Coherencia de orden superior

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En óptica cuántica , las funciones de correlación se utilizan para caracterizar las propiedades estadísticas y de coherencia (la capacidad de las ondas para interferir) de la radiación electromagnética , como la luz óptica . La coherencia de orden superior o coherencia de orden n (para cualquier entero positivo n > 1) extiende el concepto de coherencia a la óptica cuántica y los experimentos de coincidencia. ^[1] Se utiliza para diferenciar entre experimentos ópticos que requieren una descripción mecánico cuántica de aquellos para los que los campos clásicos son suficientes.

Los experimentos ópticos clásicos, como el experimento de la doble rendija de Young y la interferometría de Mach-Zehnder, se caracterizan únicamente por la coherencia de primer orden. El experimento de Hanbury Brown y Twiss de 1956 sacó a la luz un tipo diferente de correlación entre campos, a saber, la correlación de intensidades, que corresponden a coherencias de segundo orden. ^{[2] Las ondas coherentes tienen una relación} de fase constante bien definida . Las funciones de coherencia, introducidas por Roy Glauber y otros en la década de 1960, capturan las matemáticas detrás de la intuición al definir la correlación entre los componentes del campo eléctrico como coherencia. ^[3] Estas correlaciones entre los componentes del campo eléctrico se pueden medir en órdenes arbitrarios, lo que conduce al concepto de diferentes órdenes o grados de coherencia . ^[4]

Los órdenes de coherencia se pueden medir utilizando funciones de correlación clásicas o utilizando el análogo cuántico de esas funciones, que toman como entrada la descripción mecánico-cuántica de los operadores del campo eléctrico. El mecanismo subyacente y la descripción de los procesos físicos son fundamentalmente diferentes porque la interferencia cuántica se ocupa de la interferencia de historias posibles, mientras que la interferencia clásica se ocupa de la interferencia de ondas físicas. ^[3]

Consideraciones análogas se aplican a otros sistemas ondulatorios. Por ejemplo, el caso de las correlaciones de Bose-Einstein en la física de la materia condensada .

La función de correlación de primer orden normalizada se escribe como: ^[5]

${\displaystyle \gamma ^{(1)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})={\frac {\left\ langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right\rangle }{\left[\left \langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2 },t_{2})\right|^{2}\right\rangle \right]^{\frac {1}{2}}}},}$

donde denota un promedio de conjunto (estadístico). Para estados no estacionarios, como los pulsos, el conjunto está formado por muchos pulsos. Cuando se trata de estados estacionarios, donde las propiedades estadísticas no cambian con el tiempo, se puede reemplazar el promedio de conjunto por un promedio de tiempo. Si nos limitamos a ondas planas paralelas entre sí, entonces .${\displaystyle \langle \cdots \rangle }$${\displaystyle \mathbf {r} =z}$

En este caso, el resultado para estados estacionarios no dependerá de , sino del retardo temporal (o si ).$estilo de visualización t_{1}$${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}={\frac {z_{1}-z_{2}}{c}}}$${\displaystyle z_{1}\neq z_{2}}$

Esto nos permite escribir una forma simplificada

${\displaystyle \gamma ^{(1)}(\tau )={\frac {\left\langle E^{*}(t)E(t+\tau )\right\rangle }{\left\langle \left|E(t)\right|^{2}\right\rangle }},}$

donde ahora hemos promediado sobre t .

En los interferómetros ópticos, como el interferómetro de Michelson , el interferómetro de Mach-Zehnder o el interferómetro de Sagnac , se divide un campo eléctrico en dos componentes, se introduce un retardo temporal en uno de los componentes y luego se recombinan. La intensidad del campo resultante se mide en función del retardo temporal. En este caso específico que involucra dos intensidades de entrada iguales, la visibilidad del patrón de interferencia resultante viene dada por: ^[6]

${\displaystyle {\begin{alineado}\nu &=\left|\gamma ^{(1)}(\tau )\right|\\\nu &=\left|\gamma ^{(1)}(\ mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|\end{aligned}}}$

donde la segunda expresión implica combinar dos puntos espacio-temporales de un campo. La visibilidad varía de cero, para campos eléctricos incoherentes, a uno, para campos eléctricos coherentes. Cualquier valor intermedio se describe como parcialmente coherente.

Generalmente, y .${\displaystyle \gamma ^{(1)}(0)=1}$${\displaystyle \gamma ^{(1)}(\tau )=\gamma ^{(1)}(-\tau )^{*}}$

Para luz de una sola frecuencia (de una fuente puntual):

${\displaystyle \gamma ^{(1)}(\tau )=e^{-i\omega _{0}\tau }}$

Para luz caótica lorentziana (por ejemplo, colisión ampliada):

${\displaystyle \gamma ^{(1)}(\tau )=e^{-i\omega _{0}\tau -{\frac {|\tau |}{\tau _{c}}}}}$

Para luz caótica gaussiana (por ejemplo, Doppler ampliado):

${\displaystyle \gamma ^{(1)}(\tau )=e^{-i\omega _{0}\tau -{\frac {\pi }{2}}\left({\frac {\tau }{\tau _ {c}}}\right)^{2}}}$

Aquí está la frecuencia central de la luz y es el tiempo de coherencia de la luz.${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \tau_{c}}$

En el experimento de la doble rendija, creado originalmente por Thomas Young en 1801, se permite que la luz de una fuente de luz pase a través de dos orificios separados por cierta distancia y se coloca una pantalla a cierta distancia de los orificios donde se observa la interferencia entre las ondas de luz (Figura 1). El experimento de la doble rendija de Young demuestra la dependencia de la interferencia con respecto a la coherencia, específicamente con respecto a la correlación de primer orden. Este experimento es equivalente al interferómetro de Mach-Zehnder con la salvedad de que el experimento de la doble rendija de Young se ocupa de la coherencia espacial, mientras que el interferómetro de Mach-Zehnder se basa en la coherencia temporal. ^[4]

La intensidad medida en la posición en el momento es${\displaystyle \mathbf {r}}$${\estilo de visualización t}$

${\displaystyle \langle I\rangle =\langle |E^{+}(\mathbf {r} ,t)|^{2}\rangle =\langle I\rangle =I_{1}+I_{2}+ 2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}|\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|\cos {\phi (x_{1},x_{2) })}}$.

El campo de luz tiene el mayor grado de coherencia cuando el patrón de interferencia correspondiente tiene el máximo contraste en la pantalla. El contraste de franjas se define como .${\displaystyle V={\frac {I_{\rm {máx}}-I_{\rm {mín}}}{I_{\rm {máx}}+I_{\rm {mín}}}}}$

Clásicamente, y por tanto , como la coherencia es la capacidad de interferir, la visibilidad y la coherencia están vinculadas:${\displaystyle I_{\rm {mín}}^{\rm {máx}}=I_{1}+I_{2}\pm 2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}|\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|}$${\displaystyle V={\frac {2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}|\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|}{I_{1}+I_{2}}}}$

${\displaystyle |\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|=1}$significa el mayor contraste y coherencia completa

${\displaystyle 0<|\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|<1}$significa visibilidad parcial de las franjas, coherencia parcial

${\displaystyle |\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|=0}$significa que no hay contraste, que hay una incoherencia total. ^{[4] [2]}

Clásicamente, el campo eléctrico en una posición , es la suma de los componentes del campo eléctrico de los dos agujeros en y en momentos anteriores, respectivamente, es decir . En consecuencia, en la descripción cuántica los operadores del campo eléctrico están relacionados de manera similar, . Esto implica${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$${\displaystyle t_{1},t_{2}}$${\displaystyle E^{+}(\mathbf {r} ,t)=E^{+}(\mathbf {r_{1}} ,t_{1})+E^{+}(\mathbf {r} _{2},t_{2})}$${\displaystyle {\hat {E}}^{+}(\mathbf {r} ,t)={\hat {E}}^{+}(\mathbf {r_{1}} ,t_{1})+{\hat {E}}^{+}(\mathbf {r} _{2},t_{2})}$

${\displaystyle I=\mathrm {Tr} [\rho {\hat {E}}^{-}(\mathbf {r} ,t){\hat {E}}^{+}(\mathbf {r} ,t)]=I_{1}+I_{2}+2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}|g^{(1)}(x_{1},x_{2})|\cos \phi (x_{1},x_{2})}$.

