Trama ternaria

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Un diagrama ternario , gráfico ternario , diagrama de triángulo , diagrama símplex o triángulo de Gibbs es un diagrama baricéntrico de tres variables que suman una constante. ^[1] Representa gráficamente las proporciones de las tres variables como posiciones en un triángulo equilátero . Se utiliza en química física , petrología , mineralogía , metalurgia y otras ciencias físicas para mostrar las composiciones de sistemas compuestos por tres especies. Los diagramas ternarios son herramientas para analizar datos de composición en el caso tridimensional.

En genética de poblaciones , un gráfico triangular de frecuencias de genotipos se denomina diagrama de De Finetti . En teoría de juegos ^[2] y optimización convexa ^[3] , a menudo se lo denomina gráfico simplex .

En un gráfico ternario, los valores de las tres variables a , b y c deben sumar una constante, K. Por lo general, esta constante se representa como 1,0 o 100 %. Como a + b + c = K para todas las sustancias que se grafican, ninguna variable es independiente de las demás, por lo que solo se deben conocer dos variables para encontrar el punto de una muestra en el gráfico: por ejemplo, c debe ser igual a K − a − b . Como los tres valores numéricos no pueden variar de forma independiente (solo hay dos grados de libertad ), es posible graficar las combinaciones de las tres variables en solo dos dimensiones.

La ventaja de utilizar un gráfico ternario para representar composiciones químicas es que se pueden representar tres variables en un gráfico bidimensional. Los gráficos ternarios también se pueden utilizar para crear diagramas de fases , delineando las regiones de composición en el gráfico donde existen diferentes fases.

Los valores de un punto en una gráfica ternaria corresponden (hasta una constante) a sus coordenadas trilineales o coordenadas baricéntricas .

Hay tres métodos equivalentes que se pueden utilizar para determinar los valores de un punto en el gráfico:

1. Método de líneas paralelas o cuadrícula . El primer método consiste en utilizar una cuadrícula de diagrama formada por líneas paralelas a los bordes del triángulo. Una paralela a un lado del triángulo es el lugar geométrico de los puntos constantes en el componente situado en el vértice opuesto al lado. Cada componente está 100% en una esquina del triángulo y 0% en la arista opuesta a ella, disminuyendo linealmente con el aumento de la distancia (perpendicular a la arista opuesta) desde esta esquina. Al dibujar líneas paralelas a intervalos regulares entre la línea cero y la esquina, se pueden establecer divisiones finas para una fácil estimación.
2. Método de la línea perpendicular o de la altura . Para los diagramas que no poseen líneas de cuadrícula, la forma más fácil de determinar los valores es determinar las distancias más cortas (es decir, perpendiculares) desde el punto de interés hasta cada uno de los tres lados. Por el teorema de Viviani , las distancias (o las razones de las distancias con respecto a la altura del triángulo ) dan el valor de cada componente.
3. Método de la línea de esquina o intersección . El tercer método no requiere el trazado de líneas perpendiculares o paralelas. Se trazan líneas rectas desde cada esquina, a través del punto de interés, hasta el lado opuesto del triángulo. Las longitudes de estas líneas, así como las longitudes de los segmentos entre el punto y los lados correspondientes, se miden individualmente. La relación de las líneas medidas proporciona entonces el valor del componente como una fracción del 100%.

Un desplazamiento a lo largo de una línea paralela (línea de cuadrícula) conserva la suma de dos valores, mientras que un movimiento a lo largo de una línea perpendicular aumenta (o disminuye) los dos valores en una cantidad igual, cada mitad de la disminución (aumento) del tercer valor. Un movimiento a lo largo de una línea que pasa por una esquina conserva la relación de los otros dos valores.

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  Figura 1. Método de altitud
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  Figura 2. Método de intersección
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  Figura 3. Un ejemplo de diagrama ternario, sin ningún punto trazado.
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  Figura 4. Un ejemplo de diagrama ternario, que muestra incrementos a lo largo del primer eje.
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  Figura 5. Un ejemplo de diagrama ternario, que muestra incrementos a lo largo del segundo eje.
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  Figura 6. Un ejemplo de diagrama ternario, que muestra incrementos a lo largo del tercer eje.
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  Figura 7. Gráfica ternaria vacía
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  Figura 8. Indicación de cómo funcionan los tres ejes.
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  Gráfico de triángulos sin etiquetar con líneas de cuadrícula principales
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  Gráfico de triángulos sin etiquetar con líneas de cuadrícula principales y secundarias

La figura (1) muestra una proyección oblicua del punto P( a , b , c ) en un espacio cartesiano tridimensional con ejes a , b y c , respectivamente.

Si a + b + c = K (una constante positiva), P está restringida a un plano que contiene A( K ,0,0) , B(0, K ,0) y C(0,0, K ) . Si a , b y c no pueden ser negativos, P está restringida al triángulo delimitado por A , B y C , como en (2).

En (3), los ejes se rotan para dar una vista isométrica . El triángulo, visto de frente, parece equilátero .

En (4), las distancias de P desde las líneas BC , AC y AB se denotan por a ′ , b ′ y c ′ , respectivamente.

