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Lie groups and Lie algebras |
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En matemáticas , un grupo euclidiano es el grupo de isometrías (euclidianas) de un espacio euclidiano ; es decir, las transformaciones de ese espacio que preservan la distancia euclidiana entre dos puntos cualesquiera (también llamadas transformaciones euclidianas ). El grupo depende únicamente de la dimensión n del espacio, y se denota comúnmente E( n ) o ISO( n ), para grupos ortogonales especiales no homogéneos .
El grupo euclidiano E( n ) comprende todas las traslaciones , rotaciones y reflexiones de ; y combinaciones finitas arbitrarias de ellas. El grupo euclidiano puede considerarse como el grupo de simetría del propio espacio y contiene el grupo de simetrías de cualquier figura (subconjunto) de ese espacio.
Una isometría euclidiana puede ser directa o indirecta , dependiendo de si conserva la lateralidad de las figuras. Las isometrías euclidianas directas forman un subgrupo, el grupo euclidiano especial , a menudo denominado SE( n ) y E + ( n ), cuyos elementos se denominan movimientos rígidos o movimientos euclidianos. Comprenden combinaciones arbitrarias de traslaciones y rotaciones, pero no reflexiones.
Estos grupos se encuentran entre los más antiguos y estudiados, al menos en los casos de dimensión 2 y 3 –implícitamente, mucho antes de que se inventara el concepto de grupo.
El número de grados de libertad para E( n ) es n ( n + 1)/2 , lo que da 3 en caso de n = 2 , y 6 para n = 3 . De estos, n puede atribuirse a la simetría traslacional disponible , y los n ( n − 1)/2 restantes a la simetría rotacional .
Las isometrías directas (es decir, isometrías que preservan la lateralidad de los subconjuntos quirales ) comprenden un subgrupo de E( n ), llamado grupo euclidiano especial y usualmente denotado por E + ( n ) o SE( n ). Incluyen las traslaciones y rotaciones, y combinaciones de las mismas; incluida la transformación de identidad, pero excluidas las reflexiones.
Las isometrías que invierten la lateralidad se denominan indirectas u opuestas . Para cualquier isometría indirecta fija R , como una reflexión sobre algún hiperplano, cualquier otra isometría indirecta puede obtenerse mediante la composición de R con alguna isometría directa. Por lo tanto, las isometrías indirectas son un conjunto lateral de E + ( n ), que puede denotarse por E − ( n ). De ello se deduce que el subgrupo E + ( n ) es de índice 2 en E( n ).
La topología natural del espacio euclidiano implica una topología para el grupo euclidiano E( n ). Es decir, una secuencia f i de isometrías de ( ) se define como convergente si y solo si, para cualquier punto p de , la secuencia de puntos p i converge.
De esta definición se deduce que una función es continua si y sólo si, para cualquier punto p de , la función definida por f p ( t ) = ( f ( t ))( p ) es continua. Una función de este tipo se denomina "trayectoria continua" en E( n ).
Resulta que el grupo euclidiano especial SE( n ) = E + ( n ) es conexo en esta topología. Es decir, dadas dos isometrías directas A y B de , existe una trayectoria continua f en E + ( n ) tal que f (0) = A y f (1) = B . Lo mismo es cierto para las isometrías indirectas E − ( n ). Por otra parte, el grupo E( n ) en su conjunto no es conexo: no existe una trayectoria continua que comience en E + ( n ) y termine en E − ( n ).
Las trayectorias continuas en E(3) juegan un papel importante en la mecánica clásica , porque describen los movimientos físicamente posibles de un cuerpo rígido en el espacio tridimensional a lo largo del tiempo. Se toma f (0) como la transformación identidad I de , que describe la posición inicial del cuerpo. La posición y orientación del cuerpo en cualquier tiempo posterior t se describirá mediante la transformación f (t). Dado que f (0) = I está en E + (3), lo mismo debe ser cierto para f ( t ) para cualquier tiempo posterior. Por esa razón, las isometrías euclidianas directas también se denominan "movimientos rígidos".
