Espiral cónica

En matemáticas , una espiral cónica , también conocida como hélice cónica , ^[1] es una curva espacial sobre un cono circular recto , cuya proyección en el suelo es una espiral plana . Si la proyección en el suelo es una espiral logarítmica , se denomina conchoespiral (de conch ).

En el plano - - una espiral con representación paramétrica${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$

${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }$

Se puede agregar una tercera coordenada de manera que la curva espacial se encuentre en el cono con la ecuación  :${\displaystyle z(\varphi )}$${\displaystyle \;m^{2}(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;}$

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {rojo}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .}$

Estas curvas se denominan espirales cónicas. ^[2] Pappos las conocía .

El parámetro es la pendiente de las líneas del cono con respecto al plano - .${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$

Una espiral cónica, en cambio, puede verse como la proyección ortogonal de la espiral de la planta sobre el cono.

1) Comenzando con una espiral arquimediana se obtiene la espiral cónica (ver diagrama)${\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}$

${\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ . }$

En este caso la espiral cónica puede verse como la curva de intersección del cono con un helicoide .

2) El segundo diagrama muestra una espiral cónica con una espiral de Fermat como planta.${\displaystyle \;r(\varphi )=\pm a{\sqrt {\varphi }}\;}$

3) El tercer ejemplo tiene como planta una espiral logarítmica . Su particularidad es su pendiente constante (ver abajo).${\displaystyle \;r(\varphi )=ae^{k\varphi }\;}$

Introduciendo la abreviatura se da la descripción: .$Estilo de visualización K=e^{k}}$${\displaystyle r(\varphi )=aK^{\varphi }}$

4) El ejemplo 4 se basa en una espiral hiperbólica . Dicha espiral tiene una asíntota (línea negra), que es la planta de una hipérbola (violeta). La espiral cónica se aproxima a la hipérbola para .${\displaystyle \;r(\varphi )=a/\varphi \;}$${\displaystyle \varphi \to 0}$

La siguiente investigación trata sobre espirales cónicas de la forma y , respectivamente.${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$

La pendiente en un punto de una espiral cónica es la pendiente de la tangente de ese punto con respecto al plano - . El ángulo correspondiente es su ángulo de pendiente (ver diagrama):${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$

${\displaystyle \tan \beta ={\frac {z'}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}}}}={\frac {mr'}{\sqrt {(r')^{2}+r^{2}}}}\ .}$

Una espiral con da:${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$

• ${\displaystyle \tan \beta ={\frac {mn}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}}\ .}$

Para una espiral arquimediana , , y por lo tanto su pendiente es${\estilo de visualización n=1}$${\displaystyle \ \tan \beta ={\tfrac {m}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}\ .}$

• Para una espiral logarítmica con pendiente ( ).${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$${\displaystyle \ \tan \beta ={\tfrac {mk}{\sqrt {1+k^{2}}}}\ }$${\displaystyle \color {rojo}{\text{ ¡constante!}}}$

Debido a esta propiedad, una conchoespiral se denomina espiral cónica equiangular .

La longitud de un arco de una espiral cónica se puede determinar mediante

${\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(1+m^{2})(r')^{2}+r^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}$

Para una espiral arquimediana la integral se puede resolver con ayuda de una tabla de integrales , de manera análoga al caso planar:

${\displaystyle L={\frac {a}{2}}\left[\varphi {\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}+(1+m^{2})\ln \left(\varphi +{\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}\right)\right]_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\ .}$

Para una espiral logarítmica la integral se puede resolver fácilmente:

${\displaystyle L={\frac {\sqrt {(1+m^{2})k^{2}+1}}{k}}(r{\big (}\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}$

En otros casos se producen integrales elípticas .

Para el desarrollo de una espiral cónica ^[3] se debe determinar la distancia de un punto de la curva al vértice del cono y la relación entre el ángulo y el ángulo correspondiente del desarrollo:${\displaystyle \rho (\varphi )}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle (0,0,z_{0})}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-z_{0})^{2}}}={\sqrt {1+m^{2}}}\;r\ ,}$

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+m^{2}}}\psi \ .}$

Por lo tanto la representación polar de la espiral cónica desarrollada es:

• ${\displaystyle \rho (\psi )={\sqrt {1+m^{2}}}\;r({\sqrt {1+m^{2}}}\psi )}$

En el caso de la representación polar de la curva desarrollada es${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$

${\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}^{\,n+1}\psi ^{n},}$

que describe una espiral del mismo tipo.

• Si la planta de una espiral cónica es una espiral arquimediana , entonces su desarrollo es una espiral arquimediana.

En el caso de una espiral hiperbólica ( ) el desarrollo es congruente con la espiral de la planta.${\displaystyle n=-1}$

En el caso de una espiral logarítmica el desarrollo es una espiral logarítmica:${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$

${\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}\;e^{k{\sqrt {1+m^{2}}}\psi }\ .}$

El conjunto de puntos de intersección de las tangentes de una espiral cónica con el plano - (plano que pasa por el vértice del cono) se llama su traza tangente .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Para la espiral cónica

${\displaystyle (r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,mr)}$

El vector tangente es

${\displaystyle (r'\cos \varphi -r\sin \varphi ,r'\sin \varphi +r\cos \varphi ,mr')^{T}}$

y la tangente:

${\displaystyle x(t)=r\cos \varphi +t(r'\cos \varphi -r\sin \varphi )\ ,}$

${\displaystyle y(t)=r\sin \varphi +t(r'\sin \varphi +r\cos \varphi )\ ,}$

${\displaystyle z(t)=mr+tmr'\ .}$

El punto de intersección con el plano - tiene parámetro y el punto de intersección es${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t=-r/r'}$

• ${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{r'}}\sin \varphi ,-{\frac {r^{2}}{r'}}\cos \varphi ,0\right)\ .}$

${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$da y la traza tangente es una espiral. En el caso (espiral hiperbólica) la traza tangente degenera en un círculo con radio (ver diagrama). Porque uno tiene y la traza tangente es una espiral logarítmica, que es congruente con el plano del piso, debido a la autosemejanza de una espiral logarítmica.${\displaystyle \ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {a}{n}}\varphi ^{n+1}\ }$${\displaystyle n=-1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$${\displaystyle \ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {r}{k}}\ }$

• Jamnitzer -Galerie: Espirales 3D. Archivado el 2 de julio de 2021 en Wayback Machine .
• Weisstein, Eric W. "Espiral cónica". MathWorld .