Para cualquier línea l = s + t n̂ en forma vectorial ( n̂ es un vector unitario) y un punto p , la distancia perpendicular de p a l es

${\displaystyle \left\|(\mathbf {s} -\mathbf {p} )-{\bigl (}(\mathbf {s} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {\hat {n}} {\bigr )}\mathbf {\hat {n}} \right\|\,.}$

En este caso, el punto P está en

${\displaystyle \mathbf {p} ={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,.}$

La línea BC tiene

${\displaystyle \mathbf {s} ={\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {\hat {n}} ={\frac {{\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\0\\K\end{pmatrix}}}{\left\|{\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\0\\K\end{pmatrix}}\right\|}}={\frac {\begin{pmatrix}0\\K\\-K\end{pmatrix}}{\sqrt {0^{2}+K^{2}+{(-K)}^{2}}}}={\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\,.}$

Usando la fórmula de la distancia perpendicular,

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}-\left({\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}-\left(0+{\frac {K-b}{\sqrt {2}}}+{\frac {c}{\sqrt {2}}}\right){\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b-{\frac {K-b+c}{2}}\\-c+{\frac {K-b+c}{2}}\end{pmatrix}}\right\|=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\{\frac {K-b-c}{2}}\\{\frac {K-b-c}{2}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&={\sqrt {{(-a)}^{2}+{\left({\frac {K-b-c}{2}}\right)}^{2}+{\left({\frac {K-b-c}{2}}\right)}^{2}}}={\sqrt {a^{2}+{\frac {{(K-b-c)}^{2}}{2}}}}\,.\end{aligned}}}$

Sustituyendo K = a + b + c ,

${\displaystyle a'={\sqrt {a^{2}+{\frac {{(a+b+c-b-c)}^{2}}{2}}}}={\sqrt {a^{2}+{\frac {a^{2}}{2}}}}=a{\sqrt {\frac {3}{2}}}\,.}$

Un cálculo similar en las líneas AC y AB da

${\displaystyle b'=b{\sqrt {\frac {3}{2}}}\quad {\text{and}}\quad c'=c{\sqrt {\frac {3}{2}}}\,.}$

Esto demuestra que la distancia del punto desde las respectivas líneas es linealmente proporcional a los valores originales a , b y c . ^[4]

Las coordenadas cartesianas son útiles para trazar puntos en el triángulo. Considere un gráfico ternario equilátero donde a = 100% se coloca en ( x , y ) = (0,0) y b = 100% en (1,0) . Entonces c = 100% es y la tripleta ( a , b , c ) es${\textstyle ({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}),}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2b+c}{a+b+c}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {c}{a+b+c}}\right)\,.}$

Este ejemplo muestra cómo funciona esto para un conjunto hipotético de tres muestras de suelo:

Muestra	Arcilla	Limo	Arena	Notas
Muestra 1	50%	20%	30%	Dado que la arcilla y el limo juntos constituyen el 70% de esta muestra, la proporción de arena debe ser del 30% para que los componentes sumen el 100%.
Muestra 2	10%	60%	30%	La proporción de arena es del 30% como en la muestra 1, pero a medida que la proporción de limo aumenta en un 40%, la proporción de arcilla disminuye correspondientemente.
Muestra 3	10%	30%	60%	Esta muestra tiene la misma proporción de arcilla que la Muestra 2, pero las proporciones de limo y arena están intercambiadas; el gráfico se refleja sobre su eje vertical.

• Ejemplo de trazado 1 (paso 1):
  Encuentre la línea de arcilla del 50 %
• Ejemplo de trazado 1 (paso 2):
  Encuentre la línea de sedimentos del 20 %
• Ejemplo de trazado 1 (paso 3):
  Al depender de los dos primeros, la intersección está en la línea de arena del 30 %
• Trazando todas las muestras
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  Diagrama de triángulo ternario de tipos de suelo arena arcilla y limo programado con Mathematica

• Diagrama de cromaticidad
• Diagrama de De Finetti
• El complot de Dalitz
• Diagrama de inflamabilidad
• Diagrama de cationes de Jensen
• Diagrama de Piper , utilizado en hidroquímica.
• Diagrama de clasificación UIGS para rocas ultramáficas
• Diagrama de textura del suelo del USDA por tamaños de partículas

• Propiedad molar aparente
• Teorema de Viviani
• Coordenadas baricéntricas (matemáticas)
• Datos de composición
• Lista de software de gráficos de información
  • Software de gráficos para ciencias de la tierra
  • IGOR Pro
  • Origen (software de análisis de datos)
  • R tiene un paquete ternario dedicado que se mantiene en la Red Integral de Archivos R ( CRAN )
  • Diagrama sigma
• Proyecto triangulo
• Trilema

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Parcelas ternarias .

• "Plantilla de Excel para diagramas ternarios". serc.carleton.edu . Science Education Resource Center (SERC) Carleton College . Consultado el 14 de mayo de 2020 .
• "Tri-plot: software de trazado de diagramas ternarios". www.lboro.ac.uk . Loughborough University – Departamento de Geografía / Página de inicio de Resources Gateway > Tri-plot . Consultado el 14 de mayo de 2020 .
• "Generador de diagramas ternarios: cree diagramas ternarios rápidamente en línea". www.ternaryplot.com . Consultado el 14 de mayo de 2020 .
• Holland, Steven (2016). «Análisis de datos en las geociencias: diagramas ternarios desarrollados en el lenguaje R». strata.uga.edu . Universidad de Georgia . Consultado el 14 de mayo de 2020 .