Los grupos euclidianos no son sólo grupos topológicos , son grupos de Lie , por lo que las nociones de cálculo pueden adaptarse inmediatamente a este entorno.
El grupo euclidiano E( n ) es un subgrupo del grupo afín para n dimensiones. Ambos grupos tienen una estructura como producto semidirecto del grupo de traslaciones euclidianas con un grupo de transformaciones que preservan el origen, y esta estructura de producto se respeta mediante la inclusión del grupo euclidiano en el grupo afín. Esto da, a fortiori , dos formas de escribir elementos en una notación explícita. Estas son:
Los detalles de la primera representación se dan en la siguiente sección.
En términos del programa de Erlangen de Felix Klein , se puede leer que la geometría euclidiana , la geometría del grupo euclidiano de simetrías, es, por tanto, una especialización de la geometría afín . Se aplican todos los teoremas afines. El origen de la geometría euclidiana permite definir la noción de distancia , a partir de la cual se puede deducir el ángulo .
El grupo euclidiano es un subgrupo del grupo de transformaciones afines .
Tiene como subgrupos el grupo traslacional T( n ), y el grupo ortogonal O( n ). Cualquier elemento de E( n ) es una traslación seguida de una transformación ortogonal (la parte lineal de la isometría), de forma única: donde A es una matriz ortogonal
o la misma transformación ortogonal seguida de una traslación: con c = Ab
T( n ) es un subgrupo normal de E( n ): para cada traslación t y cada isometría u , la composición es nuevamente una traslación.
En conjunto, estos hechos implican que E( n ) es el producto semidirecto de O( n ) extendido por T( n ), que se escribe como . En otras palabras, O( n ) es (de manera natural) también el grupo cociente de E( n ) por T( n ):
Ahora bien, SO( n ), el grupo ortogonal especial , es un subgrupo de O( n ) de índice dos. Por lo tanto, E( n ) tiene un subgrupo E + ( n ), también de índice dos, constituido por isometrías directas . En estos casos el determinante de A es 1.
Se representan como una traslación seguida de una rotación , en lugar de una traslación seguida de algún tipo de reflexión (en las dimensiones 2 y 3, estas son las reflexiones familiares en una línea o plano de espejo , que pueden considerarse como que incluyen el origen , o en 3D, una rotorreflexión ).
Esta relación se escribe comúnmente como: o, equivalentemente:
Tipos de subgrupos de E( n ):
Ejemplos en 3D de combinaciones:
E(1), E(2) y E(3) se pueden clasificar de la siguiente manera, con grados de libertad :
Tipo de isometría | Grados de libertad | ¿Conserva la orientación? |
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Identidad | 0 | Sí |
Traducción | 1 | Sí |
Reflexión en un punto | 1 | No |
Tipo de isometría | Grados de libertad | ¿Conserva la orientación? |
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Identidad | 0 | Sí |
Traducción | 2 | Sí |
Rotación sobre un punto | 3 | Sí |
Reflexión en una línea | 2 | No |
Reflexión de deslizamiento | 3 | No |
Tipo de isometría | Grados de libertad | ¿Conserva la orientación? |
---|---|---|
Identidad | 0 | Sí |
Traducción | 3 | Sí |
Rotación sobre un eje | 5 | Sí |
Desplazamiento del tornillo | 6 | Sí |
Reflexión en un avión | 3 | No |
Operación de un avión planeador | 5 | No |
Rotación incorrecta | 6 | No |
Inversión en un punto | 3 | No |
El teorema de Chasles afirma que cualquier elemento de E + (3) es un desplazamiento de tornillo .
Ver también isometrías 3D que dejan fijo el origen , grupo espacial , involución .
Para algunos pares de isometrías la composición no depende del orden:
Las traslaciones de una distancia dada en cualquier dirección forman una clase de conjugación ; el grupo de traslaciones es la unión de aquellas para todas las distancias.
En 1D, todas las reflexiones están en la misma clase.
En 2D, las rotaciones con el mismo ángulo en cualquier dirección pertenecen a la misma clase. Las reflexiones de deslizamiento con traslación a la misma distancia pertenecen a la misma clase.
En 3D: