Helicoide

El helicoide , también conocido como superficie helicoidal , es una superficie lisa incrustada en el espacio tridimensional . Es la superficie trazada por una línea infinita que está siendo simultáneamente rotada y elevada a lo largo de su eje fijo de rotación. Es la tercera superficie mínima que se conoce, después del plano y el catenoide .

Fue descrita por Euler en 1774 y por Jean Baptiste Meusnier en 1776. Su nombre deriva de su similitud con la hélice : por cada punto del helicoide, hay una hélice contenida en el helicoide que pasa por ese punto. Dado que se considera que el rango plano se extiende a través del infinito negativo y positivo, una observación atenta muestra la apariencia de dos planos paralelos o especulares en el sentido de que si se traza la pendiente de un plano, se puede ver que el coplano se pasa por alto o se salta, aunque en realidad el coplano también se traza desde la perspectiva opuesta.

El helicoide es también una superficie reglada (y un conoide recto ), lo que significa que es el trazo de una línea. Alternativamente, para cualquier punto de la superficie, existe una línea en la superficie que lo atraviesa. De hecho, Catalan demostró en 1842 que el helicoide y el plano eran las únicas superficies mínimas regladas . ^[1]

Un helicoide es también una superficie de traslación en el sentido de geometría diferencial.

El helicoide y el catenoide son partes de una familia de superficies mínimas helicoide-catenoides.

El helicoide tiene forma de tornillo de Arquímedes , pero se extiende infinitamente en todas las direcciones. Puede describirse mediante las siguientes ecuaciones paramétricas en coordenadas cartesianas :

${\displaystyle x=\rho \cos(\alpha \theta ),\ }$

${\displaystyle y=\rho \sin(\alpha \theta),\ }$

${\displaystyle z=\theta ,\ }$

donde ρ y θ van desde el infinito negativo hasta el infinito positivo , mientras que α es una constante. Si α es positivo, entonces la helicoide es dextrógira como se muestra en la figura; si es negativo, entonces es levógira.

El helicoide tiene curvaturas principales . La suma de estas cantidades da la curvatura media (cero ya que el helicoide es una superficie mínima) y el producto da la curvatura gaussiana .${\displaystyle \pm \alpha /(1+\alpha ^{2}\rho ^{2})\ }$

El helicoide es homeomorfo al plano . Para comprobarlo, supongamos que α disminuye continuamente desde su valor dado hasta cero . Cada valor intermedio de α describirá un helicoide diferente, hasta que se alcance α = 0 y el helicoide se convierta en un plano vertical .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Por el contrario, un plano se puede transformar en un helicoide eligiendo una línea, o eje , en el plano y luego girando el plano alrededor de ese eje.

Si un helicoide de radio R gira en un ángulo de θ alrededor de su eje mientras se eleva una altura h , el área de la superficie está dada por ^[2]

${\displaystyle {\frac {\theta }{2}}\left[R{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}+c^{2}\ln \left({\frac {R+{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}}{c}}\right)\right],\ c={\frac {h}{\theta }}.}$

El helicoide y el catenoide son superficies localmente isométricas; véase Transformación Catenoide#Helicoide .

• Helicoide generalizado
• La superficie de Dini
• Conoide derecho
• Superficie reglada

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• "Helicoide", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Helicoide 3D interactivo basado en WebGL