Grupo Tate-Shafarevich

En geometría aritmética , el grupo de Tate–Shafarevich Ш( A / K ) de una variedad abeliana A (o más generalmente un esquema de grupo ) definido sobre un cuerpo de números K consiste en los elementos del grupo de Weil–Châtelet , donde es el grupo de Galois absoluto de K , que se vuelven triviales en todas las completaciones de K (es decir, las completaciones reales y complejas así como los cuerpos p -ádicos obtenidos a partir de K completando con respecto a todas sus valoraciones arquimedianas y no arquimedianas v ). Por lo tanto, en términos de cohomología de Galois , Ш( A / K ) puede definirse como Yo do ( A / K ) = yo 1 ( GRAMO K , A ) {\displaystyle \mathrm {WC} (A/K)=H^{1}(G_{K},A)} GRAMO K = GRAMO a yo ( K a yo gramo / K ) {\displaystyle G_{K}=\mathrm {Gal} (K^{alg}/K)}

⋂ en a mi a ( yo 1 ( GRAMO K , A ) → yo 1 ( GRAMO K en , A en ) ) . {\displaystyle \bigcap _{v}\mathrm {ker} \left(H^{1}\left(G_{K},A\right)\rightarrow H^{1}\left(G_{K_{v}},A_{v}\right)\right).}

Este grupo fue introducido por Serge Lang y John Tate [1] e Igor Shafarevich . [2] Cassels introdujo la notación Ш( A / K ) , donde Ш es la letra cirílica " Sha ", para Shafarevich, reemplazando la antigua notación TS o TŠ .

Elementos del grupo Tate-Shafarevich

Geométricamente, los elementos no triviales del grupo de Tate-Shafarevich pueden considerarse como los espacios homogéneos de A que tienen K v - puntos racionales para cada lugar v de K , pero ningún punto K -racional. Por lo tanto, el grupo mide el grado en el que el principio de Hasse no se cumple para ecuaciones racionales con coeficientes en el cuerpo K . Carl-Erik Lind dio un ejemplo de un espacio homogéneo de este tipo, al mostrar que la curva de género 1 x 4 − 17 = 2 y 2 tiene soluciones sobre los números reales y sobre todos los cuerpos p -ádicos, pero no tiene puntos racionales. [3] Ernst S. Selmer dio muchos más ejemplos, como 3 x 3 + 4 y 3 + 5 z 3 = 0 . [4]

El caso especial del grupo de Tate-Shafarevich para el esquema de grupo finito que consiste en puntos de un orden finito dado n de una variedad abeliana está estrechamente relacionado con el grupo de Selmer .

Conjetura de Tate-Shafarevich

La conjetura de Tate-Shafarevich establece que el grupo de Tate-Shafarevich es finito. Karl Rubin demostró esto para algunas curvas elípticas de rango 1 como máximo con multiplicación compleja . [5] Victor A. Kolyvagin extendió esto a curvas elípticas modulares sobre los racionales de rango analítico como máximo 1 (el teorema de modularidad mostró más tarde que el supuesto de modularidad siempre se cumple). [6]

Se sabe que el grupo de Tate-Shafarevich es un grupo de torsión , [7] [8] por lo tanto la conjetura es equivalente a afirmar que el grupo está finitamente generado .

La pareja Cassels-Tate

El apareamiento de Cassels–Tate es un apareamiento bilineal Ш( A ) × Ш(  ) → Q / Z , donde A es una variedad abeliana y  es su dual. Cassels introdujo esto para curvas elípticas , cuando A puede identificarse con  y el apareamiento es una forma alternada. [9] El núcleo de esta forma es el subgrupo de elementos divisibles, lo cual es trivial si la conjetura de Tate–Shafarevich es verdadera. Tate extendió el apareamiento a variedades abelianas generales, como una variación de la dualidad de Tate . [10] Una elección de polarización en A da una función de A a  , que induce un apareamiento bilineal en Ш( A ) con valores en Q / Z , pero a diferencia del caso de las curvas elípticas, esto no necesita ser alternado o incluso asimétrico.

Para una curva elíptica, Cassels demostró que el apareamiento es alternante, y una consecuencia es que si el orden de Ш es finito entonces es un cuadrado. Para variedades abelianas más generales a veces se creyó incorrectamente durante muchos años que el orden de Ш es un cuadrado siempre que sea finito; este error se originó en un artículo de Swinnerton-Dyer, [11] quien citó incorrectamente uno de los resultados de Tate. [10] Poonen y Stoll dieron algunos ejemplos donde el orden es el doble de un cuadrado, como el jacobiano de cierta curva de género 2 sobre los racionales cuyo grupo de Tate-Shafarevich tiene orden 2, [12] y Stein dio algunos ejemplos donde la potencia de un primo impar que divide el orden es impar. [13] Si la variedad abeliana tiene una polarización principal entonces la forma en Ш es antisimétrica lo que implica que el orden de Ш es un cuadrado o dos veces un cuadrado (si es finito), y si además la polarización principal proviene de un divisor racional (como es el caso de las curvas elípticas) entonces la forma es alternada y el orden de Ш es un cuadrado (si es finito). Por otro lado, basándose en los resultados recién presentados, Konstantinous demostró que para cualquier número libre de cuadrados n hay una variedad abeliana A definida sobre Q y un entero m con | Ш | = n  ⋅  m 2 . [14] En particular Ш es finito en los ejemplos de Konstantinous y estos ejemplos confirman una conjetura de Stein. Por lo tanto, módulo cuadrados cualquier entero puede ser del orden de Ш .

