Álgebra de Rota-Baxter

En matemáticas , un álgebra de Rota-Baxter es un álgebra asociativa , junto con una función lineal particular que satisface la identidad de Rota-Baxter . Apareció por primera vez en el trabajo del matemático estadounidense Glen E. Baxter [1] en el ámbito de la teoría de la probabilidad . El trabajo de Baxter fue explorado más a fondo desde diferentes ángulos por Gian-Carlo Rota , [2] [3] [4] Pierre Cartier , [5] y Frederic V. Atkinson, [6] entre otros. La derivación de Baxter de esta identidad que más tarde llevó su nombre emanó de algunos de los resultados fundamentales del famoso probabilista Frank Spitzer en la teoría del paseo aleatorio . [7] [8] R {\estilo de visualización R}

En la década de 1980, el operador Rota-Baxter de peso 0 en el contexto de las álgebras de Lie fue redescubierto como la forma del operador de la ecuación clásica de Yang-Baxter , [9] llamada así en honor a los conocidos físicos Chen-Ning Yang y Rodney Baxter .

El estudio de las álgebras de Rota-Baxter experimentó un renacimiento este siglo, comenzando con varios desarrollos, en el enfoque algebraico para la renormalización de la teoría cuántica de campos perturbativa, [10] álgebras dendríformes, análogo asociativo de la ecuación clásica de Yang-Baxter [11] y construcciones de productos aleatorios mezclables. [12]

Definición y primeras propiedades

Sea un anillo conmutativo y sea dado. Un operador lineal en un álgebra se denomina operador de Rota–Baxter de peso si satisface la relación de Rota–Baxter de peso : a {\estilo de visualización k} la {\estilo de visualización \lambda} R {\estilo de visualización R} a {\estilo de visualización k} A {\estilo de visualización A} la {\estilo de visualización \lambda} la {\estilo de visualización \lambda}

R ( incógnita ) R ( y ) = R ( R ( incógnita ) y ) + R ( incógnita R ( y ) ) + la R ( incógnita y ) {\displaystyle R(x)R(y)=R(R(x)y)+R(xR(y))+\lambda R(xy)}

para todos . Entonces el par o simplemente se llama álgebra de Rota–Baxter de peso . En alguna literatura, se utiliza en cuyo caso la ecuación anterior se convierte en incógnita , y ∈ A {\displaystyle x,y\en A} ( A , R ) {\estilo de visualización (A,R)} A {\estilo de visualización A} la {\estilo de visualización \lambda} θ = − la {\displaystyle \theta =-\lambda}

R ( incógnita ) R ( y ) + θ R ( incógnita y ) = R ( R ( incógnita ) y ) + R ( incógnita R ( y ) ) , {\displaystyle R(x)R(y)+\theta R(xy)=R(R(x)y)+R(xR(y)),}

llamada ecuación de peso de Rota-Baxter θ {\displaystyle \theta } . También se utilizan los términos álgebra de operadores de Baxter y álgebra de Baxter.

Sea un operador Rota–Baxter de peso . Entonces es también un operador Rota–Baxter de peso . Además, para en , es un operador Rota–Baxter de peso . R {\displaystyle R} λ {\displaystyle \lambda } − λ I d − R {\displaystyle -\lambda Id-R} λ {\displaystyle \lambda } μ {\displaystyle \mu } k {\displaystyle k} μ R {\displaystyle \mu R} μ λ {\displaystyle \mu \lambda }

Ejemplos

Integración por partes

La integración por partes es un ejemplo de álgebra de Rota–Baxter de peso 0. Sea el álgebra de funciones continuas de la recta real a la recta real. Sea una función continua. Defina la integración como el operador de Rota–Baxter. C ( R ) {\displaystyle C(R)} f ( x ) ∈ C ( R ) {\displaystyle f(x)\in C(R)}

I ( f ) ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t . {\displaystyle I(f)(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt\;.}

Sea y . Entonces la fórmula para la integración de partes se puede escribir en términos de estas variables como G ( x ) = I ( g ) ( x ) {\displaystyle G(x)=I(g)(x)} F ( x ) = I ( f ) ( x ) {\displaystyle F(x)=I(f)(x)}

