fraunhofer se ofrece un tratamiento matemático detallado de la difracción de Fraunhofer .

Cuando un haz de luz es bloqueado parcialmente por un obstáculo, parte de la luz se dispersa alrededor del objeto, a menudo se ven bandas claras y oscuras en el borde de la sombra; este efecto se conoce como difracción . ^[4] Estos efectos se pueden modelar utilizando el principio de Huygens-Fresnel ; Huygens postuló que cada punto en un frente de onda actúa como una fuente de ondículas secundarias esféricas y la suma de estas ondículas secundarias determina la forma de la onda que procede en cualquier momento posterior, mientras que Fresnel desarrolló una ecuación utilizando las ondículas de Huygens junto con el principio de superposición de ondas, que modela estos efectos de difracción bastante bien.

En general, no es sencillo calcular la amplitud de onda dada por la suma de las ondículas secundarias (la suma de ondas también es una onda), cada una de las cuales tiene su propia amplitud , fase y dirección de oscilación ( polarización ), ya que esto implica la adición de muchas ondas de amplitud, fase y polarización variables. Cuando se suman dos ondas de luz como campos electromagnéticos ( suma vectorial ), la amplitud de la suma de ondas depende de las amplitudes, las fases e incluso las polarizaciones de las ondas individuales. En una determinada dirección donde se proyectan campos de ondas electromagnéticas (o considerando una situación donde dos ondas tienen la misma polarización), dos ondas de amplitud igual (proyectada) que están en fase (misma fase) dan la amplitud de la suma de ondas resultante como el doble de las amplitudes de onda individuales, mientras que dos ondas de amplitud igual que están en fases opuestas dan la amplitud cero de la onda resultante ya que se cancelan entre sí. Generalmente, se debe resolver una integral bidimensional sobre variables complejas y, en muchos casos, no está disponible una solución analítica. ^[5]

La ecuación de difracción de Fraunhofer es una versión simplificada de la fórmula de difracción de Kirchhoff y se puede utilizar para modelar la difracción de la luz cuando tanto una fuente de luz como un plano de observación (un plano de observación donde se observa la onda difractada) están efectivamente infinitamente distantes de una abertura de difracción. ^[6] Con una fuente de luz suficientemente distante de una abertura de difracción, la luz incidente a la abertura es efectivamente una onda plana de modo que la fase de la luz en cada punto de la abertura es la misma. En un plano de observación suficientemente distante de la abertura, la fase de la onda que viene de cada punto de la abertura varía linealmente con la posición del punto en la abertura, haciendo que el cálculo de la suma de las ondas en un punto de observación en el plano de observación sea relativamente sencillo en muchos casos. Incluso las amplitudes de las ondas secundarias que vienen de la abertura en el punto de observación se pueden tratar como iguales o constantes para un cálculo simple de onda de difracción en este caso. La difracción en tal requisito geométrico se llama difracción de Fraunhofer , y la condición donde la difracción de Fraunhofer es válida se llama condición de Fraunhofer , como se muestra en el cuadro de la derecha. ^[7] Una onda difractada a menudo se llama campo lejano si satisface al menos parcialmente la condición de Fraunhofer de modo que la distancia entre la apertura y el plano de observación es .${\estilo de visualización L}$${\displaystyle L\gg {\frac {W^{2}}{\lambda }}}$

Por ejemplo, si un agujero circular de 0,5 mm de diámetro se ilumina con una luz láser con una longitud de onda de 0,6 μm, se produce difracción de Fraunhofer si la distancia de visualización es superior a 1000 mm.

La derivación de la condición de Fraunhofer aquí se basa en la geometría descrita en el cuadro de la derecha. ^[8] La trayectoria de onda difractada r ₂ se puede expresar en términos de otra trayectoria de onda difractada r ₁ y la distancia b entre dos puntos de difracción utilizando la ley de los cosenos ;

$${\displaystyle {r_{2}}={\left(r_{1}^{2}+b^{2}-2b{r_{1}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\right)}^{\frac {1}{2}}={r_{1}}{\left(1+{\frac {b^{2}}{r_{1}^{2}}}-2{\frac {b}{r_{1}}}\sin \theta \right)}^{\frac {1}{2}}.}$$

Esto se puede ampliar calculando la serie de Taylor de la expresión hasta el segundo orden con respecto a ,${\displaystyle {\frac {b}{r_{1}}}}$$${\displaystyle {r_{2}}={r_{1}}(1-{\frac {b}{r_{1}}}\sin \theta +{\frac {b^{2}}{2r_{1}^{2}}}\cos ^{2}\theta +\cdots \right)={r_{1}}-b\sin \theta +{\frac {b^{2}}{2r_{1}}}\cos ^{2}\theta +\cdots ~.}$$

