Torsión (álgebra)

En matemáticas , específicamente en la teoría de anillos , un elemento de torsión es un elemento de un módulo que da como resultado cero cuando se multiplica por algún divisor distinto de cero del anillo . El submódulo de torsión de un módulo es el submódulo formado por los elementos de torsión (en los casos en que este es de hecho un submódulo, como cuando el anillo es conmutativo ). Un módulo de torsión es un módulo que consiste completamente en elementos de torsión. Un módulo está libre de torsión si su único elemento de torsión es el elemento cero.

Esta terminología se utiliza más comúnmente para módulos sobre un dominio , es decir, cuando los elementos regulares del anillo son todos sus elementos distintos de cero.

Esta terminología se aplica a los grupos abelianos (en los que se sustituyen "módulo" y "submódulo" por " grupo " y " subgrupo "). Esto se debe a que los grupos abelianos son los módulos sobre el anillo de números enteros (de hecho, este es el origen de la terminología, que se introdujo para los grupos abelianos antes de generalizarse a los módulos).

En el caso de grupos no conmutativos, un elemento de torsión es un elemento de orden finito . A diferencia del caso conmutativo , los elementos de torsión no forman un subgrupo, en general.

Un elemento m de un módulo M sobre un anillo R se denomina elemento de torsión del módulo si existe un elemento regular r del anillo (un elemento que no es divisor de cero ni izquierdo ni derecho ) que aniquila a m , es decir, r  m = 0. En un dominio integral (un anillo conmutativo sin divisores de cero), todo elemento distinto de cero es regular, por lo que un elemento de torsión de un módulo sobre un dominio integral es uno aniquilado por un elemento distinto de cero del dominio integral. Algunos autores utilizan esto como la definición de un elemento de torsión, pero esta definición no funciona bien sobre anillos más generales.

Un módulo M sobre un anillo R se llama módulo de torsión si todos sus elementos son elementos de torsión, y libre de torsión si cero es el único elemento de torsión. ^[1] Si el anillo R es conmutativo, entonces el conjunto de todos los elementos de torsión forma un submódulo de M , llamado submódulo de torsión de M , a veces denotado T( M ). Si R no es conmutativo, T( M ) puede o no ser un submódulo. Se muestra en (Lam 2007) que R es un anillo de Ore derecho si y solo si T( M ) es un submódulo de M para todos los módulos R derechos . Dado que los dominios noetherianos derechos son Ore, esto cubre el caso cuando R es un dominio noetheriano derecho (que podría no ser conmutativo).

De manera más general, sea M un módulo sobre un anillo R y S un subconjunto multiplicativamente cerrado de R. Un elemento m de M se denomina elemento S -torsión si existe un elemento s en S tal que s aniquila a m , es decir, s  m = 0. En particular, se puede tomar como S el conjunto de elementos regulares del anillo R y recuperar la definición anterior.

Un elemento g de un grupo G se denomina elemento de torsión del grupo si tiene orden finito, es decir, si existe un entero positivo m tal que g ^m = e , donde e denota el elemento identidad del grupo y g ^m denota el producto de m copias de g . Un grupo se denomina grupo de torsión (o periódico) si todos sus elementos son elementos de torsión y ungrupo libre de torsión si su único elemento de torsión es el elemento identidad. Cualquiergrupo abelianopuede considerarse como un módulo sobre el anilloZde números enteros, y en este caso coinciden las dos nociones de torsión.

1. Sea M un módulo libre sobre cualquier anillo R . Entonces se sigue inmediatamente de las definiciones que M es libre de torsión (si el anillo R no es un dominio, entonces la torsión se considera con respecto al conjunto S de divisores no nulos de R ). En particular, cualquier grupo abeliano libre es libre de torsión y cualquier espacio vectorial sobre un cuerpo K es libre de torsión cuando se lo considera como un módulo sobre K .
2. A diferencia del ejemplo 1, cualquier grupo finito (abeliano o no) es periódico y finitamente generado . El problema de Burnside , por el contrario, pregunta si un grupo periódico finitamente generado debe ser finito. La respuesta es "no" en general, incluso si el período es fijo.
3. Los elementos de torsión del grupo multiplicativo de un campo son sus raíces de la unidad .
4. En el grupo modular Γ obtenido a partir del grupo SL(2, Z ) de matrices enteras 2×2 con determinante unitario mediante la factorización de su centro , cualquier elemento de torsión no trivial o bien tiene orden dos y es conjugado con el elemento S o bien tiene orden tres y es conjugado con el elemento ST . En este caso, los elementos de torsión no forman un subgrupo, por ejemplo, S  ·  ST = T , que tiene orden infinito.
5. El grupo abeliano Q / Z , formado por los números racionales módulo 1, es periódico, es decir, cada elemento tiene orden finito. Análogamente, el módulo K ( t )/ K [ t ] sobre el anillo R  =  K [ t ] de polinomios en una variable es torsión pura. Ambos ejemplos se pueden generalizar de la siguiente manera: si R es un dominio integral y Q es su campo de fracciones , entonces Q / R es un módulo R de torsión .
6. El subgrupo de torsión de ( R / Z , +) es ( Q / Z , +) mientras que los grupos ( R , +) y ( Z , +) son libres de torsión. El cociente de un grupo abeliano libre de torsión por un subgrupo es libre de torsión exactamente cuando el subgrupo es un subgrupo puro .
7. Consideremos un operador lineal L que actúa sobre un espacio vectorial de dimensión finita V sobre el cuerpo K. Si vemos a V como un K [ L ]-módulo de forma natural, entonces (como resultado de muchas cosas, ya sea simplemente por dimensionalidad finita o como consecuencia del teorema de Cayley-Hamilton ), V es un K [ L ]-módulo de torsión.