F ( x ) G ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) G ( t ) d t + ∫ 0 x F ( t ) g ( t ) d t . {\displaystyle F(x)G(x)=\int _{0}^{x}f(t)G(t)dt+\int _{0}^{x}F(t)g(t)dt\;.}

En otras palabras

I ( f ) ( x ) I ( g ) ( x ) = I ( f I ( g ) ( t ) ) ( x ) + I ( I ( f ) ( t ) g ) ( x ) , {\displaystyle I(f)(x)I(g)(x)=I(fI(g)(t))(x)+I(I(f)(t)g)(x)\;,}

lo que demuestra que es un álgebra de Rota-Baxter de peso 0. I {\displaystyle I}

Identidad de Spitzer

La identidad de Spitzer, que lleva el nombre del matemático estadounidense Frank Spitzer , se considera un avance notable en la teoría de las sumas de variables aleatorias independientes en la teoría de fluctuaciones de la probabilidad. Naturalmente, se puede entender en términos de operadores de Rota-Baxter.

Identidad de Bohnenblust-Spitzer

Notas

  1. ^ Baxter, G. (1960). "Un problema analítico cuya solución se desprende de una identidad algebraica simple". Pacific J. Math . 10 (3): 731–742. doi : 10.2140/pjm.1960.10.731 . MR  0119224.
  2. ^ Rota, G.-C. (1969). "Álgebras de Baxter e identidades combinatorias, I, II". Bull. Amer. Math. Soc . 75 (2): 325–329. doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12156-7 .; ibíd. 75, 330–334, (1969). Reimpreso en: Gian-Carlo Rota on Combinatorics: Introductory papers and commentaries , JPS Kung Ed., Contemp. Mathematicians, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995.
  3. ^ G.-C. Rota, Operadores de Baxter, una introducción , en: Gian-Carlo Rota sobre combinatoria, artículos introductorios y comentarios , JPS Kung Ed., Contemp. Mathematicians, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995.
  4. ^ G.-C. Rota y D. Smith, Teoría de fluctuaciones y álgebras de Baxter , Instituto Nazionale di Alta Matematica, IX, 179–201, (1972). Reimpreso en: Gian-Carlo Rota on Combinatorics: Introductory papers and commentaries , JPS Kung Ed., Contemp. Mathematicians, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995.
  5. ^ Cartier, P. (1972). "Sobre la estructura de las álgebras de Baxter libres". Advances in Mathematics . 9 (2): 253–265. doi : 10.1016/0001-8708(72)90018-7 .
  6. ^ Atkinson, FV (1963). "Algunos aspectos de la ecuación funcional de Baxter". J. Math. Anal. Appl . 7 : 1–30. doi : 10.1016/0022-247X(63)90075-1 .
  7. ^ Spitzer, F. (1956). "Un lema combinatorio y su aplicación a la teoría de la probabilidad". Trans. Amer. Math. Soc . 82 (2): 323–339. doi : 10.1090/S0002-9947-1956-0079851-X .
  8. ^ Spitzer, F. (1976). Principios de los paseos aleatorios . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 34 (segunda edición). Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag.
  9. ^ Semenov-Tian-Shansky, MA (1983). "¿Qué es una matriz r clásica?". Func. Anal. Appl . 17 (4): 259–272. doi :10.1007/BF01076717. S2CID  120134842.
  10. ^ Connes, A.; Kreimer, D. (2000). "Renormalización en la teoría cuántica de campos y el problema de Riemann-Hilbert. I. La estructura de grafos del álgebra de Hopf y el teorema principal". Comm. Math. Phys . 210 (1): 249–273. arXiv : hep-th/9912092 . Bibcode :2000CMaPh.210..249C. doi :10.1007/s002200050779. S2CID  17448874.
  11. ^ Aguiar, M. (2000). "Álgebras de Hopf infinitesimales". Contemporáneo. Matemáticas . Matemáticas Contemporáneas. 267 : 1–29. doi :10.1090/conm/267/04262. ISBN 9780821821268.
  12. ^ Guo, L.; Keigher, W. (2000). "Álgebras de Baxter y productos aleatorios". Avances en Matemáticas . 150 : 117–149. arXiv : math/0407155 . doi : 10.1006/aima.1999.1858 .
  • Li Guo. ¿QUÉ ES... un álgebra de Rota-Baxter? Avisos de la AMS, diciembre de 2009, volumen 56, número 11
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