La diferencia de fase entre las ondas que se propagan a lo largo de las trayectorias r ₂ y r ₁ son, con el número de onda donde λ es la longitud de onda de la luz,$${\displaystyle k{r_{2}}-k{r_{1}}=-kb\sin \theta +k{\frac {b^{2}}{2r_{1}}}\cos ^{2}\theta +\cdots .}$$

Si es así , entonces la diferencia de fase es . La implicación geométrica de esta expresión es que las trayectorias r ₂ y r ₁ son aproximadamente paralelas entre sí. Dado que puede haber un plano de difracción - observación, la trayectoria de la onda difractada cuyo ángulo con respecto a una línea recta paralela al eje óptico es cercano a 0, esta condición de aproximación se puede simplificar aún más como donde L es la distancia entre dos planos a lo largo del eje óptico. Debido al hecho de que una onda incidente en un plano de difracción es efectivamente una onda plana si donde L es la distancia entre el plano de difracción y la fuente de onda puntual se satisface, la condición de Fraunhofer es donde L es la menor de las dos distancias, una es entre el plano de difracción y el plano de observación y la otra es entre el plano de difracción y la fuente de onda puntual.${\displaystyle k{\frac {b^{2}}{2{r_{1}}}}\cos ^{2}\theta =\pi {\frac {b^{2}}{\lambda r_{1}}}\cos ^{2}\theta \ll \pi }$${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda r_{1}}}\cos ^{2}\theta \ll 1}$${\displaystyle kr_{2}-kr_{1}\approx -kb\sin \theta }$${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L}$${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L}$${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L}$

En el campo lejano, las trayectorias de propagación de las ondículas desde cada punto de una abertura hasta un punto de observación son aproximadamente paralelas, y una lente positiva (lente de enfoque) enfoca rayos paralelos hacia la lente hasta un punto en el plano focal (la posición del punto de enfoque en el plano focal depende del ángulo de los rayos paralelos con respecto al eje óptico). Por lo tanto, si se coloca una lente positiva con una longitud focal suficientemente larga (de modo que las diferencias entre las orientaciones del campo eléctrico para las ondículas se puedan ignorar en el foco) después de una abertura, entonces la lente prácticamente hace el patrón de difracción de Fraunhofer de la abertura en su plano focal a medida que los rayos paralelos se encuentran entre sí en el foco. ^[9]

En cada uno de estos ejemplos, la apertura está iluminada por una onda plana monocromática con incidencia normal.

El ancho de la rendija es W . El patrón de difracción de Fraunhofer se muestra en la imagen junto con un gráfico de la intensidad en función del ángulo θ . ^[10] El patrón tiene una intensidad máxima en θ = 0 , y una serie de picos de intensidad decreciente. La mayor parte de la luz difractada cae entre los primeros mínimos. El ángulo, α , subtendido por estos dos mínimos viene dado por: ^[11]

$${\displaystyle \alpha \approx {\frac {2\lambda }{W}}}$$

Por lo tanto, cuanto menor sea la apertura, mayor será el ángulo α subtendido por las bandas de difracción. El tamaño de la banda central a una distancia z viene dado por

$${\displaystyle d_{f}={\frac {2\lambda z}{W}}}$$

Por ejemplo, cuando una rendija de 0,5 mm de ancho se ilumina con una luz de longitud de onda de 0,6 μm y se observa a una distancia de 1000 mm, el ancho de la banda central en el patrón de difracción es de 2,4 mm.

Las franjas se extienden hasta el infinito en la dirección y, ya que la rendija y la iluminación también se extienden hasta el infinito.

Si W < λ , la intensidad de la luz difractada no cae a cero, y si D << λ , la onda difractada es cilíndrica.

Podemos hallar el ángulo en el que se obtiene un primer mínimo en la luz difractada mediante el siguiente razonamiento. Consideremos la luz difractada en un ángulo θ donde la distancia CD es igual a la longitud de onda de la luz que ilumina. El ancho de la rendija es la distancia AC . El componente de la ondícula emitida desde el punto A que viaja en la dirección θ está en antifase con la onda del punto B en el centro de la rendija, de modo que la contribución neta en el ángulo θ de estas dos ondas es cero. Lo mismo se aplica a los puntos justo debajo de A y B , y así sucesivamente. Por lo tanto, la amplitud de la onda total que viaja en la dirección θ es cero. Tenemos:

$${\displaystyle \theta _{\text{min}}\approx {\frac {CD}{AC}}={\frac {\lambda }{W}}.}$$

El ángulo subtendido por los primeros mínimos a cada lado del centro es entonces, como se indica arriba:

$${\displaystyle \alpha =2\theta _{\text{min}}={\frac {2\lambda }{W}}.}$$

No existe un argumento tan simple que nos permita encontrar los máximos del patrón de difracción.

