Empaquetamiento compacto de esferas iguales

En geometría , el empaquetamiento compacto de esferas iguales es una disposición densa de esferas congruentes en una disposición infinita y regular (o red ). Carl Friedrich Gauss demostró que la densidad promedio más alta (es decir, la mayor fracción de espacio ocupada por esferas) que se puede lograr mediante un empaquetamiento en red es

${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\aproximadamente 0,74048}$.

La misma densidad de empaquetamiento también se puede lograr mediante apilamientos alternativos de los mismos planos de esferas compactas, incluidas las estructuras que son aperiódicas en la dirección de apilamiento. La conjetura de Kepler establece que esta es la densidad más alta que se puede lograr con cualquier disposición de esferas, ya sea regular o irregular. Esta conjetura fue demostrada por TC Hales . ^{[1] [2]} La densidad más alta se conoce solo para 1, 2, 3, 8 y 24 dimensiones. ^[3]

Muchas estructuras cristalinas se basan en un empaquetamiento compacto de un solo tipo de átomo, o en un empaquetamiento compacto de iones grandes con iones más pequeños que llenan los espacios entre ellos. Las configuraciones cúbica y hexagonal están muy próximas entre sí en términos de energía, y puede ser difícil predecir qué forma será la preferida a partir de los primeros principios.

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La disposición FCC puede orientarse en dos planos diferentes, cuadrado o triangular. Estos se pueden ver en el cuboctaedro con 12 vértices que representan las posiciones de 12 esferas vecinas alrededor de una esfera central. La disposición HCP se puede ver en la orientación triangular, pero alterna dos posiciones de esferas, en una disposición ortobicúpula triangular .

Hay dos redes regulares simples que alcanzan esta densidad media más alta. Se denominan red cúbica centrada en las caras ( FCC ) (también llamada cúbica compacta ) y red compacta hexagonal ( HCP ), en función de su simetría . Ambas se basan en láminas de esferas dispuestas en los vértices de un mosaico triangular; se diferencian en cómo se apilan las láminas unas sobre otras. La red FCC también es conocida por los matemáticos como la generada por el sistema de raíces A ₃ . ^[4]

El problema del empaquetamiento compacto de esferas fue analizado matemáticamente por primera vez por Thomas Harriot alrededor de 1587, después de que Sir Walter Raleigh le planteara una pregunta sobre cómo apilar balas de cañón en los barcos durante su expedición a América. ^[5] Las balas de cañón generalmente se apilaban en un marco de madera rectangular o triangular, formando una pirámide de tres o cuatro lados. Ambas disposiciones producen una red cúbica centrada en las caras, con diferente orientación respecto al suelo. El empaquetamiento compacto hexagonal daría como resultado una pirámide de seis lados con una base hexagonal.

El problema de la bala de cañón plantea qué disposiciones cuadradas planas de balas de cañón se pueden apilar para formar una pirámide cuadrada. Édouard Lucas formuló el problema como la ecuación diofántica o y conjeturó que las únicas soluciones son y . Aquí se muestra el número de capas en la disposición de apilamiento piramidal y es el número de balas de cañón a lo largo de un borde en la disposición cuadrada plana.${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}}$${\displaystyle {\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}}$${\displaystyle N=1,M=1,}$${\displaystyle N=24,M=70}$${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización M}$

En los sistemas FCC y HCP, cada esfera tiene doce vecinas. Por cada esfera hay un espacio rodeado por seis esferas ( octaédrica ) y dos espacios más pequeños rodeados por cuatro esferas (tetraédrica). Las distancias a los centros de estos espacios desde los centros de las esferas circundantes son √ 3 ⁄ 2 para la tetraédrica y √ 2 para la octaédrica, cuando el radio de la esfera es 1.

Con respecto a una capa de referencia con posicionamiento A, son posibles dos posicionamientos más B y C. Toda secuencia de A, B y C sin repetición inmediata de la misma es posible y da un empaquetamiento igualmente denso para esferas de un radio dado.

Los más regulares son

• FCC = ABC ABC ABC... (cada tercera capa es la misma)
• HCP = AB AB AB AB... (todas las demás capas son iguales).

