Grupo Mathieu M12

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Grupos discretos Celosías Números enteros (${\displaystyle \mathbb {Z}}$) Grupo libre Grupos modulares LPS(2,${\displaystyle \mathbb {Z}}$) SL(2,${\displaystyle \mathbb {Z}}$) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de Lie Solenoide Círculo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) O( n ) ortogonal E( n ) euclidiana SO( n ) ortogonal especial Unitario U( n ) SU unitario especial ( n ) Sp( n ) simpléctico G2​ F4​ E6​ E7​ E8​ Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Bucle Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Mathieu M ₁₂ es un grupo simple esporádico de orden

   12  · 11  · 10  · 9  · 8 = 2 ⁶  · 3 ³  · 5  · 11 = 95040.

M ₁₂ es uno de los 26 grupos esporádicos y fue introducido por Mathieu  (1861, 1873). Es un grupo de permutación transitiva 5-acentuada sobre 12 objetos. Burgoyne y Fong (1968) demostraron que el multiplicador de Schur de M ₁₂ tiene orden 2 (corrigiendo un error en (Burgoyne y Fong 1966) donde afirmaron incorrectamente que tenía orden 1).

La doble cobertura había sido encontrada implícitamente anteriormente por Coxeter (1958), quien demostró que M ₁₂ es un subgrupo del grupo lineal proyectivo de dimensión 6 sobre el campo finito con 3 elementos.

El grupo de automorfismos externos tiene orden 2, y el grupo de automorfismos completo M ₁₂ .2 está contenido en M ₂₄ como estabilizador de un par de dodecadas complementarias de 24 puntos, con automorfismos externos de M ₁₂ intercambiando las dos dodecadas.

Frobenius (1904) calculó la tabla de caracteres complejos de M ₁₂ .

M ₁₂ tiene una representación de permutación estrictamente 5-transitiva en 12 puntos, cuyo estabilizador de puntos es el grupo de Mathieu M ₁₁ . Identificando los 12 puntos con la línea proyectiva sobre el cuerpo de 11 elementos, M ₁₂ se genera por las permutaciones de PSL ₂ (11) junto con la permutación (2,10)(3,4)(5,9)(6,7). Esta representación de permutación preserva un sistema de Steiner S(5,6,12) de 132 hexadas especiales, de modo que cada péntada está contenida en exactamente 1 hexada especial, y las hexadas son los soportes de las palabras de código de peso 6 del código ternario extendido de Golay . De hecho, M ₁₂ tiene dos acciones inequivalentes en 12 puntos, intercambiadas por un automorfismo externo; estas son análogas a las dos acciones inequivalentes del grupo simétrico S ₆ en 6 puntos.

La doble cubierta 2.M ₁₂ es el grupo de automorfismos del código ternario extendido de Golay , un código de dimensión 6 y longitud 12 sobre el campo de orden 3 de peso mínimo 6. En particular, la doble cubierta tiene una representación irreducible de 6 dimensiones sobre el campo de 3 elementos.

La doble cubierta 2.M ₁₂ es el grupo de automorfismos de cualquier matriz de Hadamard de 12×12 .

M ₁₂ centraliza un elemento de orden 11 en el grupo monstruo , como resultado de lo cual actúa naturalmente sobre un álgebra de vértices sobre el cuerpo con 11 elementos, dado como la cohomología de Tate del álgebra de vértices monstruo .

Hay 11 clases de conjugación de subgrupos máximos de M ₁₂ , 6 de los cuales aparecen en pares automórficos, como sigue:

• M ₁₁ , orden 7920, índice 12. Hay dos clases de subgrupos maximales, intercambiados por un automorfismo externo. Uno es el subgrupo que fija un punto con órbitas de tamaño 1 y 11, mientras que el otro actúa transitivamente sobre 12 puntos.
• S ₆ :2 = M ₁₀ .2, el grupo de automorfismos externos del grupo simétrico S ₆ de orden 1440, índice 66. Hay dos clases de subgrupos maximales, intercambiados por un automorfismo externo. Uno es imprimitivo y transitivo, actuando con 2 bloques de 6, mientras que el otro es el subgrupo que fija un par de puntos y tiene órbitas de tamaño 2 y 10.
• PSL(2,11), orden 660, índice 144, doblemente transitiva en los 12 puntos
• 3 ² :(2.S ₄ ), orden 432. Hay dos clases de subgrupos maximales, intercambiados por un automorfismo externo. Uno actúa con órbitas de 3 y 9, y el otro es imprimitivo en 4 conjuntos de 3.

Isomorfo al grupo afín en el espacio C ₃ x C ₃ .

• S ₅ x 2, orden 240, doblemente imprimitiva en 6 series de 2 puntos

Centralizador de una transposición séxtuple

• Q :S ₄ , orden 192, órbitas de 4 y 8.

Centralizador de una cuádruple transposición

• 4 ² :(2 x S ₃ ), orden 192, imprimitivo en 3 conjuntos de 4
• A ₄ x S ₃ , orden 72, doblemente imprimitiva, 4 series de 3 puntos.

La forma de ciclo de un elemento y su conjugado bajo un automorfismo externo están relacionados de la siguiente manera: la unión de las dos formas de ciclo está equilibrada, es decir, es invariante al cambiar cada n -ciclo a un ciclo N / n para algún entero N.

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• MathWorld: Grupos de Mathieu
• Atlas de representaciones de grupos finitos: M12