Supóngase que R es un dominio ideal principal (conmutativo) y M es un módulo R finitamente generado . Entonces, el teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal da una descripción detallada del módulo M hasta el isomorfismo . En particular, afirma que

${\displaystyle M\simeq F\oplus \mathrm {T} (M),}$

donde F es un módulo R libre de rango finito (que depende solo de M ) y T( M ) es el submódulo de torsión de M . Como corolario , cualquier módulo libre de torsión generado finitamente sobre R es libre. Este corolario no se cumple para dominios conmutativos más generales, incluso para R  =  K [ x , y ], el anillo de polinomios en dos variables. Para módulos no generados finitamente, la descomposición directa anterior no es verdadera. El subgrupo de torsión de un grupo abeliano puede no ser un sumando directo de él.

Supóngase que R es un dominio conmutativo y M es un módulo R. Sea Q el campo de fracciones del anillo R. Entonces se puede considerar el módulo Q.

${\displaystyle M_{Q}=M\o veces _{R}Q,}$

obtenido a partir de M por extensión de escalares . Como Q es un cuerpo, un módulo sobre Q es un espacio vectorial, posiblemente de dimensión infinita. Existe un homomorfismo canónico de grupos abelianos de M a M _Q , y el núcleo de este homomorfismo es precisamente el submódulo de torsión T( M ). De manera más general, si S es un subconjunto multiplicativamente cerrado del anillo R , entonces podemos considerar la localización del R -módulo M ,

${\displaystyle M_{S}=M\o veces _{R}R_{S},}$

que es un módulo sobre la localización R _S . Existe una función canónica de M a M _S , cuyo núcleo es precisamente el submódulo de torsión S de M . Por lo tanto, el submódulo de torsión de M puede interpretarse como el conjunto de los elementos que "se desvanecen en la localización". La misma interpretación sigue siendo válida en el contexto no conmutativo para anillos que satisfacen la condición de Ore , o más generalmente para cualquier conjunto de denominador derecho S y módulo R derecho M .

El concepto de torsión juega un papel importante en el álgebra homológica . Si M y N son dos módulos sobre un dominio conmutativo R (por ejemplo, dos grupos abelianos, cuando R  =  Z ), los funtores Tor producen una familia de R -módulos Tor _i ( M , N ). La S -torsión de un R -módulo M es canónicamente isomorfa a Tor ^R ₁ ( M ,  R _S / R ) por la secuencia exacta de Tor ^R _* : La corta secuencia exacta de R -módulos produce una secuencia exacta , y por lo tanto es el núcleo del mapa de localización de M . El símbolo Tor que denota los funtores refleja esta relación con la torsión algebraica. Este mismo resultado es válido para anillos no conmutativos siempre que el conjunto S sea un conjunto de denominador derecho .${\displaystyle 0\a R\a R_{S}\a R_{S}/R\a 0}$${\displaystyle 0\to \nombre del operador {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)\to M\to M_{S}}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)}$

Los elementos de torsión de una variedad abeliana son puntos de torsión o, en una terminología más antigua, puntos de división . En curvas elípticas, pueden calcularse en términos de polinomios de división .

• Torsión analítica
• Dinámica aritmética
• Módulo plano
• Aniquilador (teoría del anillo)
• Localización de un módulo
• Rango de un grupo abeliano
• Torsión de Ray-Singer
• Grupo abeliano libre de torsión
• Teorema del coeficiente universal

• Ernst Kunz, "Introducción al álgebra conmutativa y la geometría algebraica", Birkhauser 1985, ISBN  0-8176-3065-1
• Irving Kaplansky , "Grupos abelianos infinitos", Universidad de Michigan, 1954.
• Michiel Hazewinkel (2001) [1994], "Submódulo de torsión", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Lam, Tsit Yuen (2007), Ejercicios en módulos y anillos , Libros de problemas de matemáticas, Nueva York: Springer, pp. xviii+412, doi :10.1007/978-0-387-48899-8, ISBN 978-0-387-98850-4, Sr.  2278849
• Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera edición), Springer, pág. 446, ISBN 978-0-387-72828-5.