Podemos desarrollar una expresión para el campo lejano de una matriz continua de fuentes puntuales de amplitud uniforme y de la misma fase. Sea la matriz de longitud a paralela al eje y con su centro en el origen como se indica en la figura de la derecha. Entonces el campo diferencial es: ^[12]

$${\displaystyle dE={\frac {A}{r_{1}}}e^{i\omega [t-(r_{1}/c)]}dy={\frac {A}{r_{1}}}e^{i(\omega t-\beta r_{1})}dy}$$

donde . Sin embargo y integrando desde hasta ,${\displaystyle \beta =\omega /c=2\pi /\lambda }$${\displaystyle r_{1}=r-y\sin \theta }$${\displaystyle -a/2}$${\displaystyle a/2}$

$${\displaystyle E\simeq A'\int _{-a/2}^{a/2}e^{i\beta y\sin \theta }dy}$$dónde .${\displaystyle A'={\frac {Ae^{i(\omega t-\beta r)}}{r}}}$

Integrando obtenemos entonces$${\displaystyle E={\frac {2A'}{\beta \sin \theta }}\sin \left({\frac {\beta a}{2}}\sin \theta \right)}$$

Si la longitud de la matriz en radianes es , entonces, ^[12]${\displaystyle \psi ^{'}=\beta a\sin \theta =\alpha _{r}\sin \theta }$${\displaystyle a_{r}=\beta a=2\pi a/\lambda }$$${\displaystyle E=A'a{\frac {\sin(\psi ^{'}/2)}{\psi ^{'}/2}}}$$

La forma del patrón de difracción dado por una abertura rectangular se muestra en la figura de la derecha (o arriba, en formato de tableta). ^[13] Hay un pico central semi-rectangular, con una serie de franjas horizontales y verticales. Las dimensiones de la banda central están relacionadas con las dimensiones de la rendija por la misma relación que para una rendija simple, de modo que la dimensión más grande en la imagen difractada corresponde a la dimensión más pequeña en la rendija. El espaciamiento de las franjas también es inversamente proporcional a la dimensión de la rendija.

Si el haz de luz no ilumina toda la longitud vertical de la rendija, la separación de las franjas verticales está determinada por las dimensiones del haz de luz. Un examen minucioso del patrón de difracción de doble rendija que se muestra a continuación muestra que hay franjas de difracción horizontales muy finas por encima y por debajo del punto principal, así como las franjas horizontales más obvias.

El patrón de difracción dado por una apertura circular se muestra en la figura de la derecha. ^[14] Esto se conoce como el patrón de difracción de Airy . Se puede ver que la mayor parte de la luz está en el disco central. El ángulo subtendido por este disco, conocido como el disco de Airy, es

$${\displaystyle \alpha \approx {\frac {1.22\lambda }{W}}}$$donde W es el diámetro de la apertura.

El disco de Airy puede ser un parámetro importante para limitar la capacidad de un sistema de imágenes para resolver objetos ubicados cerca.

El patrón de difracción obtenido por una abertura con un perfil gaussiano , por ejemplo, una diapositiva fotográfica cuya transmisividad tiene una variación gaussiana, también es una función gaussiana. La forma de la función se representa gráficamente a la derecha (arriba, para una tableta), y se puede ver que, a diferencia de los patrones de difracción producidos por aberturas rectangulares o circulares, no tiene anillos secundarios. ^[15] Esta técnica se puede utilizar en un proceso llamado apodización : la abertura se cubre con un filtro gaussiano, lo que da un patrón de difracción sin anillos secundarios.

El perfil de salida de un rayo láser monomodo puede tener un perfil de intensidad gaussiano y la ecuación de difracción se puede utilizar para demostrar que mantiene ese perfil independientemente de la distancia a la que se propague desde la fuente. ^[16]

En el experimento de doble rendija , las dos rendijas se iluminan con un único haz de luz. Si el ancho de las rendijas es lo suficientemente pequeño (menor que la longitud de onda de la luz), las rendijas difractan la luz en ondas cilíndricas. Estos dos frentes de onda cilíndricos se superponen, y la amplitud, y por lo tanto la intensidad, en cualquier punto de los frentes de onda combinados depende tanto de la magnitud como de la fase de los dos frentes de onda. ^[17] Estas franjas a menudo se conocen como franjas de Young .

El espaciamiento angular de las franjas viene dado por$${\displaystyle \theta _{\text{f}}=\lambda /d.}$$

El espaciamiento de las franjas a una distancia z de las rendijas está dado por ^[18] donde d es la separación de las rendijas.$${\displaystyle w_{\text{f}}=z\theta _{f}=z\lambda /d,}$$

Las franjas de la imagen se obtuvieron utilizando la luz amarilla de una lámpara de sodio (longitud de onda = 589 nm), con rendijas separadas por 0,25 mm, y proyectada directamente sobre el plano de la imagen de una cámara digital.

Las franjas de interferencia de doble rendija se pueden observar cortando dos rendijas en un trozo de cartón, iluminándolas con un puntero láser y observando la luz difractada a una distancia de 1 m. Si la separación de las rendijas es de 0,5 mm y la longitud de onda del láser es de 600 nm, entonces el espaciado de las franjas observadas a una distancia de 1 m sería de 1,2 mm.

La diferencia de fase entre las dos ondas está determinada por la diferencia en la distancia recorrida por las dos ondas.

Si la distancia de observación es grande en comparación con la separación de las rendijas (el campo lejano ), la diferencia de fase se puede encontrar utilizando la geometría que se muestra en la figura. La diferencia de trayectoria entre dos ondas que viajan en un ángulo θ se da por$${\displaystyle d\sin \theta \approx d\theta .}$$

Cuando las dos ondas están en fase, es decir, la diferencia de trayectoria es igual a un número entero de longitudes de onda, la amplitud sumada y, por lo tanto, la intensidad sumada es máxima, y ​​cuando están en antifase, es decir, la diferencia de trayectoria es igual a la mitad de una longitud de onda, una longitud de onda y media, etc., entonces las dos ondas se cancelan y la intensidad sumada es cero. Este efecto se conoce como interferencia .

Los máximos de las franjas de interferencia se producen en ángulos donde λ es la longitud de onda de la luz. El espaciamiento angular de las franjas viene dado por$${\displaystyle d\theta _{n}=n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$$${\displaystyle \theta _{\text{f}}\approx \lambda /d.}$$

Cuando la distancia entre las rendijas y el plano de visión es z , el espaciamiento de las franjas es igual a zθ y es el mismo que el anterior:$${\displaystyle w=z\lambda /d.}$$

Una rejilla se define en Born y Wolf como "cualquier disposición que impone a una onda incidente una variación periódica de amplitud o fase, o ambas".

Una rejilla cuyos elementos están separados por S difracta un haz de luz normalmente incidente en un conjunto de haces, en ángulos θ _n dados por: ^[19]

$${\displaystyle ~\sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

Esto se conoce como ecuación de rejilla . Cuanto más fino sea el espaciado de la rejilla, mayor será la separación angular de los haces difractados.

Si la luz incide en un ángulo θ ₀ , la ecuación de rejilla es:$${\displaystyle \sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}}+\sin \theta _{0},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

La estructura detallada del patrón repetitivo determina la forma de los haces difractados individuales, así como su intensidad relativa, mientras que el espaciado de la rejilla siempre determina los ángulos de los haces difractados.

La imagen de la derecha muestra un haz láser difractado por una rejilla en n = 0 y ±1 haces. Los ángulos de los haces de primer orden son de aproximadamente 20°; si suponemos que la longitud de onda del haz láser es de 600 nm, podemos inferir que el espaciado de la rejilla es de aproximadamente 1,8 μm.

Una rejilla simple consiste en una serie de rendijas en una pantalla. Si la luz que viaja en un ángulo θ desde cada rendija tiene una diferencia de trayectoria de una longitud de onda con respecto a la rendija adyacente, todas estas ondas se sumarán, de modo que la intensidad máxima de la luz difractada se obtiene cuando:

$${\displaystyle W\sin \theta =n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

Esta es la misma relación que se da arriba.

• Ecuación de difracción de Fraunhofer
• Difracción
• Principio de Huygens-Fresnel
• Fórmula de difracción de Kirchhoff
• Difracción de Fresnel
• Disco aireado
• Óptica de Fourier

• Goodman, Joseph W. (1996). Introducción a la óptica de Fourier (segunda edición). Singapur: The McGraw-Hill Companies, Inc. pág. 73. ISBN 0-07-024254-2.
• Born, Max ; Wolf, Emil (1999). Principios de óptica: teoría electromagnética de la propagación, interferencia y difracción de la luz (7.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64222-4.OCLC 40200160  .
• Hecht, Eugene (2002). Óptica (4.ª ed.). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 0-321-18878-0.OCLC 47126713  .
• Jenkins, FA; White, HE (1957). Fundamentos de óptica (3.ª ed.). Nueva York: McGraw Hill.

• Difracción de Fraunhofer en ScienceWorld
• Difracción de Fraunhofer en HyperPhysics