Existe un número incontablemente infinito de disposiciones desordenadas de planos (por ejemplo, ABCACBABABAC...) que a veces se denominan colectivamente "empaquetamientos de Barlow", en honor al cristalógrafo William Barlow . ^[6]

En el empaquetamiento compacto, el espaciamiento de centro a centro de las esferas en el plano xy es una teselación simple en forma de panal con un paso (distancia entre los centros de las esferas) de un diámetro de esfera. La distancia entre los centros de las esferas, proyectada en el eje z (vertical), es:

${\displaystyle {\text{paso}}_{Z}={\sqrt {6}}\cdot {d \sobre 3}\aproximadamente 0,816\,496\,58d,}$

donde d es el diámetro de una esfera; esto se deduce de la disposición tetraédrica de esferas compactas.

El número de coordinación de HCP y FCC es 12 y sus factores de empaquetamiento atómico (APF) son iguales al número mencionado anteriormente, 0,74.

Comparación entre HCP y FCC
Figura 1 – La red HCP (izquierda) y la red FCC (derecha). El contorno de cada red Bravais respectiva se muestra en rojo. Las letras indican qué capas son iguales. Hay dos capas "A" en la matriz HCP, donde todas las esferas están en la misma posición. Las tres capas de la pila FCC son diferentes. Nótese que el apilamiento FCC puede convertirse en apilamiento HCP mediante la traslación de la esfera superior, como se muestra con el contorno discontinuo.

Al formar cualquier red de empaquetamiento de esferas, el primer hecho que hay que notar es que siempre que dos esferas se tocan se puede trazar una línea recta desde el centro de una esfera hasta el centro de la otra que intersecta el punto de contacto. La distancia entre los centros a lo largo del camino más corto, es decir, esa línea recta, será, por lo tanto, r ₁  +  r _2, donde r ₁ es el radio de la primera esfera y r ₂ es el radio de la segunda. En el empaquetamiento compacto, todas las esferas comparten un radio común, r . Por lo tanto, dos centros simplemente tendrían una distancia 2 r .

Para formar un empaquetamiento hexagonal ABAB-... de esferas, los puntos de coordenadas de la red serán los centros de las esferas. Supongamos que el objetivo es llenar una caja con esferas según el HCP. La caja se colocaría en el espacio de coordenadas x - y - z .

Primero, forma una fila de esferas. Todos los centros estarán sobre una línea recta. Su coordenada x variará en 2 r ya que la distancia entre cada centro de las esferas que se tocan es 2 r . La coordenada y y la coordenada z serán las mismas. Para simplificar, digamos que las bolas son la primera fila y que sus coordenadas y y z son simplemente r , de modo que sus superficies descansan sobre los planos cero. Las coordenadas de los centros de la primera fila se verán así: (2 r ,  r ,  r ), (4 r ,  r ,  r ), (6 r  , r ,  r ), (8 r  , r ,  r ), ... .

Ahora, forma la siguiente fila de esferas. Nuevamente, todos los centros estarán sobre una línea recta con diferencias en la coordenada x de 2 r , pero habrá un cambio de distancia r en la dirección x de modo que el centro de cada esfera en esta fila se alinee con la coordenada x de donde se tocan dos esferas en la primera fila. Esto permite que las esferas de la nueva fila se deslicen más cerca de la primera fila hasta que todas las esferas en la nueva fila toquen dos esferas de la primera fila. Como las nuevas esferas tocan dos esferas, sus centros forman un triángulo equilátero con los centros de esas dos vecinas. Las longitudes de los lados son todas 2 r , por lo que la altura o la diferencia de la coordenada y entre las filas es √ 3 r . Por lo tanto, esta fila tendrá coordenadas como esta:

${\displaystyle \left(r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(3r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(5r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(7r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\dots .}$

La primera esfera de esta fila solo toca una esfera de la fila original, pero su ubicación sigue el mismo patrón que el resto de la fila.

La siguiente fila sigue este patrón de desplazar la coordenada x en r y la coordenada y en √ 3. Agregue filas hasta alcanzar los bordes máximos x e y del cuadro.

En un patrón de apilamiento ABAB-..., los planos impares de las esferas tendrán exactamente las mismas coordenadas, salvo por una diferencia de paso en las coordenadas z , y los planos pares de las esferas compartirán las mismas coordenadas x e y . Ambos tipos de planos se forman utilizando el patrón mencionado anteriormente, pero el punto de partida para la primera esfera de la primera fila será diferente.