Véase también

Citas

  1. ^ Lang y Tate 1958.
  2. ^ Shafarevich 1959.
  3. ^ Lindo 1940.
  4. ^ Selmer 1951.
  5. ^ Rubín 1987.
  6. ^ Kolivagin 1988.
  7. ^ Kolyvagin, VA (1991), "Sobre la estructura de los grupos shafarevich-tate", Geometría algebraica , vol. 1479, Springer Berlin Heidelberg, págs. 94-121, doi : 10.1007/bfb0086267 , ISBN 978-3-540-54456-2, consultado el 1 de septiembre de 2024
  8. ^ Poonen, Bjorn (1 de septiembre de 2024). "EL GRUPO SELMER, EL GRUPO SHAFAREVICH-TATE Y EL TEOREMA DÉBIL DE MORDELL-WEIL" (PDF) .{{cite web}}: CS1 maint: estado de la URL ( enlace )
  9. ^ Cassels 1962.
  10. ^ desde Tate 1963.
  11. ^ Swinnerton-Dyer 1967.
  12. ^ Poonen y Stoll 1999.
  13. ^ Stein 2004.
  14. ^ Constantinous 2024.

Referencias

  • Cassels, John William Scott (1962), "Aritmética de curvas de género 1. III. Los grupos de Tate–Šafarevič y Selmer", Actas de la London Mathematical Society , Tercera serie, 12 : 259–296, doi :10.1112/plms/s3-12.1.259, ISSN  0024-6115, MR  0163913
  • Cassels, John William Scott (1962b), "Aritmética en curvas de género 1. IV. Prueba de la Hauptvermutung", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 211 (211): 95–112, doi :10.1515/crll.1962.211. 95, ISSN  0075-4102, SEÑOR  0163915
  • Cassels, John William Scott (1991), Lecciones sobre curvas elípticas, Textos para estudiantes de la London Mathematical Society, vol. 24, Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9781139172530, ISBN 978-0-521-41517-0, Sr.  1144763
  • Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Geometría diofántica: una introducción , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 201, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98981-5
  • Greenberg, Ralph (1994), "Teoría de Iwasawa y deformación p-ádica de motivos", en Serre, Jean-Pierre ; Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven L. (eds.), Motivos , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1637-0
  • Kolyvagin, VA (1988), "Finitud de E(Q) y SH(E,Q) para una subclase de curvas de Weil", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 52 (3): 522–540, 670–671, ISSN  0373-2436, 954295
  • Lang, Serge ; Tate, John (1958), "Espacios homogéneos principales sobre variedades abelianas", American Journal of Mathematics , 80 (3): 659–684, doi :10.2307/2372778, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372778, MR  0106226
  • Lind, Carl-Erik (1940). Untersuchungen über die racionalen Punkte der ebenen kubischen Kurven vom Geschlecht Eins (Tesis). vol. 1940. Universidad de Upsala. 97 págs. SEÑOR  0022563.
  • Poonen, Bjorn; Stoll, Michael (1999), "El emparejamiento Cassels-Tate en variedades abelianas polarizadas", Annals of Mathematics , Segunda serie, 150 (3): 1109–1149, arXiv : math/9911267 , doi :10.2307/121064, ISSN  0003-486X, JSTOR  121064, MR  1740984
  • Rubin, Karl (1987), "Grupos de Tate-Shafarevich y funciones L de curvas elípticas con multiplicación compleja", Inventiones Mathematicae , 89 (3): 527–559, Bibcode :1987InMat..89..527R, doi :10.1007/BF01388984, ISSN  0020-9910, MR  0903383
  • Selmer, Ernst S. (1951), "La ecuación diofántica ax³+by³+cz³=0", Acta Mathematica , 85 : 203–362, doi : 10.1007/BF02395746 , ISSN  0001-5962, MR  0041871
  • Shafarevich, IR (1959), "El grupo de las principales variedades algebraicas homogéneas", Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso), 124 : 42-43, ISSN  0002-3264, MR  0106227 Traducción al inglés en sus artículos matemáticos recopilados
  • Stein, William A. (2004), "Grupos Shafarevich–Tate de orden no cuadrado" (PDF) , Curvas modulares y variedades abelianas , Progr. Math., vol. 224, Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, págs. 277–289, MR  2058655
  • Swinnerton-Dyer, P. (1967), "Las conjeturas de Birch y Swinnerton-Dyer, y de Tate", en Springer, Tonny A. (ed.), Actas de una conferencia sobre campos locales (Driebergen, 1966) , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 132–157, MR  0230727
  • Tate, John (1958), Grupos de WC sobre campos p-ádicos, Séminaire Bourbaki; 10e año: 1957/1958, vol. 13, París: Secretaría Matemática, MR  0105420
  • Tate, John (1963), "Teoremas de dualidad en la cohomología de Galois sobre cuerpos numéricos", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Estocolmo, 1962) , Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, pp. 288–295, MR  0175892, archivado desde el original el 17 de julio de 2011
  • Weil, André (1955), "Sobre grupos algebraicos y espacios homogéneos", American Journal of Mathematics , 77 (3): 493–512, doi :10.2307/2372637, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372637, MR  0074084
  • Konstantinous, Alexandros (25 de abril de 2024). "Una nota sobre el orden de los cuadrados del módulo del grupo Tate-Shafarevich". arXiv : 2404.16785 [math.NT].
Recuperado de "https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupo_Tate-Shafarevich&oldid=1243997515"