La intensidad fluctúa como una función de la posición, es decir, el tratamiento mecánico cuántico también predice franjas de interferencia. Además, de acuerdo con la comprensión intuitiva de la coherencia, es decir, la capacidad de interferir, los patrones de interferencia dependen de la función de correlación de primer orden . ^[3] Comparando esto con la intensidad clásica, notamos que la única diferencia es que la correlación normalizada clásica ahora es reemplazada por la correlación cuántica . Incluso los cálculos aquí parecen sorprendentemente similares a los que podrían hacerse clásicamente. ^[4] Sin embargo, la interferencia cuántica que ocurre en este proceso es fundamentalmente diferente de la interferencia clásica de las ondas electromagnéticas. La interferencia cuántica ocurre cuando dos historias posibles, dado un estado inicial y final particular, interfieren. En este experimento, dado un estado inicial del fotón antes del agujero de alfiler y su estado final en la pantalla, las dos historias posibles corresponden a los dos agujeros de alfiler a través de los cuales el fotón podría haber pasado. Por lo tanto, mecánicamente cuántico, aquí el fotón está interfiriendo consigo mismo. Sin embargo, esta interferencia de diferentes historias sólo ocurre cuando el observador no tiene una manera específica de determinar cuál de las diferentes historias ocurrió realmente. Si se observa el sistema para determinar la trayectoria del fotón, entonces, en promedio, la interferencia de amplitudes desaparecerá. ^[3]${\displaystyle g^{(1)}}$${\displaystyle \gamma ^{(1)}}$${\displaystyle g^{(1)}}$

La función de correlación de segundo orden normalizada se escribe como: ^[7]

${\displaystyle g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E^{*}(\mathbf {r} _{2},t_{2})E(\mathbf {r} _{2},t_{2})E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right\rangle }{\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle }}}$

Nótese que esto no es una generalización de la coherencia de primer orden.

Si consideramos los campos eléctricos clásicos, podemos reordenarlos para expresarlos en términos de intensidades. Una onda plana paralela en estado estacionario tendrá${\displaystyle g^{(2)}}$

${\displaystyle g^{(2)}(\tau )={\frac {\left\langle I(t)I(t+\tau )\right\rangle }{\left\langle I(t)\right\rangle ^{2}}}}$

La expresión anterior es par, . Para los campos clásicos, se puede aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz a las intensidades en la expresión anterior (ya que son números reales) para mostrar que . La desigualdad muestra que . Suponiendo independencia de intensidades cuando conduce a . Sin embargo, la coherencia de segundo orden para un promedio sobre franjas de salidas complementarias del interferómetro de un estado coherente es solo 0,5 (aunque para cada salida). Y (calculado a partir de promedios) se puede reducir a cero con un nivel de activación discriminante adecuado aplicado a la señal (dentro del rango de coherencia).${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=g^{(2)}(-\tau )}$${\displaystyle g^{(2)}(\tau )\leq g^{(2)}(0)}$${\displaystyle \left\langle I(t)I(t)\right\rangle -{\left\langle I(t)\right\rangle }^{2}=\left\langle {\left[I(t)-\left\langle I(t)\right\rangle \right]}^{2}\right\rangle \geq 0}$${\displaystyle 1\leq g^{(2)}(0)\leq \infty }$${\displaystyle \tau \to +\infty }$${\displaystyle g^{(2)}(+\infty )=1}$${\displaystyle g^{(2)}=1}$${\displaystyle g^{(2)}}$

Se dice que la luz está agrupada si y antiagrupada si .${\displaystyle g^{(2)}(\tau )<g^{(2)}(0)}$${\displaystyle g^{(2)}(\tau )>g^{(2)}(0)}$

• Luz caótica de todo tipo, de la relación de Siegert: ^[8] .${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1+\left|g^{(1)}(\tau )\right|^{2}}$

Tenga en cuenta que el efecto Hanbury Brown y Twiss utiliza este hecho para encontrar a partir de una medición de .${\displaystyle \left|g^{(1)}(\tau )\right|}$${\displaystyle g^{(2)}(\tau )}$

• Luz de una sola frecuencia: .${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1}$

• En el caso del antiagrupamiento de fotones , tenemos para una sola fuente de fotones porque${\displaystyle \tau =0}$${\displaystyle g^{(2)}(0)=0}$

  ${\displaystyle g^{(2)}(0)={\frac {\left\langle n(n-1)\right\rangle }{\left\langle n\right\rangle ^{2}}},}$

  ¿Dónde está el número de fotones observables? ^[9]${\displaystyle n}$

El campo eléctrico se puede separar en sus componentes de frecuencia positivos y negativos . Cualquiera de los dos componentes de frecuencia contiene toda la información física sobre la onda. ^[3] Las funciones de correlación clásicas de primer orden, segundo orden y n- ésimo orden se definen de la siguiente manera${\displaystyle E(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle E(\mathbf {r} ,t)=E^{+}(\mathbf {r} ,t)+E^{-}(\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle G_{c}^{(1)}(x_{1},x_{2})=\langle E^{-}(x_{1})E^{+}(x_{2})\rangle }$,

${\displaystyle G_{c}^{(2)}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\langle E^{-}(x_{1})E^{-}(x_{2})E^{+}(x_{3})E^{+}(x_{4})\rangle }$,

${\displaystyle G_{c}^{(n)}(x_{1},x_{2},...,x_{2n})=\langle E^{-}(x_{1})...E^{-}(x_{n})E^{+}(x_{n+1})...E^{+}(x_{2n})\rangle }$,

donde representa . Si bien el orden de y , no importa en el caso clásico, ya que son simplemente números y, por lo tanto, conmutan, el orden es vital en el análogo cuántico de estas funciones de correlación. ^[4] La función de correlación de primer orden, medida al mismo tiempo y posición, nos da la intensidad, es decir . La función de correlación normalizada clásica de orden n se define dividiendo la función de correlación de orden n por todas las intensidades correspondientes:${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle (\mathbf {r} _{i},t_{i})}$${\displaystyle E^{+}(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle E^{-}(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle G_{c}^{(1)}(x_{1},x_{1})=I}$

${\displaystyle \gamma ^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})={\frac {G_{c}^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})}{G_{c}^{(1)}(x_{1},x_{1})...G^{(1)}(x_{n},x_{n})}}}$.

En mecánica cuántica, los componentes de frecuencia positivos y negativos del campo eléctrico se sustituyen por los operadores y respectivamente. En la imagen de Heisenberg ,${\displaystyle {\hat {E}}^{+}}$${\displaystyle {\hat {E}}^{-}}$

${\displaystyle {\hat {E}}^{+}=i\sum \limits _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar \omega _{k}}{2\epsilon _{0}V}}}{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\mu }e^{i\mathbf {k} .\mathbf {r} }\mathbf {e} _{\mathbf {k} ,\mu }}$,

donde es el vector de polarización , es el vector unitario perpendicular a , con significando uno de los dos vectores que son perpendiculares al vector de polarización, es la frecuencia del modo y es el volumen. ^[2] La función de correlación cuántica de orden n se define como:${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbf {e} _{\mathbf {k} ,\mu }}$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \omega _{k}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})=\mathrm {Tr} [{\hat {\rho }}{\hat {E}}^{-}(x_{1})...{\hat {E}}^{-}(x_{n}){\hat {E}}^{+}(x_{n+1})...{\hat {E}}^{+}(x_{2n})]}$.

El orden de los operadores y sí importa. Esto se debe a que los componentes de frecuencia positiva y negativa ( y ) son proporcionales a los operadores de aniquilación y creación respectivamente, y y no conmutan. Cuando los operadores se escriben en el orden que se muestra en la ecuación anterior, se dice que están en un orden normal. Posteriormente, la función de correlación normalizada de orden n se define como:${\displaystyle {\hat {E}}^{+}}$${\displaystyle {\hat {E}}^{-}}$${\displaystyle {\hat {E}}^{+}}$${\displaystyle {\hat {E}}^{-}}$${\displaystyle {\hat {a}}}$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

${\displaystyle g^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})={\frac {G^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})}{G^{(1)}(x_{1},x_{1})...G^{(1)}(x_{n},x_{n})}}}$

Se dice que un campo es coherente de orden m si la función de correlación normalizada m -ésima es la unidad. Esta definición es válida tanto para como para .${\displaystyle \gamma ^{(m)}}$${\displaystyle g^{(m)}}$

En el experimento de Hanbury Brown y Twiss (Figura 2), un haz de luz se divide utilizando un divisor de haz y luego se detecta mediante detectores, que están equidistantes del divisor de haz. Posteriormente, la señal medida por el segundo detector se retrasa en el tiempo y se cuenta la tasa de coincidencia entre la señal original y la retrasada. Este experimento correlaciona intensidades, , en lugar de campos eléctricos y, por lo tanto, mide la función de correlación de segundo orden.${\displaystyle \tau }$${\displaystyle |E^{+}(\mathbf {r} ,t+\tau )E^{+}(\mathbf {r} ,t)|^{2}}$

${\displaystyle G_{c}^{(2)}(t,t+\tau ,t+\tau ,t)=\langle E^{-}(t)E^{-}(t+\tau )E^{+}(t+\tau )E^{+}(t)\rangle }$.

Bajo el supuesto de estadísticas estacionarias, en una posición dada, la función de correlación normalizada es

${\displaystyle g^{(2)}={\frac {\langle {\hat {E}}^{-}(0){\hat {E}}^{-}(\tau ){\hat {E}}^{+}(\tau ){\hat {E}}^{+}(0)\rangle }{\langle {\hat {E}}^{-}(0){\hat {E}}^{+}(0)\rangle \langle {\hat {E}}^{-}(\tau ){\hat {E}}^{+}(\tau )\rangle }}}$

${\displaystyle g^{(2)}}$Aquí se mide la probabilidad de coincidencia de que se detecten dos fotones con una diferencia de tiempo . ^[4]${\displaystyle \tau }$

Para todas las variedades de luz caótica, se cumple la siguiente relación entre las coherencias de primer orden y de segundo orden:

${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1+|g^{(1)}(\tau )|^{2}}$.

Esta relación es válida tanto para las funciones de correlación clásica como para las cuánticas. Además, como siempre toma un valor entre 0 y 1, para un haz de luz caótico, . La fuente de luz utilizada por Hanbury Brown y Twiss fue luz estelar, que es caótica. Hanbury Brown y Twiss utilizaron este resultado para calcular la coherencia de primer orden a partir de su medición de la coherencia de segundo orden. La coherencia de segundo orden observada en la curva fue la que se muestra en la figura 2. ^[10]${\displaystyle |g^{(1)}(\tau )|}$${\displaystyle 1\leq g^{(2)}\leq 2}$

Para fuente de luz gaussiana . A menudo, una fuente de luz gaussiana es caótica y, en consecuencia,${\displaystyle g^{(1)}=e^{-i\omega _{0}\tau -{\frac {\pi }{2}}({\frac {\tau }{\tau _{0}}})^{2}}}$

${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1+e^{-{\frac {\pi }{2}}({\frac {\tau }{\tau _{0}}})^{2}}}$.

Este modelo se ajusta a la observación que realizaron Hanbury Brown y Twiss usando luz estelar como se muestra en la figura 3. Si se usara luz térmica en lugar de luz estelar en la misma configuración, entonces veríamos una función diferente para la coherencia de segundo orden. ^[10] La luz térmica se puede modelar como un espectro de potencia lorentziano centrado alrededor de la frecuencia , lo que significa , donde es la longitud de coherencia del haz. En consecuencia, y . La coherencia de segundo orden para la luz estelar (gaussiana), térmica (lorentziana) y coherente se muestra en la Figura 4. Tenga en cuenta que cuando el haz de luz estelar/térmica es coherente de primer orden, es decir , , la coherencia de segundo orden es 2, lo que significa que con un retardo de tiempo cero, la luz caótica derecha es coherente de primer orden pero no de segundo orden. ^{[2] [10]}${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \langle E^{*}(0)E(\tau )\rangle =E_{0}^{2}e^{-|\tau |/\tau _{0}}}$${\displaystyle \tau _{0}}$${\displaystyle g^{(1)}=e^{-i\omega _{0}\tau -|\tau |/\tau _{0}}}$${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1+e^{-2|\tau |/\tau _{0}}}$${\displaystyle g^{(1)}(0)=1}$

Clásicamente, podemos pensar que un haz de luz tiene una distribución de probabilidad en función de las amplitudes del modo y, en ese caso, la función de correlación de segundo orden${\displaystyle P(\{\alpha _{k}\})}$

${\displaystyle G^{(2)}(\tau ,0)=\langle E^{-}(\tau )E^{+}(\tau )E^{-}(0)E^{+}(0)\rangle \int P(\{\alpha _{k}\})E^{*}(\tau )E(\tau )E^{*}(0)E(0)d\{\alpha _{k}\}}$.

Si asumimos que el estado cuántico de la configuración es

${\displaystyle \rho =\int d\{\alpha _{k}\}P(\{\alpha _{k}\})|\{\alpha _{k}\}\rangle \langle \{\alpha _{k}\}|}$,

entonces la función de correlación mecánica cuántica,

${\displaystyle G^{(2)}(\tau ,0)=Tr[\rho {\hat {E}}^{-}(\tau ){\hat {E}}^{+}(\tau ){\hat {E}}^{-}(0){\hat {E}}^{+}(0)]=\int P(\{\alpha _{k}\})E^{*}(\tau )E(\tau )E^{*}(0)E(0)d\{\alpha _{k}\}}$,

que es el mismo que el resultado clásico. ^[11]

De manera similar al caso del experimento de la doble rendija de Young, la descripción clásica y la cuántica conducen al mismo resultado, pero eso no significa que dos descripciones sean equivalentes. Clásicamente, los rayos de luz llegan como una onda electromagnética e interfieren debido al principio de superposición. La descripción cuántica no es tan sencilla. Para entender las sutilezas de la descripción cuántica, supongamos que los fotones de la fuente se emiten independientemente unos de otros en la fuente y que los fotones no son divididos por el divisor de haz. Cuando la intensidad de la fuente se establece en muy baja, de modo que solo se puede detectar un fotón en cualquier momento, teniendo en cuenta el hecho de que puede haber coincidencias accidentales, que son estadísticamente independientes del tiempo, el contador de coincidencias no debería cambiar con respecto a la diferencia de tiempo. Sin embargo, como se muestra en la Figura 3., para la luz estelar , sin ningún retraso de tiempo y con un gran retraso de tiempo . Por lo tanto, incluso cuando no había retraso de tiempo, los fotones de la fuente llegaban en pares. Este efecto se denomina agrupamiento de fotones. Además, si se utilizara una luz láser en la fuente en lugar de luz caótica, la coherencia de segundo orden sería independiente del retardo temporal. El experimento de HBT permite una distinción fundamental en la forma en que se emiten los fotones desde un láser en comparación con una fuente de luz natural. Tal distinción no se refleja en la descripción clásica de la interferencia de ondas. ^[3]${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1+e^{-2|\tau |/\tau _{0}}}$${\displaystyle g^{(2)}(0)=2}$${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow \infty }g^{(2)}(\tau )=1}$

Para los propósitos de los experimentos ópticos estándar, la coherencia es solo coherencia de primer orden y las coherencias de orden superior generalmente se ignoran. Las coherencias de orden superior se miden en experimentos de conteo de coincidencia de fotones. La interferometría de correlación utiliza coherencias de cuarto orden y superiores para realizar mediciones estelares. ^{[1] [12]} Podemos pensar en como la tasa de coincidencia promedio de detección de fotones en posiciones. ^[2] Físicamente, estas tasas siempre son positivas y, por lo tanto , .${\displaystyle G^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$${\displaystyle G^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})\geq 0}$

Un cuerpo se llama coherente de orden m si existe una función tal que todas las funciones de correlación para factorizan. Notacionalmente, esto significa${\displaystyle E(x)}$${\displaystyle n<m}$

${\displaystyle G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})=\prod \limits _{j=1}^{n}E^{*}(j)E^{*}(j+1)}$

Esta factorización de todas las funciones de correlación implica que . Como se definió como , se deduce que para , si el campo es m -coherente. ^[12] Para un campo m -coherente, los fotones que se detecten se detectarán de forma estadísticamente independiente entre sí. ^[3]${\displaystyle n<m}$${\displaystyle |G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})|^{2}=\prod \limits _{j=1}^{2n}G^{(1)}(x_{j},x_{j})}$${\displaystyle g^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})}$${\displaystyle {\frac {G^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})}{\prod \limits _{j=1}^{n}G^{(1)}(x_{j},x_{j})}}}$${\displaystyle |g^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})|=1}$${\displaystyle n<m}$${\displaystyle m}$

Dado un límite superior sobre la cantidad de fotones que pueden estar presentes en el campo, existe un límite superior sobre la coherencia M que puede tener el campo. Esto se debe a que es proporcional al operador de aniquilación. Para ver esto, comience con un estado mixto para el campo . Si esta suma tiene un límite superior en n , m es decir , es proporcional a${\displaystyle {\hat {E}}^{+}}$${\displaystyle \sum \limits _{n,m}c_{n,m}|n\rangle \langle m|}$${\displaystyle M>n,m}$${\displaystyle \mathrm {Tr} [\rho {\hat {E}}^{+}(x_{1})...{\hat {E}}^{+}(x_{p})]}$

${\displaystyle \mathrm {Tr} [\sum \limits _{n,m}c_{n,m}{\hat {a}}...({\text{p times}})...{\hat {a}}|n\rangle \langle m|]=\sum \limits _{n,m}c_{n,m}\langle m|{\hat {a}}...({\text{p times}})...{\hat {a}}|n\rangle =0}$

para . Este resultado sería poco intuitivo en una descripción clásica, pero afortunadamente un caso así no tiene una contraparte clásica porque no podemos poner un límite superior al número de fotones en el caso clásico. ^[3]${\displaystyle p>m}$

Cuando se trabaja con óptica clásica, los físicos a menudo emplean el supuesto de que las estadísticas del sistema son estacionarias. Esto significa que, si bien las observaciones pueden fluctuar, las estadísticas subyacentes del sistema permanecen constantes a medida que avanza el tiempo. El análogo cuántico de las estadísticas estacionarias es requerir que el operador de densidad, que contiene la información sobre la función de onda, conmute con el hamiltoniano. Debido a la ecuación de Schrödinger, , las estadísticas estacionarias implican que el operador de densidad es independiente del tiempo. En consecuencia, en , debido a la ciclicidad de la traza, podemos transformar la independencia temporal del operador de densidad en la imagen de Schrödinger en la independencia temporal de y , en la imagen de Heisenberg, lo que nos da${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}={\frac {-i}{h}}[H,\rho ]}$${\displaystyle G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})}$${\displaystyle {\hat {E}}^{+}}$${\displaystyle {\hat {E}}^{-}}$

${\displaystyle G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})=\mathrm {Tr} [{\hat {\rho }}{\hat {E}}^{-}(x_{1},t)....{\hat {E}}^{-}(x_{n},t){\hat {E}}^{+}(x_{n+1},t)...{\hat {E}}^{+}(x_{2n,t})]}$ ${\displaystyle =\mathrm {Tr} [{\hat {\rho }}{\hat {E}}^{-}(x_{1},t+\tau )....{\hat {E}}^{-}(x_{n},t+\tau ){\hat {E}}^{+}(x_{n+1},t+\tau )...{\hat {E}}^{+}(x_{2n},t+\tau )]}$.

Esto significa que, bajo el supuesto de que las estadísticas subyacentes del sistema son estacionarias, las funciones de correlación de orden n no cambian cuando cada argumento de tiempo se traduce en la misma cantidad. En otras palabras, en lugar de considerar los tiempos reales, la función de correlación solo se ocupa de las diferencias de tiempo. ^[3]${\displaystyle 2n-1}$

Los estados coherentes son estados mecánicos cuánticos que tienen la coherencia máxima y tienen el comportamiento más "clásico". Un estado coherente se define como el estado mecánico cuántico que es el estado propio del operador de campo eléctrico . Como es directamente proporcional al operador de aniquilación, el estado coherente es un estado propio del operador de aniquilación. Dado un estado coherente , ${\displaystyle {\hat {E}}^{+}}$${\displaystyle {\hat {E}}^{+}}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$

${\displaystyle G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})=\mathrm {Tr} [\sum \limits _{n,m}c_{n,m}{\hat {a}}...{\hat {a}}|\alpha \rangle \langle \alpha |]=\langle \alpha |{\hat {a}}...({\text{p times}})...{\hat {a}}|\alpha \rangle =1}$.

En consecuencia, los estados coherentes tienen todos los órdenes de coherencia como distintos de cero. ^[13]