Utilizando el plano descrito con precisión arriba como plano n.° 1, el plano A, coloque una esfera encima de este plano de modo que quede en contacto con tres esferas en el plano A. Las tres esferas ya se tocan entre sí, formando un triángulo equilátero, y como todas tocan la nueva esfera, los cuatro centros forman un tetraedro regular . ^[7] Todos los lados son iguales a 2 r porque todos los lados están formados por dos esferas que se tocan. La altura de la cual o la diferencia de coordenadas z entre los dos "planos" es ⁠√ 6 r 2/3⁠ . Esto, combinado con los desplazamientos en las coordenadas x e y, da los centros de la primera fila en el plano B:

${\displaystyle \left(r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(3r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(5r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(7r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\dots .}$

Las coordenadas de la segunda fila siguen el patrón descrito anteriormente y son:

${\displaystyle \left(2r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(4r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(6r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(8r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\dots .}$

La diferencia con el siguiente plano, el plano A, es nuevamente ⁠√ 6 r 2/3⁠ en la dirección z y un desplazamiento en x e y para que coincidan con las coordenadas x e y del primer plano A. ^[8]

En general, las coordenadas de los centros de las esferas se pueden escribir como:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+((j\ +\ k){\bmod {2}})\\{\sqrt {3}}\left[j+{\frac {1}{3}}(k{\bmod {2}})\right]\\{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}k\end{bmatrix}}r}$

donde i , j y k son índices que comienzan en 0 para las coordenadas x , y y z .

Las características cristalográficas de los sistemas HCP, como los vectores y las familias de planos atómicos, se pueden describir utilizando una notación de índice de Miller de cuatro valores ( hkil ) en la que el tercer índice i denota un componente degenerado pero conveniente que es igual a − h  −  k . Las direcciones de los índices h , i y k están separadas por 120° y, por lo tanto, no son ortogonales; el componente l es mutuamente perpendicular a las direcciones de los índices h , i y k .

Los empaquetamientos FCC y HCP son los empaquetamientos más densos conocidos de esferas iguales con la mayor simetría (unidades de repetición más pequeñas). Se conocen empaquetamientos de esferas más densos , pero implican un empaquetamiento de esferas desigual . Una densidad de empaquetamiento de 1, que llena el espacio por completo, requiere formas no esféricas, como panales de abeja .

Reemplazando cada punto de contacto entre dos esferas por una arista que conecta los centros de las esferas en contacto se producen tetraedros y octaedros con longitudes de arista iguales. La disposición FCC produce el panal tetraédrico-octaédrico . La disposición HCP produce el panal tetraédrico-octaédrico girado . Si, en cambio, cada esfera se aumenta con los puntos en el espacio que están más cerca de ella que de cualquier otra esfera, se producen los duales de estos panales: el panal dodecaédrico rómbico para FCC y el panal dodecaédrico trapezo-rómbico para HCP.

Las burbujas esféricas aparecen en agua jabonosa en una disposición FCC o HCP cuando el agua en los espacios entre las burbujas se drena. Este patrón también se aproxima al panal dodecaédrico rómbico o al panal dodecaédrico trapezoidal rómbico . Sin embargo, tales espumas FCC o HCP de muy pequeño contenido de líquido son inestables, ya que no satisfacen las leyes de Plateau . La espuma Kelvin y la espuma Weaire-Phelan son más estables, teniendo una energía interfacial menor en el límite de un contenido de líquido muy pequeño. ^[9]

Existen dos tipos de huecos intersticiales que dejan las conformaciones hcp y fcc: huecos tetraédricos y huecos octaédricos. Cuatro esferas rodean el hueco tetraédrico, con tres esferas en una capa y una esfera de la siguiente capa. Seis esferas rodean huecos octaédricos, con tres esferas que provienen de una capa y tres esferas que provienen de la siguiente capa. Las estructuras de muchos compuestos químicos simples, por ejemplo, se describen a menudo en términos de átomos pequeños que ocupan huecos tetraédricos u octaédricos en sistemas cerrados que se forman a partir de átomos más grandes.

Las estructuras en capas se forman alternando planos octaédricos vacíos y llenos. Dos capas octaédricas suelen permitir cuatro disposiciones estructurales que pueden llenarse mediante un sistema de empaquetamiento de fcc o hpc. Al llenar huecos tetraédricos, un llenado completo conduce a una matriz de campos fcc. En las celdas unitarias, el llenado de huecos a veces puede conducir a matrices poliédricas con una mezcla de capas de fcc y hcp. ^[10]

• Sistema de cristal cúbico
• Constante de Hermite
• Paquete cerrado aleatorio
• Empaquetado de esferas
• Empaque de esferas cilíndricas

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• P. Krishna y D. Pandey, "Estructuras compactas" Unión Internacional de Cristalografía, por University College Cardiff Press, Cardiff, Gales. PDF